专题12一元二次方程的概念（3大知识点7大题型真题检验）2025年新八年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）解析

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程专题12一元二次方程的概念知识点一、一元二次方程的概念1.一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程必须同时满足的条件(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2例如3x2−x+1=0,特别提醒定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合并同类项)”之后都是整式，定义中“只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的，当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。知识点二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0):其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。特别提醒(1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关于x的二次整式(2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0.(3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²3x2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,3,2.(4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数知识点三、一元二次方程的解(根)1.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。题型01：一元二次方程辨析【名师点拨】判断一元二次方程的方法先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是.【例1】列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x−9)2−(x+1)2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0②3(x−9)2−③x+3=1④∵a∴(a2+1)所以②④是关于x的一元二次方程，共有2个，故选：B．【跟踪训练】1.下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x−1=0；③A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可．【详解】解：ax2+3x2x2x22x2−1=2所以正确的只有②共1个，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，2.下列方程中，关于的一元二次方程的是【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3.判断下列方程哪些是一元二次方程，如果是一元二次方程，化为一般式：题型02：由一元二次方程的概念求参数的值或范围【例2】若m−1xm+1−3x+5=0是关于x【答案】−3【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵m−1xm+1−3x+5=0∴m−1≠0m+1∴m=−3，故答案为：−3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bx+c=0（a、b、c(1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根．(2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．【难度】0.65【规范解答】（1）解：∵原方程为一元一次方程，（2）解：∵原方程为一元二次方程，【跟踪训练】1.已知关于x的方程a−3x2+【答案】a≥1且a≠3．【分析】直接利用一元二次方程的定义与二次根式有意义条件分析即可．【详解】解：∵关于x的方程a−3x∴a3≠0，且a1≥0，解得：a≥1且a≠3．故答案为：a≥1且a≠3．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义与二次根式有意义条件是解题关键．2.若关于x的方程ax2=x+1x−1A．a≠0 B．a≠1 C．a≠−1 D．a≠±1【答案】B【分析】由ax2=【详解】∵关于x的方程ax∴a−1x∴a−1≠0，解得：a≠1，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．(1)当为何值时，该方程是一元二次方程？(2)当为何值时，该方程是一元一次方程？【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可；（）根据一元一次方程的概念进行求解即可；本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．题型03：一元二次方程的一般形式【名师点拨】(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式.(2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“”!(3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0.【例4】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是−7，常数项是2的方程是（

）A．4x2+2=7x B．4x2−2=7x【答案】A【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案．【详解】解：A、4x2+2=7x化为一般式为B、4x2−2=7x化为一般式为4C、4x2+7x=2化为一般式为D、−4x2−7x=2故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一般形式是解题的关键：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，a叫做二次项系数，【例5】写出一个关于的二次方程，这个方程可以是.【答案】∵常数项为，故答案为：．【跟踪训练】1.若关于x一元二次方程(2a−4)x2+(3a+9)x+a−8=0【答案】−3【分析】根据一元二次方程的一次项系数为0和二次项系数不为0，列出方程和不等式求解即可．【详解】解：由题意得：2a−4≠03a+9=0解得a=−3，故答案为：−3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和有关概念，准确理解题意是解题关键．【分析】根据移项，可得一般形式，根据各项系数的和，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．由各项系数的和为，得故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用各项系数的和得出关于的方程是解题关键．A．3 B．0 C． D．【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可．故选：．【分析】先移项，再得出答案即可．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．题型04：判断一个数是不是一元二次方程的解【名师点拨】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。答案：2，是【跟踪训练】4，3，2，1，0，1，2，3，4．2.在下列方程中，哪些方程有一个根为0？哪些方程有一个根为1？哪些方程有一个根为？想一想：如果一元二次方程有一个根为0，那么方程的项的系数或常数项有什么特征？有一个根为1呢？有一个根为呢？题型05：由一元二次方程的解求参数的值【例8】若关于x的一元二次方程2x2−3x−a【答案】±【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：把x=2代入方程2x得8−6−a解得a=±3故答案为：±3【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．A．1 B． C．0 D．无法判断【答案】B∴此方程必有一个根为．故选：B．【答案】【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键．故答案为：．【答案】故答案为：．【跟踪训练】1.关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0的一个根是1，则kA．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】A【分析】把x=1代入方程可得到关于k的方程，然后求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx∴k×12+2×1−3=0故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．【答案】C故选：C．【答案】故答案是：．题型06：由一元二次方程的解求代数式的值 【例12】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=−A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】C【分析】直接把x=−1代入方程ax2【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0∴a−b+2=0，∴a−b=−2，即b−a=2，∴2020−a+b=2020+b−a故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【例13】已知t为一元二次方程x2−1011x+2023=0的一个解，则2tA．−2023 B．−2022 C．−4046 D．−4044【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义可得t2−1011t+2023=0，求出【详解】解：∵t为一元二次方程x2∴t2∴t2∴2t故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．【跟踪训练】1.设α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，则【答案】4【分析】首先根据题意得到α2+2022α=2，【详解】∵α，β是方程x2∴α2+2022α−2=0∴α2+2022α=2，∴α故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．2.已知a为方程x2+3x−2023=0的根，那么【答案】0【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a−2023=0，然后对原式进行化简，再将【详解】解：∵x2∴a2∵a=a=aa=a=a将a2原式=a×0−0=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．【答案】故答案为：．题型07：一元二次方程新定义问题【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．【跟踪训练】【难度】0.65【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键．（1）根据凤凰方程的意义进行计算即可；（2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可．【难度】0.65【思路点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．3.阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1．【答案】34【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可．【详解】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2，∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3，∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9，∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键．一、选择题1．（2324八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．故选：B．2．（2324八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．故选：D．A．1 B．1或 C． D．0.5【答案】C故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键．A．1 B． C．0 D．无法判断【答案】B∴此方程必有一个根为．故选：B．二、填空题【答案】∴二次项系数为，一次项为，故答案为：，．【答案】【详解】解：由题意知，一次项系数是，故答案为：．【答案】故答案为：【答案】故答案为：.【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是．∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．（2021秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．【答案】07【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，∵为一元二次方程且不含x的一次项，故答案为：0，7．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解．【答案】故答案为：．A． B． C． D．0【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及方程解的定义，一元二次方程的二次项系数不为0．故选：C．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可．∴a²+1＝2且a+1≠0，∴a＝±1且a≠﹣1，∴a＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【答案】故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键．解答题19．检验：【点睛】本题考查了方程的解，掌握理解方程的解定义是解题关键．【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出．解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）．【解析】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5，所以