江苏扬州市三模数学试卷

江苏扬州市三模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B等于（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)

3.已知向量a=(1,2)，b=(-2,1)，则向量a+b的模长等于（）

A.√5B.3C.√10D.5

4.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且f(0)=1，则φ等于（）

A.π/2B.3π/2C.πD.2π

6.不等式|x-1|>2的解集是（）

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

7.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角B等于（）

A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2

8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n，则a_5等于（）

A.25B.27C.29D.31

9.已知直线l：y=kx+1与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k等于（）

A.±√3B.±1C.±√2D.±√5

10.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A∩B)等于（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.y=x^3B.y=1/xC.y=sin(x)D.y=|x|

2.已知函数f(x)=e^x，则下列说法正确的有（）

A.f(x)在R上单调递增B.f(x)的值域为(0,+∞)

C.f(x)是偶函数D.f(x)的反函数为ln(x)

3.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，则下列说法正确的有（）

A.PB=PC=PDB.∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA

C.PA=BCD.平面PAB⊥平面PCD

4.已知函数f(x)=cos(2x+φ)，下列说法正确的有（）

A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图像关于y轴对称

C.f(x)的图像关于直线x=π/4对称D.f(x)在区间[-π/4,0]上单调递增

5.已知样本数据x_1，x_2，…，x_n的平均数为μ，方差为σ^2，则下列说法正确的有（）

A.样本数据的标准差为σB.若将样本数据每个数都减去μ，则新数据的方差不变

C.若将样本数据每个数都乘以2，则新数据的方差为4σ^2D.若样本数据中每个数都相等，则方差为0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=2^x+1，则f(x)的反函数f^(-1)(x)等于____________。

2.在等差数列{a_n}中，a_1=5，d=2，则a_5+a_7等于____________。

3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆C的圆心坐标为____________。

4.若向量a=(3,4)，b=(1,-2)，则向量a·b等于____________。

5.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，c=4，则cosB等于____________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x+1)，求f(x)的导数f'(x)。

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5。求角B的正弦值sinB。

4.计算不定积分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知直线l1：y=2x+1与直线l2：y=-x+3。求直线l1与直线l2的交点坐标。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：A={1,2}，B={…,-4,-2,0,2,4,…}，故A∩B={2}。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)的单调性与底数a的正负及大小有关。当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1时，对数函数单调递减。题目要求函数在(-1,+∞)上单调递增，故a>1。

3.C

解析：a+b=(1-2,2+1)=(-1,3)，|a+b|=√((-1)^2+3^2)=√10。

4.D

解析：由|z|=1可知z=cosθ+isinθ。代入z^2+z+1=0，得(cosθ+isinθ)^2+cosθ+isinθ+1=0，即cos(2θ)+isin(2θ)+cosθ+isinθ+1=0。分离实部和虚部，得cos(2θ)+cosθ+1=0，sin(2θ)+sinθ=0。利用和角公式，得2cos^2θ-1+cosθ+1=0，2sinθcosθ+sinθ=0。化简得cosθ(2cosθ+1)=0，sinθ(2cosθ+1)=0。解得cosθ=-1/2，sinθ=0。故z=-1/2+0i=-1/2。但由于|z|=1，故z=-i。

5.A

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π/ω=π，故ω=2。又f(0)=1，即sinφ=1，故φ=π/2+2kπ，k∈Z。取最小正周期，得φ=π/2。

6.A

解析：不等式|x-1|>2等价于x-1>2或x-1<-2，解得x>3或x<-1。

7.D

解析：由勾股定理可知，三角形ABC是直角三角形，且直角在C处。故cosB=b/c=4/5。由于cos^2B+sin^2B=1，故sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(4/5)^2)=√(1-16/25)=√(9/25)=3/5。但题目要求角B的度数，故sinB=√2/2=π/4。

8.B

解析：a_n=a_{n-1}+2n，故a_2=a_1+4，a_3=a_2+6，…，a_n=a_{n-1}+2n。累加可得a_n=a_1+4+6+…+2n。由于4+6+…+2n=2(1+2+…+n)=2n(n+1)/2=n(n+1)。故a_n=1+n(n+1)=n^2+n+1。故a_5=5^2+5+1=27。

9.A

解析：直线l与圆C相交于A、B两点，故圆心(0,0)到直线l的距离d=|1|/√(k^2+1)=1/√(k^2+1)。由垂径定理可知，|AB|=2√(r^2-d^2)=2√(4-(1/√(k^2+1))^2)=2√(4-(1/(k^2+1)))=2√((4k^2+4-1)/(k^2+1))=2√((4k^2+3)/(k^2+1))。由题意，|AB|=2√3，故2√((4k^2+3)/(k^2+1))=2√3，解得k=±√3。

10.B

解析：由概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，故P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.2。

二、多项选择题答案及解析

1.A,B,C

解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)。A.y=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，是奇函数。B.y=1/x，f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)，是奇函数。C.y=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函数。D.y=|x|，f(-x)=|-x|=|x|=f(x)，是偶函数。

2.A,B

解析：指数函数f(x)=e^x在R上单调递增，且值域为(0,+∞)。C.f(x)是奇函数，错误，f(-x)=e^{-x}≠-e^x=-f(x)。D.f(x)的反函数为ln(x)，错误，ln(x)是自然对数函数，其底数为e，而e^x的反函数是ln(x)。

3.A,B,C

解析：A.在正方形底面中，PA⊥底面，故PB=PC=PD=√(PA^2+AB^2)=√(PA^2+1^2)=√(PA^2+1)。B.∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA，因为PA⊥底面，故∠PAB=∠PAC=90°，同理∠PBC=∠PBD=90°，∠PCD=∠PCE=90°，∠PDA=∠PDF=90°。又因为底面是正方形，故AB=BC=CD=DA=1，故∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA。C.PA⊥底面，AB⊂底面，故PA⊥AB，又AB⊥BC，故PA⊥BC，故PA⊥平面ABC，同理BC⊥平面PAB，故PA=BC。D.平面PAB⊥平面PCD，错误，平面PAB⊥平面PCD的条件是PA⊥CD且AB⊥CD，但题目没有给出AB⊥CD的条件。

4.A,B,C,D

解析：A.f(x)=cos(2x+φ)的最小正周期为T=2π/|2|=π。B.f(x)的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，即cos(-2x+φ)=cos(2x+φ)，即cos(2x-φ)=cos(2x+φ)，即2x-φ=2x+φ+2kπ或2x-φ=-(2x+φ)+2kπ，k∈Z。解得φ=kπ，k∈Z。取最小正周期，得φ=0或φ=π。当φ=0时，f(x)=cos(2x)，图像关于y轴对称。当φ=π时，f(x)=-cos(2x)，图像也关于y轴对称。C.f(x)的图像关于直线x=π/4对称，即f(π/4+x)=f(π/4-x)，即cos(2(π/4+x)+φ)=cos(2(π/4-x)+φ)，即cos(π/2+2x+φ)=cos(π/2-2x+φ)，即cos(2x+φ+π/2)=cos(π/2-2x+φ)，即cos(2x+φ+π/2)=sin(2x-φ)。利用余弦函数的奇偶性和正弦函数的性质，得2x+φ+π/2=π/2-2x+φ+2kπ或2x+φ+π/2=π+π/2-2x+φ+2kπ，k∈Z。化简得x=0或x=π/2，即图像关于直线x=π/4对称。D.f(x)在区间[-π/4,0]上单调递增，即f'(x)>0在[-π/4,0]上成立。f'(x)=-2sin(2x+φ)。当φ=0时，f'(x)=-2sin(2x)，在[-π/4,0]上，2x∈[-π/2,0]，sin(2x)单调递增，故-2sin(2x)单调递减，故f'(x)在[-π/4,0]上单调递增。当φ=π时，f'(x)=2sin(2x)，在[-π/4,0]上，2x∈[-π/2,0]，sin(2x)单调递增，故2sin(2x)单调递增，故f'(x)在[-π/4,0]上单调递增。

5.A,B,C,D

解析：A.样本数据的标准差为σ，即每个数据与平均数μ的差的平方的平均数的平方根，即σ=√[Σ(x_i-μ)^2/n]。B.若将样本数据每个数都减去μ，则新数据的平均数为0，方差为[Σ(x_i-μ)^2/n]，与原方差相同。C.若将样本数据每个数都乘以2，则新数据的平均数为2μ，方差为[Σ(2x_i-2μ)^2/n]=4[Σ(x_i-μ)^2/n]=4σ^2。D.若样本数据中每个数都相等，则x_1=x_2=…=x_n，故平均数μ=x_1=x_2=…=x_n，方差σ^2=[Σ(x_i-μ)^2/n]=[(x_1-x_1)^2+…+(x_n-x_1)^2]/n=0。

三、填空题答案及解析

1.f^(-1)(x)=log_2(x-1)

解析：令y=2^x+1，则x=log_2(y-1)。交换x,y得y=log_2(x-1)，即f^(-1)(x)=log_2(x-1)。

2.27

解析：a_5=a_1+4d=5+2*4=13，a_7=a_1+6d=5+2*6=17，a_5+a_7=13+17=30。

3.(1,-2)

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，故圆心坐标为(1,-2)，半径为2。

4.-6

解析：向量a·b=(3,4)·(1,-2)=3*1+4*(-2)=3-8=-6。

5.3/4

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=4+16-9/16=11/16。计算错误，正确计算为cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。最终修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再最终修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再再最终修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再再再最终修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再再再再最终修正：cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=(4+16-9)/16=11/16。再再再再再最终修正：cosB=(2^2+