2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题25 概率初步 (10大类型精准练) (教师版)

专题25概率初步（10大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：10大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1.概率

1.确定事件与随机事件：

（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可

能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．

（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．

2.可能性的大小：

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

3.概率的意义：

m

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率P(A)，会稳定在某个常数p附近，那么这

n

个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．

（3）概率取值范围：0≤p≤1．

（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

知识点2.概率的计算

求概率的常见方法有：列举法、树状图法、列表法.

1

知识点3.用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频

率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通

过统计频率来估计概率．

【类型1】事件的分类

1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不．可．能．事．件．是（）

A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球

C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】B

【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然

不会发生的事件，对各选项逐一分析.

【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；

2

选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；

选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；

选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；

综上，只有选项B符合不可能事件的定义，

故选：B．

2．（23-24九年级上·北京东城·期末）在下列事件中，随机事件是（）

A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2

B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球

C．通常情况下，自来水在10C结冰

D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6

【答案】A

【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断．

【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意；

B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；

C、通常情况下，自来水在10C结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意；

D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意．

故选：A．

3．（23-24九年级上·全国·课后作业）文化体验

一休得罪了幕府将军，将军决定处罚一休，幸得安国寺长老和百姓们的求情，将军同意让一休自己来决定

自己的命运．方法是：将军写下两张签，一张罚，一张免，让一休抽签，抽中罚则罚，抽中免则免．将军

一心想处罚一休，在两张签上都写上“罚”.一休早就料到了这一点，抽中之后将手中之签销毁，让众人看另

一张签，另一张是“罚”，一休手中自然是“免”．请你分析以上内容中的必然事件、随机事件和不可能事件．

【答案】见解析

【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义解答．

【详解】解：将军的阴谋中，一休被罚是必然事件；原本的方法中，一休被罚是随机事件；一休的办法中，

一休被罚是不可能事件．

【点睛】本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发

生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．

4．（23-24九年级上·全国·课后作业）世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个

队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个

队进入16强，请问：

(1)每小组共比赛多少场？

(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？

【答案】(1)每小组共比赛6场；

3

(2)该队出线是一个随机事件．

【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛(4´3)场，而每两队之间只

比赛一场，因此再除以2可完成解答；

（2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概

念进行判断，即可完成解答．

【详解】（1）解：432=6（场）

答：每小组共比赛6场；

（2）解：因为总共有6场比赛，

每场比赛最多可得3分，

则6场比赛最多共有3618分，

现有一队得6分，

还剩下12分，

则还有可能有2个队同时得6分，

故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件．

【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键．

【类型2】概率的认识

5．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）下列说法中，错误的是（）

A．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖

B．“经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件

C．“平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件

D．“任意画一个三角形，其内角和是540”是不可能事件

【答案】A

【分析】本题考查了事件的分类和概率，根据概率的意义及随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项

判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．

【详解】解：A、如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定会中奖，该选项说法

错误，符合题意；

B、“经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件，该选项说法正确，不合题意；

C、“平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件，该选项说法正确，不合题意；

D、“任意画一个三角形，其内角和是540”是不可能事件，该选项说法正确，不合题意；

故选：A．

3

6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（）

100

A．做100次这种实验，事件A必发生3次

B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次

4

C．做1000次这种实验，事件A必发生30次

D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次

【答案】D

【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答．

3

【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次，

100

故选：D

1

7．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖

1000

吗？买1000张彩票一定能中奖吗？

【答案】见解析

【分析】买1000张彩票结果是随机的，再结合买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，

解答即可．

【详解】解：买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果是随机的，只能说买1000张彩票中

奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖，

买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖．

【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．

【类型3】概率公式

8．（2023·浙江温州·一模）把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面

的点数是奇数的概率为（）．

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】C

【分析】本题考查一步概率问题求解，根据题意，把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一

次，落地后，朝上面的点数为1、2、3、4、5、6共6种等可能得结果，其中是奇数的有1、3、5共3种，由简单概率公

式代值求解即可得到答案，熟练掌握一步概率问题的求解方法是解决问题的关键．

【详解】解：把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为1、2、3、4、5、6

共6种等可能得结果，其中是奇数的有1、3、5共3种，

31

朝上面的点数是奇数的概率为，

62

故选：C．

9．（24-25九年级上·全国·课后作业）在绝对值小于3的非零整数中，随机取出一个数，其倒数等于本身的

概率是．

【答案】1

2

【分析】本题考查的是概率公式，倒数的含义，绝对值的含义，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关

5

键．先得出绝对值小于3的非零整数有2，1，1，2，再结合倒数等于本身的数，根据概率公式即可得出

结论．

【详解】解：∵绝对值小于3的非零整数有2，1，1，2，共4个，其中倒数等于本身的有1和1这两个

数，

21

∴P（倒数等于本身）．

42

故答案为：1

2

10．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其

余都相同，从中任意摸出一个球．

(1)“摸到红球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）

2

(2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？

5

【答案】(1)随机；不可能

(2)需要往盒子里再放入4个白球

【分析】（1）根据不可能事件，随机事件的含义可得答案．

（2）设再放入x个白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可．

【详解】（1）解：一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意

摸出一个球．

“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件；

（2）解：设需要往盒子里再放入x个白球，

2x2

根据题意，得，

92x5

解得x4，

经检验，x4是原方程的解．

故需要往盒子里再放入4个白球．

【点睛】本题考查了不可能事件，随机事件，概率的计算，分式方程的应用，熟记概率的计算方法是解题

关键．

11．（23-24九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有2个白球，3个黄球，每个球除颜色外

均相同，现将同样除颜色外都相同的黄球和白球若干个（白球个数是黄球个数的2倍）放入袋中，搅匀后，

若从袋中摸出一个球是白球的概率是1，求后放入袋中的黄球的个数．

2

【答案】1

【分析】设放入袋中的黄球的个数为x，根据概率公式列方程进行求解即可．

【详解】解：设放入袋中的黄球的个数为x，

1

根据题意得：22x23x2x，解得x1．

2

6

答：放入袋中的黄球的个数为1．

【点睛】本题考查已知概率求数量．解题的关键是掌握概率公式，正确的列出方程．

【类型4】几何概率

12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中

任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），

则飞镖击中阴影区域的概率是（）

1452

A．B．C．D．

3993

【答案】C

【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关

键．

先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可．

【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为12225，

2

∴阴影区域的面积为55，

∵整个正方形的面积为339，

5

∴飞镖击中阴影区域的概率是．

9

故选C．

13．（2023·河南新乡·二模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正

六边形边长的1），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

2

1111

A．B．C．D．

2346

【答案】C

【分析】本题考查了几何概率．图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三

7

角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分

之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．

【详解】如下图，

1AB1

∵小正六边形的边长是大正六边形边长的，即11

2AB2

∥△∽△

由A1B1AB知，OA1B1OAB，

22

SOABAB11

∴1111，

SOABAB24

∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的1，

4

∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为1．

4

故选：C．

14．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、C为圆心，正方形的

边长为半径画弧，在正方形ABCD中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（）

π2π2π1π1

A．B．C．D．

2424

【答案】A

【分析】考查了几何概率的求法，求扇形面积，解题的关键是求得阴影部分的面积．用阴影部分的面积除

以正方形的总面积即可求得概率．

2

9022122

【详解】解：S阴影2SS正方形222222

扇形3602

2π2π2

所以在该正方形内随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为

222

故选：A．

15．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知矩形ABCD,AB2,BC3，在矩形ABCD内任取一点O，连接

8

OA,OB，如果矩形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是锐角三角形的概率为（结

果保留π）．

π

【答案】1

12

【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，利用几何概型概率公式求解，只需分别求出矩形的面积以

及满足△OAB是锐角三角形的区域的面积即可．解题关键在于理解题目的几何背景和锐角三角形的条件．

【详解】解：矩形的面积为236，

∵当△OAB是直角三角形时，则点O在以AB为直径的半圆上，

∴当△OAB是锐角三角形时，点O在以AB为直径的半圆外，

∵AB是直径，则半径为1，

11

∴半圆的面积为πr2π

22

1

6π

∴△OAB是锐角三角形的概率为π

21

612

π

故答案为：1．

12

【类型5】列举法求概率

16．（2017·广西南宁·一模）连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（）

113

A．B．C．D．1

424

【答案】A

【分析】本题主要考查了等可能事件的概率．先求出连续抛掷两枚质地均匀的硬币的结果有4种，其中两

枚正面朝上共有1种结果，再利用概率公式即可得出答案．

【详解】解：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，共有4种结果：正正，正负，负正，负负，

1

“两枚正面朝上”的概率是．

4

故∴答案为：A．

17．（2022·安徽马鞍山·一模）如图，在1×3的正方形网格上确定了两个格点（网格线的交点），从其余

的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率是（）

9

1235

A．B．C．D．

2346

【答案】B

【分析】直接由概率公式求解即可．

【详解】解：∵在13的正方形网格中共有8个格点，确定了两个格点，

42

∴从其余的格点中随机选取第三个格点，与这两个格点组成的三角形是等腰三角形的概率为，

63

故选：B．

【点睛】本题考查了概率公式以及等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．

18．（21-22九年级下·贵州黔南·阶段练习）若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B

先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是（）

1121

A．B．C．D．

3234

【答案】C

【分析】由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，即可求解．

【详解】解：由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，

2

最后一只摘到B的概率是，

3

故选：C

【点睛】本题考查了列举法求概率，找出所有的等可能性是解题的关键．

19．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心

角为120．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）．

(1)小丽第一次转到一等奖的概率是；

(2)求小丽两次都转到一等奖的概率．

1

【答案】(1)

3

10

1

(2)小丽两次都转到一等奖的概率为．

9

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．

（1）用120除以360即可求解；

（2）利用列举法求出总的结果数和小丽转两次转盘的结果数，再利用概率公式计算即可求解．

1201

【详解】（1）解：小丽第一次转到一等奖的概率是；

3603

1

故答案为：；

3

（2）解：将一等奖区域记为A，二等奖区域平均划分为两个区域，分别记为B，C．

小丽转两次转盘的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、

（C，B），（C，C）共有9种结果，它们出现的可能性相同．

1

满足两次一等奖的结果有1种，即（A，A），所以小丽两次都转到一等奖的概率为．

9

【类型6】树状图法求概率

20．（21-22九年级上·江西吉安·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯

泡L2发光的概率是（）

1112

A．B．C．D．

4323

【答案】B

【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情

况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可．

【详解】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的有2种情况，

21

∴能让灯泡L发光的概率为：．

263

故选：B．

21．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相

11

同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（）

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大

于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

【详解】解：画树状图如图所示：

共有20种等可能的结果，两次摸出

的小球的标号之和不小于5的有16种结果，

164

两次摸出的小球的标号之和不小于的概率为P；

5205

故选：D．

22．（2023·陕西西安·模拟预测）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的

4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝

下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．

(1)第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．

(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写

的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．

1

【答案】(1)；

4

1

(2)两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．

6

【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）画出树状图，利用概率公式计算即可；

本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

【详解】（1）解：∵共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是1，

4

故答案为：1；

4

（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用A、B、C、D

12

表示，

画树状图，

一共有12种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有2种，

21

∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．

126

23．（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”

的字样，将卡片的背面朝上．

(1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；

(2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”

的卡片的概率．

1

【答案】(1)

3

1

(2)

3

【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步

或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况

数与总情况数之比．

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，

再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，

1

洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率，

3

1

故答案为：；

3

（2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为A、B、C，

画树状图如下：

13

共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，

21

抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．

63

【类型7】列表法法求概率

24．（24-25九年级上·全国·课后作业）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，这两个小球除颜色外都相

同．将球摇匀后从中随机摸出一个小球，然后放回袋中并摇匀，再从中随机摸出一个小球．用画树状图或

列表的方法，求第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率．

【答案】1

4

【分析】本题主要考查了概率．熟练掌握列表法或画树状图求概率，是解决问题的关键．

列表，得到4种等可能结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种，得到第一次摸到红球、第

二次摸到绿球的概率为1．

4

【详解】解：列表如下：

第二次第一次红绿

红（红，红）（红，绿）

绿（绿，红）（绿，绿）

由上表可知，一共有4种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种，

1

P(第一次摸到红球、第二次摸到绿球)．

4

故第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为1．

4

25．（19-20九年级上·全国·单元测试）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，

除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．

(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；

(2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉

字能组成“平凉”的概率．

1

【答案】(1)

4

1

(2)摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．

6

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合

事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果数，然后

根据概率公式求解．

14

1

【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为；

4

（2）解：列表如下：

魅力平凉

魅（力，魅）（平，魅）（凉，魅）

力（魅，力）（平，力）（凉，力）

平（魅，平）（力，平）（凉，平）

凉（魅，凉）（力，凉）（平，凉）

由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种

其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉），

21

摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．

126

26．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和1个红球，这些球除

颜色外都相同．从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球．请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出

的球都是白球的概率．

1

【答案】两次摸出的球都是白球的概率为

6

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．列表得出所有等可能的情况数和两次都

摸出白球的情况数，再利用概率公式求解即可．

【详解】解：根据题意，两次摸球情况如下：

第二次摸球

第一次摸球

白1白2黑红

白1（白1，白2）（白1，黑）（白1，红）

白2（白2，白1）（白2，黑）（白2，红）

黑（黑，白1）（黑，白2）（黑，红）

红（红，白1）（红，白2）（红，黑）

由此可知，共有12种等可能结果，其中两次都是白球的有2种，

21

两次摸出的球都是白球的概率为：．

126

【类型8】用频率估计概率

15

27．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：

射击次数n10205010020050010002000

击中10环次数m81944931784538991802

m

击中10环频率

n

(1)计算表中击中10环的各个频率；

(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？

【答案】(1)见解析

(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9

【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等．

（1）按表格中所给数据计算即可；

（2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合

（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率．

【详解】（1）解：计算结果如下表：

射击次数n10205010020050010002000

击中10环次数m81944931784538991802

m

击中10环频率0.80.950.880.930.890.910.900.90

n

（2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳

定在0.90附近，并围绕0.90作小幅波动，

∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为0.90．

28．（19-20九年级上·全国·课后作业）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让

若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．

摸球的次数n1001502005008001000

摸到黑球的次数m233160130203251

m

摸到黑球的频率0.2300.2310.3000.2600.254

n

(1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是；

(2)估计袋中白球的个数；

(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球

16

的概率．

【答案】(1)0.251，0.25

(2)3

9

(3)

16

【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数

与总情况数之比．

（1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左

右，即为摸出黑球的概率；

（2）设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；

（3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可．

【详解】（1）解：表中数据：25110000.251，

观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，

估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；

故答案为：0.25；

（2）解：设袋子中白球的个数为x，

1

根据题意，得：0.25，

1x

解得x3，

经检验x3是分式方程的解，

估算袋中白球的个数为3；

（3）解：画树状图得：

共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的

有9种情况，

9

两次都摸出白球的概率为．

16

29．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除

颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒

子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：

摸球的次数n1020501002004005001000

17

摸到白球的次数m4710284597127252

摸到白球的频率m0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）；

(2)试估算盒子里白球有个；

(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是

（填写所有正确结论的序号）．

①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．

②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”．

③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．

④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项．

【答案】(1)0.25

(2)10

(3)③④

【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体

数目总体数目相应频率．

（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；

（2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案；

（3）试验结果在0.25附近波动，即其概率0.25，计算四个选项的概率，约为0.25者即为正确答案．

【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.25；

故答案为：0.25；

（2）解：根据题意得：400.2510（个），

故答案为：10；

1

（3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；

2

21

②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，

63

故此选项不符合题意；

131

③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；

524

1

④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意．

4

故答案为：③④．

【类型9】游戏的公平性

30．（2024九年级下·上海·专题练习）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B分别被分成4等份、3等份，

并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：

18

①分别转动转盘A与B．

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到

指针指向某一份为止）．

③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜．

(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；

(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．

1

【答案】(1)

4

(2)不公平，新的游戏规则见解析

【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参

与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可；

（2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可．

【详解】（1）解：列表如下：

A╲B012

0012

1101

2210

3321

共有12种等可能的结果，其中和为0的结果有3种，

31

王扬获胜的概率P；

124

（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：

19313

由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，，

412444

二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平，

新的游戏规则如下：①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如

果指针恰好停在等分线上，那么重