(完整版)大学概率统计试题及答案

(完整版)大学概率统计试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A、B为两个随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)的值为（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（）A.1B.2C.3D.43.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=c·e^{-2x-3y}（x>0,y>0），其余为0，则常数c=（）A.2B.3C.6D.124.设X~N(1,4)，Y~N(2,9)，且X与Y独立，则P(X+Y≤3)=（）A.Φ(0)B.Φ(1)C.Φ(-1)D.Φ(2)5.设总体X~N(μ,σ²)，σ²已知，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，记\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)，则μ的置信水平为1-α的置信区间为（）A.\(\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\)B.\(\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right)\)C.\(\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n),\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n)\right)\)D.\(\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\)二、填空题（每小题4分，共20分）1.袋中有5个红球、3个白球，不放回地依次取2个球，已知第一次取到红球，则第二次取到白球的概率为________。2.设随机变量X的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}kx^2,&0≤x≤1\\0,&其他\end{cases}\)，则k=________；E(X)=________。3.设X~B(n,p)，且E(X)=2，D(X)=1.2，则n=________，p=________。4.设X与Y的相关系数ρ=0.5，D(X)=1，D(Y)=4，则D(X+Y)=________。5.设总体X的概率密度为\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)（θ>0），X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则θ的矩估计量为________。三、计算题（共55分）1.（10分）某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占全厂的25%、35%、40%，各生产线的次品率分别为5%、4%、2%。现从全厂产品中随机抽取1件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，该次品来自甲生产线的概率。2.（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下：|Y\X|0|1||------|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|（1）求X与Y的边缘分布律；（2）判断X与Y是否独立，说明理由；（3）计算Cov(X,Y)。3.（13分）设随机变量X的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}2e^{-2x},&x>0\\0,&其他\end{cases}\)，定义Y=e^X。（1）求Y的概率密度f_Y(y)；（2）计算E(Y)和D(Y)。4.（10分）设总体X~N(μ,σ²)，σ²未知，从总体中抽取容量为16的样本，测得样本均值\(\bar{x}=50\)，样本标准差s=6。（1）求μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）若σ²=36，求μ的置信水平为0.95的置信区间（已知t₀.₀₂₅(15)=2.131，z₀.₀₂₅=1.96）。5.（10分）某企业声称其产品的平均使用寿命至少为5000小时。现从该产品中随机抽取25件，测得样本均值为4900小时，样本标准差为200小时。假设使用寿命服从正态分布，检验该企业的声称是否成立（α=0.05，t₀.₀₅(24)=1.711）。四、证明题（10分）设随机变量X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²，证明切比雪夫不等式：对任意ε>0，有\(P(|X-μ|≥ε)≤\frac{\sigma²}{ε²}\)。---参考答案与解析一、单项选择题1.由概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，代入得0.8=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.3。因此P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6，选C。2.泊松分布的E(X)=λ，D(X)=λ，E(X²)=D(X)+[E(X)]²=λ+λ²。展开E[(X-1)(X-2)]=E(X²-3X+2)=E(X²)-3E(X)+2=λ+λ²-3λ+2=λ²-2λ+2=1，解得λ²-2λ+1=0，即λ=1，选A。3.由联合概率密度的归一性：\(\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ce^{-2x-3y}dxdy=1\)。计算得c·\(\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\right)\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-3y}dy\right)\)=c·(1/2)(1/3)=c/6=1，故c=6，选C。4.X+Y~N(1+2,4+9)=N(3,13)，但标准化时P(X+Y≤3)=P\left(\frac{(X+Y)-3}{\sqrt{13}}≤0\right)=Φ(0)，选A。5.σ²已知时，μ的置信区间用Z分布，选A。二、填空题1.设A=“第一次取红球”，B=“第二次取白球”，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。P(A)=5/8，P(AB)=(5×3)/(8×7)=15/56，故P(B|A)=(15/56)/(5/8)=3/7。2.由归一性：\(\int_{0}^{1}kx²dx=1\)，即k·(1/3)=1，k=3。E(X)=\(\int_{0}^{1}x·3x²dx=3\int_{0}^{1}x³dx=3×(1/4)=3/4\)。3.E(X)=np=2，D(X)=np(1-p)=1.2，解得1-p=1.2/2=0.6，故p=0.4，n=2/0.4=5。4.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4+2×ρ×√D(X)√D(Y)=5+2×0.5×1×2=5+2=7。5.一阶矩E(X)=\(\int_{0}^{1}x·θx^{θ-1}dx=θ\int_{0}^{1}x^θdx=θ/(θ+1)\)。令样本矩\(\bar{X}=E(X)\)，解得θ=\(\bar{X}/(1-\bar{X})\)，故矩估计量为\(\hat{θ}=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\)（其中\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)）。三、计算题1.（1）设A=“甲生产线”，B=“乙生产线”，C=“丙生产线”，D=“次品”。由全概率公式：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0125+0.014+0.008=0.0345。（2）由贝叶斯公式：P(A|D)=P(A)P(D|A)/P(D)=0.25×0.05/0.0345≈0.0125/0.0345≈0.3623。2.（1）X的边缘分布律：P(X=0)=0.1+0.3=0.4；P(X=1)=0.2+0.4=0.6。Y的边缘分布律：P(Y=0)=0.1+0.2=0.3；P(Y=1)=0.3+0.4=0.7。（2）若X与Y独立，则对所有i,j有P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)。例如，P(X=0,Y=0)=0.1，而P(X=0)P(Y=0)=0.4×0.3=0.12≠0.1，故不独立。（3）E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6；E(Y)=0×0.3+1×0.7=0.7；E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.3+1×0×0.2+1×1×0.4=0.4；Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.6×0.7=0.4-0.42=-0.02。3.（1）Y=e^X，X>0时Y>1，反函数X=lnY，导数dx/dy=1/Y。f_Y(y)=f_X(lnY)·|dx/dy|=2e^{-2lnY}·(1/Y)=2·Y^{-2}·(1/Y)=2Y^{-3}（y>1），其他为0。（2）E(Y)=\(\int_{1}^{+\infty}y·2y^{-3}dy=2\int_{1}^{+\infty}y^{-2}dy=2×[-y^{-1}]_{1}^{+\infty}=2×(0+1)=2\)；E(Y²)=\(\int_{1}^{+\infty}y²·2y^{-3}dy=2\int_{1}^{+\infty}y^{-1}dy\)，但此积分发散？错误！原X的概率密度是f(x)=2e^{-2x}（x>0），则Y=e^X，正确计算应为：E(Y)=\(\int_{0}^{+\infty}e^x·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2×1=2\)；E(Y²)=\(\int_{0}^{+\infty}(e^x)^2·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{0}dx=2\int_{0}^{+\infty}1dx\)，发散？这说明Y的二阶矩不存在，但题目可能存在设计问题。实际应为Y=e^{-X}更合理，若按原题，可能题目笔误，假设Y=e^{-X}，则：Y=e^{-X}，x>0时0<y<1，反函数x=-lny，dx/dy=-1/y，f_Y(y)=f_X(-lny)·|dx/dy|=2e^{-2(-lny)}·(1/y)=2y²·(1/y)=2y（0<y<1），则E(Y)=\(\int_{0}^{1}y·2ydy=2×(1/3)=2/3\)，E(Y²)=\(\int_{0}^{1}y²·2ydy=2×(1/4)=1/2\)，D(Y)=1/2-(2/3)²=1/2-4/9=1/18。但原题Y=e^X，可能正确解答应为：由于X~Exp(2)，E(e^X)=\(\int_{0}^{+\infty}e^x·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2\)，而E(e^{2X})=\(\int_{0}^{+\infty}e^{2x}·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}1dx\)发散，故D(Y)不存在。可能题目意图为Y=e^{-X}，此处按原题解答，指出二阶矩不存在。4.（1）σ²未知，用t分布，置信区间为\(\bar{x}±t_{\alpha/2}(n-1)·s/\sqrt{n}\)。代入得50±2.131×6/4=50±3.1965，即(46.8035,53.1965)。（2）σ²已知，用Z分布，置信区间为\(\bar{x}±z_{\alpha/2}·σ/\sqrt{n}\)。代入得50±1.96×6/4=50±2.94，即(47.06,52.94)。5.检验假设H₀:μ≥5000，H₁:μ<5000（单侧检验）。检验统计量t=(4900-5000)/(200/√25)=(-100)/40=-2.5。临界值t₀.₀₅(24)=1.