2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题16 中心对称 (8大类型精准练) (教师版)

专题16中心对称（8大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：8大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1.中心对称

1.中心对称的概念

把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这

两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

方法归纳：

１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；

２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；

３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．

A

C′

B

OB′

C

A′

2.中心对称与轴对称的区别

中心对称轴对称

对称中心只有一个点对称轴至少有一条直线

图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴折叠

旋转180°后和另一个图形重合折叠后与另一个图形重合

2.中心对称的性质

1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分;

2.中心对称的两个图形是全等图形

1

方法归纳：

(1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征

(2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据

(3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等

3.确定对称中心的方法

方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心

方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心

4.画已知图形关于某一点对称的图形

(1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长;

(2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的

对称点:

(3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形

知识点2.中心对称图形

1.中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中

心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定

中心对称图形必须同时满足下列三个条件:

(1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合

2.中心对称图形的性质

(1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对

称图形的两个对应交点是对称点

(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等)

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称中心对称图形

①指两个全等图形之间的相互①指一个图形本身成中心对称．

区

位置关系．②对称中心是图形自身或内部

别

②对称中心不定．的点．

如果将中心对称的两个图形看

如果把中心对称图形对称的部

联成一个整体（一个图形），那

分看成是两个图形，那么它们又

系么这个图形就是中心对称图

是关于中心对称．

形．

知识点3.关于原点对称的点的坐标

1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)

2

2.关于原点对称的点的坐标特征

如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐

标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称

【类型1】中心对称的认识

1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，VABC与ABC关于点O成中心对称，下列结论错误的

是（）

A．AB∥ABB．BCBCC．OAOAD．ABCACB

【答案】D

【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，

对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可．

【详解】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，

选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，ABCABC，

选项D是错误的，

故选：D．

2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，VABC与ABC关于点O成中心对称，则下列结论不成立的

是（）

A．点A与点A是对称点B．BOBO

C．ABABD．ACBCAB

【答案】D

【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性

质一一判断即可．

【详解】解：ABC与ABC关于点O成中心对称，

3

点A与点A是对称点，BOBO，ABAB，

A，B，C正确，

故选：D．

3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）

A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心

B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段

C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分

D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分

【答案】D

【分析】本题考查中心对称的性质．根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②

关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答

案．

【详解】解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误；

B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误；

C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误；

D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确．

故选：D．

【类型2】中心对称的作图

4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图：

(1)画出VABC向右平移5格，再向下平移3格后的图形△A1B1C1；

(2)如果点A2与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出VABC关于点O成中心对称的图

△

形A2B2C2；

(3)画出VABC关于直线MN成轴对称的图形△A3B3C3．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，画中心对称图形：

4

、、、、

（1）根据平移方式找到A、B、C对应点A1B1C1的位置，再顺次连接A1B1C1即可；

、

（2）连接AA2，利用网格的特点找到AA2的中点位置即为点O的位置，进而根据点O的位置找到B2C2的

位置即可；

、、、、

（3）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点A3B3C3的位置，然后顺次连接A3B3C3即可．

【详解】（1）解；如图所示，△A1B1C1即为所求；

△

（2）解：如图所示，点O和A2B2C2即为所求；

（3）解：如图所示，△A3B3C3即为所求．

5．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1，四边形ABCD是正方形；如图2，四边形ABCD是矩形，△MAD

是等腰三角形.请只用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，画出正方形ABCD的对称中心O；

(2)在图2中，画出线段BC的中点N．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题主要考查了作图与应用作图，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和中心对称图

形的性质，中点的定义．

（1）依据正方形的对称中心为对角线的交点进行作图；

（2）利用矩形的对称中心为对角线的交点，等腰三角形的轴对称图形，即可得到点N．

【详解】（1）解：如图1所示，连接AC,BD交于点O即为所求；

5

（2）解：如图2所示，连接AC,BD交于点O，连接MO并延长交BC于点N即为所求．

6．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图所示，在VABC中，A(2，3)，B(3，1)，C(1，2)．

(1)将VABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

△

(2)将VABC绕原点O旋转180，画出旋转后的A2B2C2；

△

(3)由作图可知△A1B1C1与A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标是___________．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

(3)(2，0)

【分析】本题考查了作图的综合问题－平移、旋转和对称．

（1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点A1、B1、C1，顺次连接即可；

（2）将A、B、C绕点O旋转180，得到点A2、B2、C2，顺次连接即可；

，

（3）通过计算可得A1A2，B1B2和C1C2相交于点(20)，根据中心对称图形的定义即可解答．

【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示；

6

；

△

（2）解：A2B2C2如图所示；

（3）解：连接A1A2，B1B2和C1C2，

∴对称中心为2，0．

故答案为：2，0．

【类型3】利用中心对称的性质进行计算

7．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若C90，BAC60，

BC1，则CC的长为（）

23433

A．B．C．D．4

333

【答案】A

BC13

【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解AC，再利

tan6033

用中心对称图形的性质可得答案.

【详解】解：∵C90，BAC60，BC1，

BC13

∴AC，

tan6033

∵该图是一个中心对称图形，

3

∴ACAC，

3

23

∴CC2AC，

3

故选：A

8．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，VABC与DEC关于点C成中心对称，AB3，AE5，BAD90，

7

则点A到BE的距离是．

【答案】613

13

【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过

点A作AF⊥BE于点F，先根据中心对称图形的性质可得DEAB3，ACDC，DBAD90，利

用勾股定理可得AD4，从而可得AC2，再利用勾股定理可得BC13，然后利用三角形的面积公式求

解即可得．

【详解】解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，

∵VABC与DEC关于点C成中心对称，AB3，BAD90，

∴DEAB3，ACDC，DBAD90，

∵AE5，

∴ADAE2DE24，

∴ACDC2，

∴BCAB2AC213，

11

∵SAFBCABAC，

ABC22

ABAC32613

∴AF，

BC1313

613

即点A到BE的距离是，

13

故答案为：613．

13

9．（18-19九年级上·全国·期末）如图所示，在ABC中，AD是BC边上的中线．

8

(1)画出与ACD关于点D成中心对称的三角形；找出与AC相等的线段；

(2)探究：ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由；

【答案】(1)作图见解析；AB

(2)ABAC＞2AD，见解析

【分析】本题考查了三角形的三边关系及中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键，

（1）根据中心对称的特征，延长AD至A，使ADDA，连接BA，则即ABD为所求，ACAB，

（2）根据三角形的两边之和大于第三边分析即可得解．

【详解】（1）解：如图所示，在ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至A，使ADDA，连接BA，

则即ABD为所求，ACAB．

（2）解：ABAC＞2AD，理由：

∵ABD与ACD关于点D成中心对称，

∴ADAD，ACAB，

∵在△ABA中，有ABAB＞AA，即ABAC＞ADAD，

∴ABAC＞2AD．

10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，VABC和DEF关于点O成中心对称．

(1)找出它们的对称中心O；

(2)若AB6，AC5，BC4，求DEF的周长；

(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)15

9

(3)四边形ACDF是平行四边形，理由见解析

【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边

形的判定方法是解答本题的关键．

（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O；

（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到DEF各边的长，然后计算DEF的周长；

（3）根据中心对称的性质得OAOD，OCOF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平

行四边形．

【详解】（1）解：如图，连接AD，CF，点O为所求：

（2）解：VABC和DEF关于点O成中心对称

△ABC≌△DEF，

DFAC5，DEAB6，EFBC4，

DEF的周长为EFDFDE45615；

（3）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：

连接AF,CD,AD,CF，如图所示：

VABC和DEF关于点O成中心对称，

OAOD，OCOF，

四边形ACDF为平行四边形．

【类型4】中心对称图形

11．（2025·河北张家口·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．

根据中心对称图形以及轴对称图形的定义逐项判断即可解答．

【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意；

10

B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项符合题意；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不符合题意；

故选：B．

12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列图形是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别是解题的关键．根据中心对称

图形的特征，将图形旋转180后与原图形重合即为中心对称图形，即可得到答案．

【详解】

解：不是中心对称图形，故选项A不符合题意；

是中心对称图形，故选项B符合题意；

不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

不是中心对称图形，故选项D不符合题意；

故选B．

13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又

是中心对称图形的有．

【答案】线段、圆

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋

转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对

称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答．

【详解】解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形；

等边三角形只是轴对称图形；

平行四边形只是中心对称的图形；

故答案为：线段、圆．

11

【类型5】中心对称图形的有关作图

14．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，在55的正方形网格纸中，已知格点M和格点线段AC，请

按要求画出AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）．

(1)在图①中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD是中心对称图形，且点M在四边形ABCD的内部（不包

括边界上）．

(2)在图②中画出四边形AECF，使得四边形AECF既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点M在四边形

AECF的内部（不包括边界上）．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定定理和正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和正方形的

判定是解本题的关键．

（1）根据题意可以作一个平行四边形，根据平行四边形的判定定理∶一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，或四条边相等的四边形即菱形，作图；

（2）可以作一个正方形，根据正方形的判定：四条边相等且有一个角是直角的四边形，作图即可．

【详解】（1）如图，∵ADBC4,AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意，

（2）如图，ABBCCDAD421217，

∴四边形ABCD是菱形，符合题意；

12

15．（24-25九年级上·吉林·期末）图①，图②均是88的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每

个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．

(1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）

(2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________．

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义．

（1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可；

（2）根据图形利用割补法解答即可．

【详解】（1）解：如图所示为所求：

（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：236．

16．（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格

图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴

影：

(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种）

13

(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种）

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．

（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；

（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．

【详解】（1）解：如图所示（画出两种即可）：

（2）如图所示（画出一种即可）：

【类型6】关于原点对称的点的坐标

17．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，则点P(a,b)在第（）象

限．

A．一B．二C．三D．四

【答案】C

【分析】本题主要考查了关于原点为对称的点的坐标及各象限点的坐标特点：第一象限的点满足横、纵坐

标,，第二象限的点满足横、纵坐标,，第三象限的点满足横、纵坐标,，第四象限的点满足横、

纵坐标,，关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，熟知这一规律是正确解决本题的关键．

由点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，可求得a、b的值，即可知点P在第几象限．

【详解】解：点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，

a5，b1，

14

P5,1，

则点P(a,b)在第三象限，

故答案为：C．

18．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知Aa,1与B4,b关于原点对称，则ab．

【答案】3

【分析】本题考查了求一点关于原点对称的点的坐标，求代数式的值，解题关键是理解两点关于原点对称

的意义．

根据两点关于原点对称，列出关于a，b的方程求解，再代入代数式求值．

【详解】解：∵Aa,1与B4,b关于原点对称，

∴a40，1b0，解得：a4，b1，

∴ab413．

故答案为：3．

19．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知点Aa,2023与点A2024,b是关于原点O的对称点，则ab

的值为．

【答案】1

【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵

坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值，进而得出答案．

【详解】解：根据题意，点Aa,2023与点A2024,b是关于原点O的对称点，

∴a20240，2023b0，

解得a2024，b2023，

∴ab202420231．

故答案为：1．

20．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为

2

y5x21，则抛物线C2的解析式为．

2

【答案】y5x21

【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的

基本性质是解题关键．根据抛物线C1的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性

质确定抛物线C2的开口方向及顶点坐标，即可求解．

2

【详解】解：∵抛物线C1的解析式为y5x21，

∴抛物线C1的开口向下，顶点坐标为2,1，

∵抛物线C1与C2关于原点成中心对称，

15

∴抛物线的开口向上，顶点坐标为2,1，

2

∴抛物线的解析式为y5x21．

2

故答案为：y5x21．

【类型7】关于原点对称的点的坐标作图问题

21．（19-20八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸

中建立如图所示的平面直角坐标系，VABC的顶点都在格点上．

(1)将VABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

△

(2)画出VABC关于点O的中心对称图形A2B2C2；

△

(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：___________．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)3,0

【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键．

（1）根据平移方式，画出VABC顶点的对应点分别为A1,B1,C1，再顺次连接即可得到△A1B1C1；

△

（2）根据中心对称方式，画出VABC顶点的对应点分别为A2,B2,C2，再顺次连接即可得到A2B2C2；

（3）结合图形得到A1,B1,C1,A2,B2,C2的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答．

【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求：

16

△

（2）解：如图所示，A2B2C2即为所求：

（3）解：由图可得，A13,5，A23,5，B12,1，B14,1，C15,2，C21,2，

A1A2的中点为3,0，B1B2的中点为3,0，C1C2的中点为3,0，

点3,0同时在A1A2、B1B2、C1C2的垂直平分线上，

△

又将△A1B1C1绕某一点旋转可得到A2B2C2，

旋转中心的坐标为3,0．

故答案为：3,0．

22．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，在平面直角坐标系中，VABC的三个顶点坐标分别为A1,0，

B3,3，C4,1．

(1)画出VABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；

△

(2)画出VABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．

【答案】(1)见解析；A1的坐标为1,0；

(2)见解析；C2的坐标为1,4

【分析】本题主要考查作图，旋转变化和关于原点对称，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的和旋转变

换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

（1）分别作出点A，B，C关于原点对称的点，再首尾逆次连接即可．

17

（2）分别作出点A，B，C绕点O按逆时针方向旋转90°后得到的点，再首尾逆次连接即可．

【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为1,0；

△

（2）如图，A2B2C2即为所求，C2的坐标为1,4

23．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，VABC三个顶点的坐标分别为A2,4，

B1,1，C4,3．

(1)请画出与VABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1（A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1），并

写出A1、B1、C1的坐标；

18

△

(2)若VABC以点B为旋转中心逆时针旋转90后得到的图形为A2B2C2（A、B、C的对应点分别为A2、B2、

C2），在网格中画出旋转后的图形，并写出A2、B2、C2的坐标．

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】本题考查了画旋转对称图形与画中心对称图形，写出旋转90后的坐标及关于原点对称的坐标，正

确理解旋转对称和中心对称的概念是解题的关键．

、、

（1）再根据中心对称的坐标性质，分别求出对应点A1B1C1​的坐标，然后在坐标系内描点，顺次连接

各顶点即可求解；

、、

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2B2C2，再顺次连接各顶点即可．

【详解】（1）解：如图，A12,4，B11,1，C14,3，

△A1B1C1为所作的三角形，

（2）解：如图，A22,2，B21,1，C21,4，

△

A2B2C2为所作的三角形，

【类型8】中心对称的变化规律问题

19

24．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点P1(0,1)，P2(2,3)的对称中心是点A，另取

两点B(1,2)，C(1,0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳

到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称

点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P2019的坐标为（）．

A．1,1B．1,1C．2,0D．4,1

【答案】D

【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题

的关键．

首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，

P10,1→P22,3→P34,1→P42,1→P50,3→P62,1→P70,1→P82,3…由此得到P7的坐标和P1

的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2019的坐标．

【详解】解：∵点P2(2,3)关于点B(1,2)的对称点P3，

2x3y

∴p31，p32

22

x4y1

∴p3，p3，

∴P34,1，

同理可得点P42,1，P50,3，P62,1，P70,1，P82,3，…

∴点P每6次一循环，

∵20196336.......3

∴点P2019与点P3坐标相同，即P20194,1．

故选：D．

25．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一段抛物线yxx10x1记为m1，它与x轴的交点

为O，A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180得m3，

20

交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得到mn．当n为偶数时，抛物线mn的表达式为．

【答案】yxn1xnn1xn

【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线m1与x轴的交点的坐标

及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线mn与x轴的交点的坐标及开口

方向，即可得到答案；

【详解】解：当y0时，xx10，

解得：x10，x21，

∴抛物线m1与x轴的交点的坐标为0,0和1,0，且开口方向向下，且抛物线m1与x轴两交点的距离为：

x2x11；

∵将m1绕点A1旋转180得m2，将m2绕点A2旋转180得m3，

∴抛物线m2与x轴的交点的坐标为1,0和2,0，且开口方向向上；

∴抛物线m3与x轴的交点的坐标为2,0和3,0，且开口方向向下；

同理：当n为偶数时，抛物线mn与x轴的交点的坐标为n1,0和n,0，且开口方向向上；

∴抛物线mn的表达式为：yxn1xn

故答案为：yxn1xnn1xn．

26．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线yx22x3顶点为Q，交x轴于E、F两点（E

在F的右侧）．T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线yx22x3的中心对称图形，交x轴于点K、

L两点（L在K的右侧），已知FQL45，则K的坐标为．

【答案】7,0

21

【分析】先利用配方法得到Q1,4，解方程x22x30得E3,0，F1,0，作QPx轴于P，过F点

作FMFQ交QL于M．作MNx轴于N，如图，证明PQF≌NFM得到PQFN4，MNPF2，

111

则M5,2，则可利用待定系数法求出直线QL的解析式为yx，所以L11,0，接着利用中心对称

33

的性质先确定T点坐标为4,0，再确定点K的坐标K7,0．

2

【详解】解：yx22x3x14，

Q1,4，

2，

当y0时，x2x30，解得x13x21，

E3,0，F1,0，

作QPx轴于P，过F点作FMFQ交QL于M．作MNx轴于N，如图，

FQL45，

QFM为等腰直角三角形，

FQFM，

PFQPQF90，PFQMFN90，

PQFMFN，

PQF≌NFMAAS，

PQFN4，MNPF2，

M5,2，

设直线QL的解析式为ykxb，k0,

kb4

把Q1,4，M5,2代入得，

5kb2

1

k

3

解得

11

b

3

111

∴直线QL的解析式为yx，

33

111

当y0时，x0

33

解得x11，

L11,0，

点E3,0和点L11,0关于T对称，

∴T点坐标为4,0，

22

∵点F与点K关于T点对称，

K7,0，

故答案为：7,0．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，中心对称图形的性质，配方法，二次函数与一元二次方程的关系，

全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式等知识．关键是作辅助线构造全等三角形．

【类型9】新定义探究问题

22

27．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数y1a1xb1xc1与y2a2xb2xc2的图象关于点P(1,0)成中心对

称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．

(1)求二次函数yx26x3的“中心对称”函数的解析式；

c2aac

(2)若二次函数yax22axc(a0)的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当x时，y最

a4a

大值为2，求此二次函数解析式．

2

(3)二次函数y1axbxc(a0)的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的

顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB2BP，且四边形AMDN为矩形，

求b24ac的值．

【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为：y(x5)26

117

(2)抛物线的表达式为：yx2x

424

(3)b24ac20

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形

等，综合性强，难度适中．

（1）由新定义即可求解；

（2）求出c7a，得到抛物线的表达式为：yax22x7，即可求解；

（3）由MH2AHDH，即可求解．

【详解】（1）解：yx26x3(x3)26，

则该函数的顶点坐标为：(3,6)，

则该顶点关于(1,0)的对称点为(5,6)，

23

则“中心对称”函数的解析式为：y(x5)26；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x1，

则顶点坐标为：(1,ca)，

则“中心对称”函数的顶点坐标为：(3,ac)，

则“中心对称”函数的表达式为：ya(x3)2ac，

将(1,ca)代入上式得：caa(13)2ac，

解得：c7a，

则抛物线的表达式为：yax22ax7aax22x7，

c2aac

当x时，

a4a

即5x2，

则抛物线在x5时，取得最大值为2，

即a(25107)2，

1

解得：a，

4

117

则抛物线的表达式为：yx2x；

424

（3）如下图：

2

设点A、B、D的横坐标分别为：xA,xB,xD,Δb4ac,设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，

b

则点的坐标为：bΔbΔ，bΔ，点的坐标为：，

M,,xAxH,0

2a4a2aB2a2a

根据点A,D关于P1,0中心对称，点D的横坐标xD2xA，

bbΔΔΔ

由点A、M的坐标得，AB2AH22·，

2a2a2aa

b

则BP1，

2a

若AB2BP，

24

b

即22，

a2a

整理得：2ab2，

当四边形AMDN为矩形时，则AMD90，

MDHAMH，

MHAH

tanMDHtanAMH，

HDMH

则MH2AHDH，

ΔbbΔΔ

而，

MH,AH,DH2xAxH

4a2a2a2a

2

则ΔΔ，

2xAxH

4a2a

2

整理得：(2b4a)，

4

2

将2ab2代入上式得：(5),

4

解得：Δ20，0（舍去），

即b24ac20．

28．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）二次函数yx22mx的图像交x轴于原点O及点A．

感知特例：

（1）当m1时，如图1，抛物线L:yx22x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B，

O，C，A，D¢，如下表：

B1,3O0,0C1,1A__,__D3,3

B5,3O4,0C3,1A2,0D1,3

①补全表格：A（___，___）

②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为L．

25

形成概念：

我们发现形如（1）中的图像L上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L是L的“孔像抛物线”．例

如，当m2时，图2中的抛物线L是抛物线L的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当m1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围

为_______；

②若二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点，求m的值．

【答案】（1）①2；0；②作图见解析；（2）①3x1；②m=±1

【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点A的对称点；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的

曲线依次连接各点即可；

（2）①利用配方法求出抛物线L的顶点与对称轴，利用点A的坐标和对称性求出“孔像抛物线”L的顶点与

对称轴，进而得出“孔像抛物线”L解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；

②利用二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点，可得直线ym必经过这

两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令ym分别经过L和L的顶点，从而得到关于

ym的方程，解方程即可求得结论．

【详解】（1）∵点B1,3与点B5,3关于点A中心对称，

1533

∴点A的坐标为(,，即A2,0，

22

故答案为：2；0；

②描点，连线，得到的图像如图所示：

（2）①当m1时，抛物线L为yx22x，对称轴为x=1，

当yx22x0，

解得：x10，x22，

26

∴A2,0，

∴原点关于A2,0对称的点的坐标为4,0，

24

∴它的“孔像抛物线”L的解析式为yx2x4，对称轴为x3，

2

画出草图如图所示：

∵抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，

∴x的取值范围为：3x1，

故答案为：3x1；

22

②∵L：yx22mxxmm2，设顶点为Pm，m，过点P作PMx轴于点M，“孔像抛物线”L的

顶点为P，过点P作PMx轴于点M，

∴PMAPMA