2025年新七年级数学暑假衔接 (人教版)专题09 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题 (2知识点+6大题型+思维导图+过关测) (学生版)

PAGE1专题09有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01有理数混合运算易错问题1.运算顺序混乱：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，如忽略括号优先级，或对同级运算从左到右的规则执行错误（例：误将3-5×2先算减法）。2.符号处理失误：乘除运算中忽略负数符号，如(-3)÷(-2)误算为-1.5；加减运算中去括号时符号错误，如3-(2-5)误得3-2-5。3.分数与小数转换错误：混合运算中分数与小数运算时未统一形式，导致计算出错（如0.5×1/3误算为0.5÷3）。知识点02化简绝对值相关知识点1.绝对值代数意义：若a>0，则|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判断绝对值内数的正负性。2.化简步骤：先分析绝对值内式子的符号，再根据定义去绝对值符号，如化简|3-π|时，因3-π<0，故|3-π|=π-3。3.含字母绝对值化简：需分类讨论字母取值范围，如|a|化简时，分a≥0和a<0两种情况，避免直接去掉绝对值符号。【题型1有理数中乘除混合运算易错】例题：（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算：．【变式训练】1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：．2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是．3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算：．【题型2含乘方的有理数混合运算】例题：（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）计算：【变式训练】1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：；2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：．3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：5．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）计算：(1)(2)【题型3有理数的混合运算中的新定义型问题】例题：（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义一种新运算：．如：．(1)_____；(2)求的值．【变式训练】1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．2．（24-25七年级上·云南红河·期中）【阅读理解】材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”．材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：．(1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式：①；②；(2)求的值．3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：；；；；；．(1)计算：①；②；③；(2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．【题型4根据点在数轴的位置化简绝对值】例题：（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．(1)填空：0；0．（“＜”或“＞”或“＝”填空）(2)化简代数式：．【变式训练】1．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示．(1)试判断式子的符号；(2)化简：．2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）在数轴上对应点的位置如图所示，(1)判断下列各式与的大小：①；②；③；(2)化简式子：．3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____．(2)化简：【题型5利用分类讨论数学思想化简绝对值】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·分类讨论已知，则的值是多少？【变式训练】1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．(1)当时，则______；当时，则______．(2)已知，是有理数，当时，试求的值．(3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值．2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．(1)当时，则______；当时，则______．(2)已知，是有理数，当时，试求的值．(3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值．3．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题．我们知道，所以当时，；当时，．请用上面的结论解决下列问题：(1)已知，是有理数，当时，．(2)已知，，是有理数，当时，．(3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是．【题型6利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】例题：（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是；(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为；(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______；(4)求代数式的最小值为．【变式训练】1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案．(1)若，则．(2)请找出符合条件的，使得．(3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____；(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____；(3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________．(2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________；(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________．(4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________．(5)拓展：的最小值是：________．一、单选题1．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（

）A．10 B． C．5 D．2．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下：若，则第次“运算”的结果是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：.6．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有（填写序号）．①；②；③；④；⑤．7．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则．8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是（填序号）．三、解答题9．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：(1)；(2)．10．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）计算：(1)(2)11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算(1)；(2)；(3)．12．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：．(1)求的值；(2)求的值．13．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且．(1)求与的值．(2)化简：．14．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算：(1)；(2)．15．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于．(2)若数轴上的点表示的数，求的最小值；(3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值．16．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，；(2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：．17．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数，，满足，求的值．【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①，，都是正数，即，，时，则②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．综上所述，值为3或．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数，，满足，求的值；(2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值．18．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所