2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题21 直线与圆的位置关系 (12大类型精准练) (教师版)

专题21直线与圆的位置关系（13大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：12大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1.直线和圆的位置关系

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆

心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中

直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

知识点2.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点）

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

1

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交

点，作半径，证垂直”．

（3）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（4）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（5）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半

径，见垂直．

归纳总结：

切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

知识点3.切线长定理

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线

的夹角．

（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

归纳总结：

切线长定理的一个基本图形如图所示其中包含的其他结论有：

(1)三组垂直线段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP:

(2)三组全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;

(3)两组相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE;

(4)两个等腰三角形：△OAB和△PAB.

知识点4.三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：

2

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离

都相等.

要点归纳：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的

一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

外心(三角形三角形三边中垂线的(1)到三角形三个顶点的距

外接圆的圆交点离相等，即OA=OB=OC；(2)

心)外心不一定在三角形内部

内心(三角形三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；

内切圆的圆的交点(2)OA、OB、OC分别平分∠

心)BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内

心在三角形内部.

【类型1】直线与圆的位置关系

1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是4m，则直线和圆的位置关

系为（）

A．相离B．相交C．相切D．无法确定

【答案】B

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为5m，而圆心到直线的距离为4m，即圆心O

到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．

【详解】解：∵圆的半径为5m，圆心到直线的距离为4m，

∴圆心到直线的距离圆的半径，

∴直线与圆相交，

故选：B．

3

2．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的

距离等于圆O的半径，则点P的个数为（）

A．1B．2C．3D．3个以上

【答案】B

【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系判断即可．

【详解】解：∵直线l与圆O相交，

∴直线l与圆O有两个公共点，这两个公共点到O点的距离等于圆O的半径，

故选B，

3．（2025九年级下·浙江·专题练习）在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3，以点C为圆心，r为半径

画C，根据下列条件，分别求出的取值范围．

(1)边AB与C相离；

(2)边AB与C相切；

(3)边AB与C相交．

【答案】(1)0r2.4

(2)r2.4

(3)r2.4

【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定．

（1）过C作CDAB于D，根据勾股定理得到AB5，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据

圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论；

（2）解法同（1），边AB与C相切时，r2.4；

（3）解法同（1），边AB与C相交时，r2.4．

【详解】（1）解：如图，过C作CDAB于D，

∵C90,AC4,BC3，

∴ABBC2AC25，

11

∵S△BCACACCD，

ABC22

BCAC

∴CD2.4，

AB

∴直线AB与C相离，则r的取值范围是0r2.4；

4

（2）解：直线AB与C相切，则r的值是rCD2.4；

（3）解：直线AB与C相交，则r的取值范围是r2.4．

【类型2】已知直线与圆的位置关系求半径

4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在Rt△ABC中，C90，AC6，BC8，以点C为圆心，

r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的取值范围为（）

A．0r4.4B．0r4.4C．0r4.8D．0r4.8

【答案】C

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点C作CDAB于点D，

利用勾股定理求出AB，再根据直线AB与圆相离得到CDr，最后利用等面积法求解，即可解题．

【详解】解：根据题意画图如下，

过点C作CDAB于点D，

ACB90，AC6，BC8，

ABAC2BC210，

以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线AB相离，

CDr，

11

Q6810CD，

22

解得CD4.8，

0r4.8

故选：C．

5．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为R，圆心到直线的距离为5，且这个圆与这条直线

有公共点，那么下列结论正确的是（）

A．R5B．R5C．0R5D．0R5

【答案】B

【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键．

根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到R与5的大小关系．

【详解】解：这个圆与这条直线有公共点，

直线与圆相切或相交，

圆心到直线的距离为5，

R5，

5

故选：B．

6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知Rt△ABC的斜边AB6，直角边AC3，以点C为圆心作C．

(1)当半径r为________时，直线AB与C相切；

(2)当C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为________；

(3)当C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为__________．

33

【答案】(1)；

2

33

(2)r或3r33；

2

33

(3)0r或r33．

2

【分析】（1）如图作CHAB于H，求出CH的值即可判断；

33

（2）当C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为r或3r33；

2

33

（3）当C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为0r或r33，

2

本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】（1）如图作CHAB于H，

在Rt△ABC中，AB6，AC3，ACB90，

∴由勾股定理得BCAB2AC233，

11

∵SACBCABCH，

ABC22

ACBC33333

∴CH，

AB62

33

∴当半径r时，直线AB与C相切，

2

33

故答案为：r；

2

（2）观察图形可知，

33

当C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为r或3r33，

2

6

33

故答案为：r或3r33；

2

（3）观察图形可知，

33

当C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为0r或r33，

2

33

故答案为：0r或r33．

2

【类型3】圆平移到与直线相切时满足的条件

7．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为

3,0，将OP沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为（）

A．1B．1或5C．3D．3或5

【答案】B

【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的

距离等于圆的半径．分两种情况讨论：P位于y轴左侧和P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线

的性质分别求解，即可得到答案．

【详解】解：P的圆心P的坐标为(3,0)，

OP3，

QeP的半径为2，

APBP2，

OA1，OB5，

当P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，

当P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，

平移的距离为1或5，

故选：B．

8．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为3,0，以点P

为圆心，2为半径的P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当P与y轴相切时，t

7

的值为（）

A．0.5B．1C．0.5或2.5D．1或3

【答案】C

【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．

【详解】解：（1）当P的圆心P在y轴左侧时，

P到y轴距离dr2时，⊙P与y轴相切，

∴P移动时间t3220.5（秒）；

（2）当P的圆心P在y轴右侧时，

P到y轴距离dr2时，P与y轴相切，

∴P移动时间t3222.5（秒）．

故选C．

【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．

9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，半径为1cm的P的

圆心在直线AB上，开始时，PO6cm．如果P以1cm/s的速度向右运动，那么当P的运动时间t(s)满足

条件时，P与直线CD相交．

【答案】4t8

【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是

解题的关键．

求得当P位于点O的左边与CD相切时t的值和P位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为

相交．

【详解】解：当点P在射线OA时，P与CD相切，如图，过P作PECD于E，

8

∴PE1cm，

∵AOC30，

∴OP2PE2cm，

∴P的圆心在直线AB上向右移动了62cm后与CD相切，

62

∴P移动所用的时间4（秒）；

1

当点P在射线OB时，P与CD相切，如图，过P作PECD与F，

∴PF1cm，

∵AOCDOB30，

∴OP2PF2cm，

∴P的圆心在直线AB上向右移动了62cm后与CD相切，

62

∴P移动所用的时间8（秒）．

1

∴当P的运动时间（ts）满足条件4t8时，P与直线CD相交．

故答案为：4t8．

【类型4】切线的判定的认识

10．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（）

A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．三点确定一个圆

C．长度相等的弧是等弧D．垂直于半径的直线是圆的切线

【答案】A

【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆

的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可．

【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；

B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；

C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意；

D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意；

9

故选：A．

11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；

③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确

的命题有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根

据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆

周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可．

【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确；

垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误；

同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误；

直径所对的圆周角是直角，说法④正确；

垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误．

综上所述，正确的命题有①④，共计2个．

故选：C．

12．（2024·湖北·模拟预测）如图，O和直线l1，直线l2在同一平面内，AB是O的直径，直线l2是O的

切线，直线l1经过点A，下列条件不能判定直线l1与O相切的是（）

∥

A．l1l2B．l1AB

C．l1与O只有一个公共点D．点O到l1上某点的距离等于半径

【答案】D

【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切

线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即

可．

【详解】解：AB是O的直径，且l2是O的切线

l2AB

∥

又l1l2

l1AB

10

直线l1与O相切

故选项A、B可以判定，不符合题意；

C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；

D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；

故选：D．

【类型5】切线的判定条件

13．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是O外一点，

过点A作AECD，垂足为E，连接OC．若使CD切O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（）

A．OC∥AEB．OACCAEC．OCACAED．OAAC

【答案】D

【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案．

【详解】解：A、∵AECD，

∴AED90，

当OC∥AE时，则OCD90，即OCDE，

∴CD切O于点C，该选项正确，不符合题意；

B、∵AECD，

∴AED90，则CAEACE90，

∵OAOC，

∴OACOCA，

当OACCAE时，则OCAACE90，即OCDE，

∴CD切O于点C，该选项正确，不符合题意；

C、当OCACAE时，OC∥AE，

∵AECD，

∴AED90，

∴OCD90，即OCDE，

∴CD切O于点C，该选项正确，不符合题意；

D、当OAAC时，由OAOC得到OAOCAC，

∴OAC是等腰三角形，无法确定OCD90，

∴不能得到CD切O于点C，该选项不正确，符合题意．

故选：D．

11

【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．

14．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，

那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．

【答案】60

【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．

【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，

1

∴OABOBA180AOB30，

2

∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，

∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．

故答案为：60．

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此

题的关键．

15．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加

的一个条件是．（写一个条件即可）

【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）

【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°

即可．

【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，

∵∠ABT=∠ATB=45°，

∴∠BAT=90°，

又∵AB是圆O的直径，

∴AT是圆O的切线，

12

故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．

【类型6】证明直线与圆相切

16．（19-20九年级上·福建福州·期中）如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D

为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.

【答案】详见解析

【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．

【详解】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：

∵AB为⊙D的切线，

∴∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，

∴BD=DF，

∴AC与⊙D相切．

【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．

17．（2025·江苏·二模）如图，在O中，AB是O的直径，点E在O上，点C是弧BE的中点，AECD，

垂足为点D．求证：CD是O的切线．

13

【答案】见解析

【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练

掌握切线的判定是解答的关键．连接OC，先证明OCAOACCAD得到OC∥AD，再利用平行线的

性质得到AECD，进而利用切线的判定定理可得结论．

【详解】证明：连接OC，

∵点C是弧BE的中点，

))

∴BCCE，

∴∠OAC∠CAD，

∵OAOC，

∴OACOCA，

∴∠CAD∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AECD，

∴OCCD，又OC为O的半径，

∴CD是O的切线．

18．（2025·四川眉山·一模）如图，AB为O的直径，取OA的中点C，过点C作CDAB交O于点D，

D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且ADAE．

(1)求E的度数；

(2)试判断ED与O的位置关系，并说明理由．

14

【答案】(1)E30

(2)ED与O的位置关系是相切，理由见解析

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅

助线是解题的关键．

（1）如图，连接OD，根据等腰三角形的性质得到ADOD．推出△OAD是等边三角形．得到OAD60，

再结合ADAE即可求解；

（2）根据三角形的内角和定理得到ODE90．由垂直的定义得到ODDE．推出DE是O的切线．

【详解】（1）解：如图，连接OD，

OAOD，

点C为OA的中点，CDAB，

ADOD，

OAODAD，

OAD是等边三角形，

OAD60，

ADAE，

1

EADEOAD30；

2

（2）解：ED与O的位置关系是相切，理由如下：

由（1）知ADE30，ADO60，

ODE90，

ODDE，

ED是O的切线．

19．（2025·山东临沂·一模）如图，VABC内接于O，D是BC上一点，ADAC．E是O外一点，

BAECAD，ADEACB，连接BE．

(1)若CD2，DE6，求BD的长；

15

(2)求证：EB是O的切线．

【答案】(1)4

(2)见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，掌握切线的判定是关键．

（1）证明ADE≌ACB(ASA)，得到BCDE6，即可求解；

（2）连接BO并延长交O于点F，可得AFBABF90，AFBACB，ABEAFB，所以

ABFABE90，结合切线的判定即可求解．

【详解】（1）解：BAECAD，

BAEBADCADBAD，即EADBAC，

又ADEACB，ADAC，

ADEACB(ASA)，

BCDE6，

BDBCCD624；

（2）证明：连接BO并延长交O于点F，连接AF，

BF是O的直径，

BAF90，

AFBABF90，

∵，

ABAB

∴AFBACB，

由（1）知ADEACB(ASA)

∴AEAB，

AEBABE，

又BAECAD，

ABEACB，

ABEAFB，

ABFABE90，

OBBE，

EB是O的切线．

【类型7】切线的性质

16

20．（2025·山西·模拟预测）如图，O与△OAB的边AB相切于点C，与边OB相交于点D．点E为优弧CD

上的点，连接CE,DE．若B40，则E的度数为（）

A．20B．25C．35D．40

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理等知识，根据切线的性质得到OCB90.即可得到

COB50.根据圆周角定理即可得到答案．

【详解】解：如图，连接OC．

O与△OAB的边AB相切于点C，

OCAB，

OCB90，

B40，

COB50，

1

ECOB25；

2

故选：B．

21．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，过O外一点P作圆的切线PA,PB，点A,B为切点，AC为直径，

设P50，则C的度数为．

【答案】65

【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接OB，由切线的性质可得

OAPOBP90，则由四边形内角和定理可得AOB的度数，再由圆周角定理即可得到答案．

17

【详解】解：如图所示，连接OB，

∵PA,PB都是O的切线，

∴OAPOBP90，

∴∠AOB360∠OAP∠OBP∠P130，

∵AC为直径，

1

∴CAOB65，

2

故答案为：65．

22．（2025·湖南·中考真题）如图，VABC的顶点A，C在O上，圆心O在边AB上，ACB120°，BC

与O相切与点C，连接OC．

(1)求ACO的度数；

(2)求证：ACBC．

【答案】(1)30

(2)见解析

【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解

题的关键．

（1）由切线的性质得到OCB90，据此根据角的和差关系可得答案；

（2）由等边对等角得到OACACO30，再由三角形内角和定理可得B30，则可证明AB，

进而可证明ACBC．

【详解】（1）解：∵BC与O相切与点C，

∴OCBC，

∴OCB90，

∵ACB120°，

∴ACO∠ACB∠OCB1209030;

（2）证明：∵OAOC，

∴OACACO30，

18

∵ACB120°，ABACB180，

∴B30，

∴AB，

∴ACBC．

23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图VABC中，ACB90，BE平分ABC交AC于点E，

以点E为圆心，EC为半径作E交AC于点F．

(1)求证：AB与E相切；

(2)若AB15，BC9，试求AF的长．

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股

定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

（1）作EHAB于点H，根据角平分线性质得EHEC，得点H在E上，即得AB与E相

切；

（2）根据勾股定理求得AC，表示出AE12EC，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理

列出关于EC的方程，解方程即可得出结果．

【详解】（1）证明：

如图，作EHAB于点Q，

ACB90，BE平分ABC交AC于点E，

ECBC于点C，

EHEC，

EC是E的半径，EHEC，

19

点H在E上，

EH是E的半径，且ABEH，

AB与E相切．

（2）

解：

ACB90，AB15，BC9，

ACAB2BC21529212，

EHEFEC，

AEACEC12EC，

EC是E的半径，且BCEC，

BC是E的切线，

BHBC9，

AHABBH1596，

AHE90，

AH2EH2AE2，

62EC2(12EC)2，

9

EFEC，

2

99

AFACEFEC123，

22

AF的长为3．

【类型8】切线长定理

24．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为O外一点，PA，PB分别切O于A，B两点，若PA6，则PB

（）

20

A．3B．6C．9D．12

【答案】B

【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，

它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

利用切线长定理即可直接得出答案．

【详解】解：由切线长定理可知：

PBPA6，

故选：B．

25．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，O是VABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF7，

AB9，则VABC的周长为（）

A．16B．23C．25D．32

【答案】D

【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得ADAE，CECF，BDBF，即可求解；掌握切线长

定理是解题的关键．

【详解】解：O是VABC的内切圆，切点分别为D，E，F，

ADAE，

CECF，

BDBF，

VABC的周长为：

ABBCCD

ADBDAECECFBF

2AB2CF

2927

32；

21

故选：D．

26．（19-20九年级上·贵州黔西·期末）如图，PA，PB分别切O于点A，B，MN切O于点C，分别交

PA，PB于点M，N，若PBPA7.5cm，则PMN的周长是．

【答案】15cm/15厘米

【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根

据切线长定理可知MAMC，NBNC，从而可求出CPMNPMMNPNPAPB，即可求解．

【详解】解：∵MN切O于点C，

∴MAMC，NBNC，

∴CPMNPMMNPN

PMCMCNPN

PMAMNBPN

PAPB

15cm．

故答案为：15cm．

【类型9】有关切线长定理的计算与证明

27．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，PA,PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，

BAC25，求PAB和P的度数．

【答案】PAB65，P50

【分析】根据切线的性质，得到OAP90，利用互余关系求出PAB的度数，利用切线长定理，得到△ABP

是等腰三角形，利用三角形内角和求出P的度数即可．

【详解】解：∵PA,PB是⊙O的切线，

∴PAPB,OAP90，

∴PABOAPBAC902565，

∴PABPBA65，

∴P180656550．

22

【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．

28．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE

为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

【答案】（1）BE＝6；(2)SABC＝24..

【分析】（1）连接OD，由切△线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即

可求得直径BE的长；

（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式

求得△ABC的面积．

【详解】（1）连接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

设半径为r

∴AO＝r＋2

2

∴r2r216

解之得：r＝3

∴BE＝6

(2)∵∠ABC＝900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

∵CD切⊙O于D

∴CB＝CD

23

令CB＝x

∴AC＝x＋4，CB＝x，AB＝8

2

∵x282x4

∴x＝6.

12

∴SABC＝8624（cm）.

2

△

故答案为（1）BE＝6；(2)SABC＝24..

△

【点睛】本题考查勾股定理，切线的定义，切线长定理.

29．（18-19九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，

OB＝6cm，OC＝8cm．

（Ⅰ）求证：OB⊥OC；

（Ⅱ）求CG的长．

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6.4cm

【分析】（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得

∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；

（Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长.

【详解】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠OBE+∠OCF＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∴OB⊥OC；

24

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．

∵OB＝6cm，OC＝8cm，

∴由勾股定理得到：BC＝OB2OC2＝10cm，

1111

∴SOBOCBCOF即6810OF

BOC2222

∴OF＝4.8cm．

∴CFOC2OF2＝6.4cm，

∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G，

∴CG＝CF＝6.4cm．

【点睛】本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直

角三角形的面积进行计算．

【类型10】三角形的内切圆

30．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，VABC中，A80，点O是VABC的内心．则BOC的度

数（）

A．60B．80C．120D．130

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先

根据三角形的内角和定理可得ABCACB100，再根据三角形的内心可得BO平分ABC，CO平分

ACB，从而可得OBCOCB50，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．

【详解】解：∵VABC中，A80，

∴ABCACB180A100，

∵点O是VABC的内心，

∴BO平分ABC，CO平分ACB，

25

11

∴OBCABC，OCBACB，

22

111

∴OBCOCBABCACBABCACB50，

222

∴BOC180OBCOCB130，

故选：D．

31．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD9，

BD6，则VABC的面积为．

【答案】54

【分析】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接OE,OF，根据内切

圆的性质可得四边形CEOF是正方形，则CEEOOFFC，根据切线的性质可得AEAD9，

222

BFBD6，设O的半径为r，则CECFr，运用勾股定理可得9r6r96，据此计算

即可求解．

【详解】解：如图所示，连接OE,OF，

∵O是直角三角形ABC的内切圆，点D、E、F为切点，

∴CCEOCFO90，

∴四边形CEOF是矩形，

∵CECF，

∴矩形CEOF是正方形，

∴CEEOOFFC，

∵点D、E、F为切点，

∴AEAD9，BFBD6，

设O的半径为r，则CECFr，

26

222

∴9r6r96，

∴r3或18（舍去），

∴AC9312，BC639，

1

∴VABC的面积12954，

2

故答案为：54．

32．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，O是VABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且A90，

5

BC，CA2，则O的半径是．

2

1

【答案】/0.5

2

【详解】设ODOFAFADx，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题．

本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识．

【解答】解：在Rt△ABC中，

5

∵A90，BC，CA2，

2

3

∴ABBC2AC2，

2

∵O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，

∴BDBE，ADAF，CFCE，

如图，连接OD，OF，

∵ODAB，OFAC，ODOF，

∴ODCAOFA90，

∴四边形ADOF是正方形，

设ODOFAFADx，

3

则CECF2x，BDBEx，

2

5

∵BECE，

2

27

35

∴2xx，

22

1

∴x，

2

1

则圆O的半径为．

2

故答案为：1．

2

33．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在VABC中，请利用尺规作图法作出VABC的内心O．（不

写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了作三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，分别作

CAB，ABC的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求．

【详解】解：如图所示，分别作CAB，ABC的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求．

34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知VABC．求作：VABC的内切圆O．（要

求：不写作法，保留作图痕迹）．

（2）VABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB5cm,BC7cm,CA6cm，求AF

的长．

【答案】（1）见解析

（2）2

28

【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理，

对于（1），作C的平分线CK，再作A的平分线AG，交于点O，过点O作OHBC，交BC于点D，

以点O为圆心，OD为半径作圆，即为所求作；

对于（2），根据切线长定理得AEAF,BFBD,CDCE，再结合AB5cm,BC7cm,CA6cm，可得答案．

【详解】解：（1）如图所示．

（2）如图所示，

∵VABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切与点D，E，F，

∴AEAF,BFBD,CDCE．

∵AB5cm,BC7cm,CA6cm，

∴BF(5AF)cm，

∴BD(5AF)cm．

则CD[7(5AF)](2AF)cm，

∴CE(2AF)cm，

则AE[6(2AF)](4AF)cm，

即AF4AF，

解得AF2cm．

35．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，VABC中，C90，BC5，O与VABC的三边分别相

切于点D，E，F，若O的半径为2，求VABC的周长．

29

【答案】30

【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关

键．

设ADx，由切线长定理得AEx，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CECF2，BDBF3，

在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．

【详解】解：连接OE，OF，设ADx．

由切