函数的极限示范

§1.3函数的极限1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限

1.3.3单边极限1.3.4函数极限的性质

1.3.5函数极限的四则运算法则

1.3.6函数极限的一种存在准则和两个重要极限基本规定右极限之间的关系;2、掌握极限的性质及四则运算法则;3、掌握极限存在的准则，并会运用它们求极1、理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、限;4、掌握运用两个重要极限求极限的办法.1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限

x趋于无穷大，事实上涉及三种情形：x取正值无限增大；x取负值而绝对值无限增大;x既1.x趋于正无穷大(记作

无限增大.可取正值,也可取负值,而假设函数

(a

为某个常数)时有定当义,讨论当时函数的极限与时数列的极限是类似的.P28或正无穷大时函数f(x)的极限，记作趋向于某一种常数A，那么我们就称A为当x趋向于

如果当时,对应的函数值f(x)无限地例如,由函数的图形可见,,即

时,当常数或记作无限地趋向于类似于数列极限的定义,为了给出函数极限的表示x无限增大,定义.这里用用趋向于常数A.任意小)表示f(x)无限地下面给出的定义:

定义1设函数f(x)当有定义，如果函数f(x)与某个拟定的常数A满足关系：对

成立,那么常数A称为函数f(x)当或者说函数f(x)当时收敛于A，记作

或(a为某个常数)时(无论多么小)，,当时时的极限,P29定义1的几何意义：直线与,则总存在一种正数X,使得在区间这两条直线之间.对的上、下方各作一,在直线内,函数f(x)的图形完全位于P292.另两种情形:使当恒有情形：情形：由于或以下结论:,从而可得例1证及类似地,用定义可以证明P301.3.2自变量趋于有限值时函数的极限考察函数

当时的变化趋势。如下图所示：下面讨论当自变量x趋于有限值对应的无限接近于某一个常数A的情形。时，P30何种方式趋于2,对应的函数值时我们称当时函数f(x)以3当x在实数轴上不管以f(x)与3无限靠近,这记作或为极限,0-1-2-3123-4-1-2123xy下面给出函数极限的无限靠近于常数A.(不论多么小),

表示一般地,用表示(即与的接近程度定义：时，定义,若对,0,0>d$>e"使当则称函数当时以A为极限,记作

或设函数定义2的某一去心邻域有在点恒有P31作一直线与得一带形区域,则总能够内函数的图形完全位于这两条直线之间。函数时以A为极限的几何解释:当与使得在区间找到相应的的一个正数,对任意给定的的上、下方各,在直线理解定义2应注意两点：,从而得定义证明：例2用证

对于

,当时，有,只要于是要取，当，有P31证.且x不取负值00只要e<-xxx例3P311.3.3单边(或单侧)极限或任何方式趋于x是以在上述时函数极限的定义2中，的

.换成

相应地把定义2中A称为函数当时的左极限。即得的定义。如果仅从的左侧趋于（记作）时，或记作P32或换成

相应地把定义2中即得的定义。A称为函数当时的右极限。如果仅从的右侧趋于（记作）时，同理可得右极限的概念：或记作下面给出左极限与右极限的关系：注意到定理1左、右极限的用途重要在下面两个方面:(1)研究自变量趋于区间端点时,函数的极限问题;(2)研究分段函数在分段点两侧体现式不相似的情形,考察在分段点处的极限问题.例4判断函数11-1-10解由于不存在。时极限是否存在?当P321.3.4函数极限的性质2.局部有界性1.唯一性本节所讨论的函数极限的多个情形也含有类似于§1.2所述的有关数列极限的那些性质.存在，则内有界。某个去心邻域定理3若在的P33下面给出定理3的证明，定理3´的证明类似：，当时,有

在和内有界。定理3´若存在，那么必存在X>0,使得,取，则设即在的去心邻域内有界。3.局部保号性定理4若证设，由极限的定义,

必，当时,有

或对的情况，取则,使得对于内的一切，有,因,故P33推论设且A>B，由定理4的证明,可得下列更强的成果:定理4′若则使得，有类似地能够证明:（或若），那么必存在,使得在和内,有.推论设若则或（）。证明从略（反证法）.定理5若在的某个去心邻域内P344.函数极限与数列极限的关系任何数列，当时,都有

函数极限不存在。另首先,可由函数定理5的作用：首先能够通过数列定理5的充分必要条件是对于时的子数列.数列称为当的极限来确定函数极限的某些性质或用来说明的极限来求数列的极限。P34证必要性充分性假设（反证法）则对，使得，现取一列必存在满足与题设矛盾,故但由此得到一个收敛于的数列对应的函数值数列却不可能以A为极限,二者不相等,例如证1.3.5函数极限的四则运算法则有关函数的极限,也有类似于数列极限的四则运算法则.为了简朴起见，下面仅给出当时函数极限的运算法则，对于自变量的变化过程为其它情形时函数的极限也有类似法则。P35（1）(2)(3)，其中定理7若与都存在，则P35证(2)设。由定理6(利用必要性),对任何数列

，当时，有于是由数列极限的运算性质

得再运用定理6(充足性)可得存在，且等于AB,即(2)成立.注定理7中（1）、（2）两结论能