《应用统计学》练习题及答案

《应用统计学》练习题及答案一、数据描述与统计量计算某高职院校市场营销专业2023级30名学生的《消费者行为学》期末成绩（满分100分）如下（已排序）：58,62,65,68,70,72,73,75,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,961.计算该组数据的均值、中位数、众数。2.计算四分位数（Q1、Q3）和四分位距（IQR）。3.计算方差和标准差（样本标准差，分母为n-1）。4.绘制茎叶图，并简要描述数据分布特征。答案：1.均值、中位数、众数计算-均值（$\bar{x}$）：$\bar{x}=\frac{\sumx_i}{n}=\frac{58+62+\cdots+96}{30}=\frac{2490}{30}=83$（分）。-中位数（$M_e$）：n=30为偶数，中位数是第15和16个数的平均值，即$\frac{81+82}{2}=81.5$（分）。-众数（$M_0$）：数据中75出现2次，其余数值均出现1次，因此众数为75（分）。2.四分位数与四分位距-Q1（第25百分位数）：位置为$(n+1)\times0.25=31\times0.25=7.75$，即第7个数（73）与第8个数（75）的0.75分位数，$Q1=73+0.75\times(75-73)=74.5$（分）。-Q3（第75百分位数）：位置为$(n+1)\times0.75=31\times0.75=23.25$，即第23个数（89）与第24个数（90）的0.25分位数，$Q3=89+0.25\times(90-89)=89.25$（分）。-四分位距（IQR）：$Q3-Q1=89.25-74.5=14.75$（分）。3.方差与标准差-样本方差（$s^2$）：首先计算离均差平方和$\sum(x_i-\bar{x})^2$：$(58-83)^2+(62-83)^2+\cdots+(96-83)^2=625+441+\cdots+169=3420$（计算过程略）。$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{3420}{29}\approx117.93$（分²）。-样本标准差（$s$）：$s=\sqrt{117.93}\approx10.86$（分）。4.茎叶图绘制与分布特征茎叶图以十位为茎，个位为叶：5|86|2587|0235567898|01234567899|0123456分布特征：数据主要集中在70-95分之间，低分段（<70分）仅有3个数据，高分段（≥90分）有7个数据，整体呈轻微左偏（均值83略高于中位数81.5），数据分布较分散（标准差约10.86分）。二、概率分布应用某电商平台销售的智能手表，历史退货率为5%。现随机抽取10台该手表，假设退货事件独立。1.计算恰好2台退货的概率。2.计算至少1台退货的概率。3.若该平台日销量为500台，近似计算日退货量不超过30台的概率（使用正态近似）。答案：设X为退货数量，X~B(n,p)，其中n=10，p=0.05。1.恰好2台退货的概率二项分布概率公式：$P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$$P(X=2)=C(10,2)\times0.05^2\times0.95^8=45\times0.0025\times0.6634\approx0.0746$（约7.46%）。2.至少1台退货的概率$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-C(10,0)\times0.05^0\times0.95^{10}=1-1\times1\times0.5987\approx0.4013$（约40.13%）。3.日退货量不超过30台的概率（正态近似）当n=500，p=0.05时，X~B(500,0.05)，可近似为正态分布$N(np,np(1-p))$，其中：$np=500\times0.05=25$，$np(1-p)=25\times0.95=23.75$，标准差$\sigma=\sqrt{23.75}\approx4.87$。需计算$P(X\leq30)$，使用连续性修正，转化为$P(X\leq30.5)$。标准化：$Z=\frac{30.5-25}{4.87}\approx1.13$。查标准正态分布表，$P(Z\leq1.13)\approx0.8708$，因此日退货量不超过30台的概率约为87.08%。三、参数估计与假设检验某食品厂生产的饼干，包装标注净含量为200g。质检部门随机抽取25袋，测得平均净含量为198g，样本标准差为5g（假设净含量服从正态分布）。1.计算总体均值的95%置信区间。2.检验该批次饼干净含量是否符合标注（α=0.05）。答案：1.95%置信区间计算总体方差未知，使用t分布。样本量n=25，自由度df=24，α=0.05，双侧检验的t临界值$t_{0.025,24}=2.064$。置信区间公式：$\bar{x}\pmt_{\alpha/2}\times\frac{s}{\sqrt{n}}$代入数据：$198\pm2.064\times\frac{5}{\sqrt{25}}=198\pm2.064\times1=(195.936,200.064)$（g）。2.假设检验（双侧检验）-原假设$H_0:\mu=200$（符合标注）；备择假设$H_1:\mu\neq200$（不符合标注）。-检验统计量：$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{198-200}{5/\sqrt{25}}=\frac{-2}{1}=-2$。-临界值：$t_{0.025,24}=2.064$（双侧检验，拒绝域为$|t|>2.064$）。-结论：计算得$|t|=2<2.064$，未落入拒绝域，因此不拒绝原假设，认为该批次饼干净含量符合标注（α=0.05）。四、方差分析某超市为测试三种促销策略（A、B、C）对饮料销量的影响，在6家门店分别采用不同策略，连续一周的日销量（箱）数据如下：|策略A|策略B|策略C||-------|-------|-------||12|15|18||14|17|20||13|16|19||11|14|17|（注：每家策略对应4个样本）1.建立单因素方差分析表（计算组间平方和、组内平方和、总平方和、F统计量）。2.检验三种促销策略对销量是否有显著影响（α=0.05）。答案：设因素为促销策略，k=3组，每组n=4，总样本数N=12。1.方差分析表计算-各组均值：$\bar{x}_A=\frac{12+14+13+11}{4}=12.5$，$\bar{x}_B=15.5$，$\bar{x}_C=18$。-总均值：$\bar{x}=\frac{12.5\times4+15.5\times4+18\times4}{12}=\frac{50+62+72}{12}=\frac{184}{12}\approx15.33$。-总平方和（SST）：$\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2$计算各数据与总均值的离差平方和：(12-15.33)²+(14-15.33)²+…+(17-15.33)²=11.09+1.77+…+2.79≈68.67。-组间平方和（SSB）：$\sum_{j=1}^kn_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2$=4×(12.5-15.33)²+4×(15.5-15.33)²+4×(18-15.33)²=4×8.01+4×0.03+4×7.13≈32.04+0.12+28.52=60.68。-组内平方和（SSE）：SST-SSB=68.67-60.68=7.99。-自由度：组间df1=k-1=2，组内df2=N-k=9，总df=N-1=11。-均方（MS）：MSB=SSB/df1=60.68/2=30.34，MSE=SSE/df2=7.99/9≈0.89。-F统计量：F=MSB/MSE=30.34/0.89≈34.1。方差分析表：|来源|平方和（SS）|自由度（df）|均方（MS）|F统计量||------------|--------------|--------------|------------|---------||组间差异|60.68|2|30.34|34.1||组内差异|7.99|9|0.89|—||总差异|68.67|11|—|—|2.显著性检验α=0.05，查F分布表，临界值$F_{0.05}(2,9)=4.26$。计算得F=34.1>4.26，落入拒绝域，因此拒绝原假设，认为三种促销策略对销量有显著影响（α=0.05）。五、简单线性回归分析某企业2020-2023年的广告投入（x，万元）与销售额（y，百万元）数据如下：|年份|广告投入x|销售额y||------|-----------|---------||2020|10|50||2021|15|65||2022|20|80||2023|25|95|1.建立销售额y关于广告投入x的线性回归方程$\hat{y}=a+bx$。2.计算判定系数$R^2$，并解释其意义。3.预测当广告投入为30万元时的销售额。答案：1.回归方程建立计算相关统计量：$\sumx=10+15+20+25=70$，$\sumy=50+65+80+95=290$，$\sumxy=10×50+15×65+20×80+25×95=500+975+1600+2375=5450$，$\sumx^2=100+225+400+625=1350$，n=4。斜率b：$b=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^2-(\sumx)^2}=\frac{4×5450-70×290}{4×1350-70^2}=\frac{21800-20300}{5400-4900}=\frac{1500}{500}=3$。截距a：$a=\bar{y}-b\bar{x}=\frac{290}{4}-3×\frac{70}{4}=72.5-52.5=20$。回归方程：$\hat{y}=20+3x$。2.判定系数$R^2$总平方和SST：$\sum(y_i-\bar{y})^2=(50-72.5)^2+(65-72.5)^2+(80-72.5)^2+(95-72.5)^2=506.25+56.25+56.25+506.25=1125$。回归平方和SSR：$\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2$，计算各$\hat{y}_i$：$\hat{y}_1=20+3×10=50$，$\hat{y}_2=20