2025年高考数学模拟检测卷（新高考题型专项+模拟测试）

2025年高考数学模拟检测卷（新高考题型专项+模拟测试）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则集合A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，2}（解析：老师当年讲这个题的时候啊，就感觉特别有意思。集合A就是解方程x^2-3x+2=0，解出来是x=1或者x=2，所以A={1，2}。集合B呢，就是所有形如2k+1的整数，比如-3，-1，1，3等等。那A和B相交，就是要找既是A的元素，又是B的元素的数。你看1是不是在B里？在！2呢？也在这！所以A∩B={1，2}，选C。）2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.0B.1C.3D.4（解析：这个题啊，当年我们班有个同学画图画了半天，结果还是没找到最小值。其实老师教你们一个简单的方法，就是找绝对值里面的数，让它们相互抵消。1和-2，它们相距3个单位，所以最小值就是3，选C。）3.若复数z满足z^2=1，则z可能是（）A.1B.-1C.iD.-i（解析：当年讲复数的时候，老师就强调过，1的平方是1，-1的平方也是1，所以z可能是1或者-1。i和-i的平方呢？i^2=-1，(-i)^2也是-1，所以它们不符合。所以选A或者B。）4.已知直线l1：y=2x+1和直线l2：y=-x+3，则l1和l2的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（解析：这个题啊，当年我们班有个同学说它们垂直，结果老师说你再算算斜率积，2×（-1）=-2，不等于-1啊。后来他算出来了，夹角是60°，所以选C。）5.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则f(π/6)的值是（）A.1/2B.√3/2C.√3/2D.-1/2（解析：当年讲三角函数的时候，老师就说过，sin(x+π/3)就是sinx×cos(π/3)+cosx×sin(π/3)，但是记住这个公式太麻烦了。其实你们可以记住几个特殊角的值，比如sin(π/6)=1/2，cos(π/3)=1/2，所以f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1，所以选A。）6.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则向量AB的模长是（）A.√5B.2√2C.√10D.4（解析：当年讲向量的时候，老师就强调过，向量AB的模长就是点A和点B之间的距离，可以用勾股定理算，√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8=2√2，所以选B。）7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10的值是（）A.165B.165C.165D.165（解析：当年讲等差数列的时候，老师就说过，等差数列的前n项和Sn可以用公式Sn=n(a1+an)/2来算，但是an可以用a1+(n-1)d来算。所以an=2+(10-1)×3=31，S10=10×(2+31)/2=165，所以选A。）8.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，则圆C的圆心坐标是（）A.(1，2)B.(2，1)C.(-1，-2)D.(-2，-1)（解析：当年讲圆的方程的时候，老师就说过，圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)就是圆心坐标，r就是半径。所以圆C的圆心坐标就是(1，2)，所以选A。）9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)的值是（）A.2B.-2C.1D.-1（解析：当年讲奇函数的时候，老师就强调过，奇函数满足f(-x)=-f(x)。所以f(-1)=-f(1)=-2，所以选B。）10.已知样本数据为10，12，14，16，18，则样本方差S^2的值是（）A.16B.18C.20D.22（解析：当年讲样本方差的时候，老师就说过，样本方差S^2可以用公式S^2=Σ(xi-x̄)^2/(n-1)来算，其中x̄是样本均值。所以x̄=(10+12+14+16+18)/5=14，S^2=((10-14)^2+(12-14)^2+(14-14)^2+(16-14)^2+(18-14)^2)/(5-1)=20，所以选C。）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上。）1.已知直线l过点(1，2)，且与直线y=3x+1垂直，则直线l的方程是________。（解析：当年讲直线方程的时候，老师就说过，两条直线垂直，它们的斜率之积等于-1。所以直线l的斜率k=-1/3。又因为直线l过点(1，2)，所以直线l的方程可以用点斜式表示，即y-2=-1/3(x-1)，化简得x+3y-7=0。）2.已知函数f(x)=logax（a>0，a≠1），若f(2)=1，则a的值是________。（解析：当年讲对数函数的时候，老师就说过，对数函数f(x)=logax的定义是a^y=x。所以f(2)=1，即loga2=1，所以a^1=2，所以a=2。）3.已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则三角形ABC的最大角的度数是________。（解析：当年讲三角形的时候，老师就说过，勾股定理是a^2+b^2=c^2。所以3^2+4^2=5^2，所以三角形ABC是直角三角形，最大角是90°。）4.已知函数f(x)=sin(2x+π/4)，则f(π/8)的值是________。（解析：当年讲三角函数的时候，老师就说过，sin(2x+π/4)就是sin2x×cos(π/4)+cos2x×sin(π/4)，但是记住这个公式太麻烦了。其实你们可以记住几个特殊角的值，比如sin(π/8)=√2/2，cos(π/8)=√2/2，所以f(π/8)=sin(π/4+π/8)=sin(3π/8)=√2/2。）5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，q=3，则S5的值是________。（解析：当年讲等比数列的时候，老师就说过，等比数列的前n项和Sn可以用公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)来算。所以S5=2×(1-3^5)/(1-3)=62。）三、解答题（本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求函数f(x)的极值点；（2）判断函数f(x)在区间[-1，3]上的单调性。（解析：当年讲导数的时候，老师就说过，导数可以用来找函数的极值点。所以先求f(x)的导数，f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。所以极值点是x=1+√3/3和x=1-√3/3。再来看单调性，当x<-1或者x>3时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上单调递增；当-1<x<1-√3/3或者1+√3/3<x<3时，f'(x)<0，所以f(x)在(-1，1-√3/3)和(1+√3/3，3)上单调递减。）2.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边BC=10。求边AB和边AC的长度。（解析：当年讲解三角形的时候，老师就说过，可以用正弦定理或者余弦定理。这里用正弦定理吧，正弦定理是a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以AB/sinB=AC/sinC=BC/sinA。所以AB=BC×sinB/sinA=10×√2/2/√3/2=5√6/3，AC=BC×sinC/sinA=10×sin(180°-60°-45°)/√3/2=10×√2/2/√3/2=5√6/3。）3.已知直线l1：x-y+1=0和直线l2：2x+y-3=0，求l1和l2交点P的坐标，以及l1和l2夹角的余弦值。（解析：当年讲直线的时候，老师就说过，求两条直线交点，就是解它们的方程组。所以解方程组{x-y+1=0，2x+y-3=0}，得x=2/3，y=5/3。所以交点P的坐标是(2/3，5/3)。再求夹角余弦值，先用公式cosθ=|A1A2+B1B2|/√(A1^2+B1^2)√(A2^2+B2^2)，其中(A1，B1)和(A2，B2)分别是两条直线的斜率。所以l1的斜率是1，l2的斜率是-2。cosθ=|1×(-2)+(-1)×1|/√(1^2+(-1)^2)√((-2)^2+1^2)=|-3|/√2×√5=3√10/10。）4.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的圆心坐标和半径。（解析：当年讲圆的方程的时候，老师就说过，要把圆的一般方程x^2+y^2+Ax+By+C=0化成标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。这里用配方法，x^2-4x+(y^2+6y+9)-9-3=0，(x-2)^2+(y+3)^2=14。所以圆心坐标是(2，-3)，半径是√14。）5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=3n^2+n。求通项公式an。（解析：当年讲数列的时候，老师就说过，求通项公式，一般要用到Sn和Sn-1的关系。所以an=Sn-Sn-1=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=3n^2+n-3n^2+6n-3-n+1=6n-2。当n=1时，a1=S1=4，也满足这个公式。所以通项公式是an=6n-2。）四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。请选择一道作答。）1.已知函数f(x)=x^2+bx+c，且f(1)=0，f(2)=5。（1）求实数b和c的值；（2）若对于任意x∈R，都有f(x)≥0，求实数b的取值范围。（解析：当年讲二次函数的时候，老师就说过，f(1)=0，说明x=1是方程x^2+bx+c=0的一个根。同理，f(2)=5。所以1+b+c=0，4+2b+c=5。解这个方程组，得b=2，c=-3。所以f(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)。要使f(x)≥0，就要x≤-3或者x≥1。所以二次函数的图像在x轴上方或者下方。）2.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AF|=2|BF|。求直线l的方程。（解析：当年讲椭圆的时候，老师就说过，椭圆的焦点在x轴上，右焦点F的坐标是(√5，0)。|AF|=2|BF|，说明A、B、F三点在一条直线上，且A是BF的中点。所以A的横坐标是√5/3。把x=√5/3代入椭圆方程，得y^2/4=1-5/9=4/9，所以y=±2/3。所以A的坐标是(√5/3，2/3)或者(√5/3，-2/3)。直线l的斜率k=(2/3-0)/(√5/3-√5)=(2/3)/(√5/3-√5)=2/(√5-3√5)=2/(-2√5)=-1/√5。所以直线l的方程是y=-1/√5(x-√5)，化简得x+√5y-5=0。）五、附加题（本大题共1小题，共15分。）已知函数f(x)=e^x-ax（a>0）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若存在x0∈R，使得f(x0)=0，求实数a的取值范围。（解析：当年讲导数和应用题结合的时候，老师就说过，要仔细分析导数的符号。先求f(x)的导数，f'(x)=e^x-a。令f'(x)=0，解得x=lna。当x<lna时，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，lna)上单调递减；当x>lna时，f'(x)>0，所以f(x)在(lna，+∞)上单调递增。所以要找最小值，就要看lna是不是在定义域内。因为a>0，所以lna是存在的。所以f(x)的最小值是f(lna)=e^lna-a=1-a。要使f(x)有零点，就要使最小值大于等于0，即1-a≥0，所以a≤1。因为a>0，所以0<a≤1。所以当0<a≤1时，存在x0∈R，使得f(x0)=0。）本次试卷答案如下一、选择题1.答案：C解析：首先解方程x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2，所以集合A={1，2}。集合B是所有形如2k+1的整数，即{...,-3,-1,1,3,...}。我们要找的是既在A中又在B中的元素，显然只有1和2满足这个条件，所以A∩B={1，2}，选项C正确。2.答案：C解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像可以看作是x轴上两个点（1，0）和（-2，0）分别向左右无限延伸的折线。最小值出现在两个折线的连接点，即x=1和x=-2的中点，也就是x=-1/2处。将x=-1/2代入原函数，得到f(-1/2)=|(-1/2)-1|+|(-1/2)+2|=3/2+3/2=3。所以最小值是3，选项C正确。3.答案：B解析：复数z满足z^2=1，即z^2-1=0，解这个方程得到z=1或z=-1。因为i^2=-1，(-i)^2也是-1，所以i和-i都不满足方程。只有1和-1的平方等于1，所以z可能是1或者-1，选项B正确。4.答案：C解析：直线l1的斜率是2，直线l2的斜率是-1。两条直线的斜率之积是2×（-1）=-2，不等于-1，所以它们不垂直。两条直线的夹角θ满足tanθ=|2-（-1）|/|1×（-1）+2×1|=3/1=3。所以θ=60°，选项C正确。5.答案：A解析：sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1，所以f(π/6)=1，选项A正确。6.答案：B解析：向量AB的模长就是点A和点B之间的距离，可以用勾股定理算，√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8=2√2，所以选项B正确。7.答案：A解析：等差数列的前n项和Sn可以用公式Sn=n(a1+an)/2来算，但是an可以用a1+(n-1)d来算。所以an=2+(10-1)×3=31，S10=10×(2+31)/2=165，所以选项A正确。8.答案：A解析：圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)就是圆心坐标，r就是半径。所以圆C的圆心坐标就是(1，2)，选项A正确。9.答案：B解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)。所以f(-1)=-f(1)=-2，选项B正确。10.答案：C解析：样本方差S^2可以用公式S^2=Σ(xi-x̄)^2/(n-1)来算，其中x̄是样本均值。所以x̄=(10+12+14+16+18)/5=14，S^2=((10-14)^2+(12-14)^2+(14-14)^2+(16-14)^2+(18-14)^2)/(5-1)=20，所以选项C正确。二、填空题1.答案：x+3y-7=0解析：直线l的斜率k=-1/3。又因为直线l过点(1，2)，所以直线l的方程可以用点斜式表示，即y-2=-1/3(x-1)，化简得x+3y-7=0。2.答案：2解析：对数函数f(x)=logax的定义是a^y=x。所以f(2)=1，即loga2=1，所以a^1=2，所以a=2。3.答案：90°解析：勾股定理是a^2+b^2=c^2。所以3^2+4^2=5^2，所以三角形ABC是直角三角形，最大角是90°。4.答案：√2/2解析：sin(π/8)=√2/2，cos(π/8)=√2/2，所以f(π/8)=sin(π/4+π/8)=sin(3π/8)=√2/2。5.答案：62解析：等比数列的前n项和Sn可以用公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)来算。所以S5=2×(1-3^5)/(1-3)=62。三、解答题1.解析：先求f(x)的导数，f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。所以极值点是x=1+√3/3和x=1-√3/3。再来看单调性，当x<-1或者x>3时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上单调递增；当-1<x<1-√3/3或者1+√3/3<x<3时，f'(x)<0，所以f(x)在(-1，1-√3/3)和(1+√3/3，3)上单调递减。2.解析：正弦定理是a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以AB/sinB=AC/sinC=BC/sinA。所以AB=BC×sinB/sinA=10×√2/2/√3/2=5√6/3，AC=BC×sinC/sinA=10×√2/2/√3/2=5√6/3。3.解析：解方程组{x-y+1=0，2x+y-3=0}，得x=2/3，y=5/3。所以交点P的坐标是(2/3，5/3)。直线l1的斜率是1，l2的斜率是-2。cosθ=|1×(-2)+(-1)×1|/√(1^2+(-1)^2)√((-2)^2+1^2)=|-3|/√2×√5=3√10/10。4.解析：用配方法，x^2-4x+(y^2+6y+9)-9-3=0，(x-2)^2+(y+3)^2=14。所以圆心坐标是(2，-3)，