2025年高考数学立体几何模拟试卷（立体几何中的组合图形分析）

2025年高考数学立体几何模拟试卷（立体几何中的组合图形分析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+2y+z-6=0的距离等于（）A.1B.2C.3D.42.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面，AA1=3，则点A1到平面BCC1B1的距离是（）A.2B.√3C.2√3D.3√33.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PC的中点，则三棱锥E-ABC的体积是（）A.1/3B.2/3C.1D.24.已知正六棱柱的底面边长为1，高为2，则该棱柱的体积是（）A.3√3B.6√3C.3√3πD.6√3π5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1C与平面ABC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.1/√2D.√3/26.已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积是（）A.4πB.8πC.16πD.32π7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=4，则对角线BD1的长度是（）A.√29B.√30C.√31D.√328.已知球O的半径为2，点A、B在球面上，且OA=OB=3，AB=2√2，则球心O到平面AB的distance是（）A.1B.√2C.√3D.29.在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥平面ABCDE，PA=1，则棱锥P-ABCDE的体积是（）A.5√5/4B.5√5/2C.5√5D.10√510.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则该棱锥的全面积是（）A.8B.12C.16D.20二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=1+2t，z=3-2t的距离是______。12.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面，AA1=3，则平面ABB1A1与平面ACC1A1所成二面角的余弦值是______。13.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PC的中点，则直线PB与平面EAC所成角的正弦值是______。14.已知正六棱柱的底面边长为1，高为2，则该棱柱的表面积是______。15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1B与平面ABC所成角的正弦值是______。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，F是棱BC的中点。（1）求证：平面PAF⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。17.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面PBC；（2）求二面角A-PB-C的余弦值。18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，D是AC的中点，E是B1C1的中点。（1）求证：平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）求直线A1B与平面ADE所成角的正弦值。19.在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA=1，G是棱PC的中点。（1）求证：平面PAG⊥平面PCD；（2）求三棱锥P-ACD的体积。20.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB=AD=1，BC=2，AA1=2，E是棱CC1的中点，F是棱DD1的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面BCC1B1；（2）求四棱锥E-A1B1CD的体积。四、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，BC=2√2，PA⊥底面ABC，PA=2，D是BC的中点。（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。22.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。23.在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，F是棱BC的中点。（1）求证：平面PAF⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。24.在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA=1，G是棱PC的中点。（1）求证：平面PAG⊥平面PCD；（2）求三棱锥P-ACD的体积。25.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB=AD=1，BC=2，AA1=2，E是棱CC1的中点，F是棱DD1的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面BCC1B1；（2）求四棱锥E-A1B1CD的体积。五、解答题（本大题共5小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）26.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，BC=2√2，PA⊥底面ABC，PA=2，D是BC的中点。（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。27.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。28.在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，F是棱BC的中点。（1）求证：平面PAF⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。29.在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA=1，G是棱PC的中点。（1）求证：平面PAG⊥平面PCD；（2）求三棱锥P-ACD的体积。30.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB=AD=1，BC=2，AA1=2，E是棱CC1的中点，F是棱DD1的中点。（1）求证：平面AEB⊥平面BCC1B1；（2）求四棱锥E-A1B1CD的体积。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.B解析：点A到平面α的距离d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)=|1*1+2*2+3*(-6)+6|/√(1^2+2^2+1^2)=|-5|/√6=5/√6=5√6/6≈2，选B。2.A解析：点A1到平面BCC1B1的距离等于点A1到直线BC的距离，因为平面BCC1B1垂直于平面PBC，而PA垂直于平面PBC，所以A1到BC的距离就是A1到平面PBC的距离，即AA1=2。3.B解析：三棱锥E-ABC的体积V=1/3*底面积*高，底面ABC是正三角形，面积S=√3/4*2^2=√3，高为PA的一半，即1，所以V=1/3*√3*1=2/3。4.B解析：正六棱柱的体积V=底面积*高，底面是正六边形，面积S=3√3/2*1^2=3√3/2，高为2，所以V=3√3/2*2=6√3。5.C解析：直线A1C与平面ABC所成角的正弦值等于A1C在平面ABC上的投影与A1C的比值，A1C的长度为√(1^2+2^2)=√5，在平面上的投影为AC=1，所以sinθ=1/√5=1/√2。6.B解析：圆锥的侧面积S=πrl=π*2*4=8π。7.C解析：对角线BD1的长度√(AB^2+BC^2+AA1^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。8.A解析：球心O到平面AB的距离等于√(OA^2-AB^2/4)=√(3^2-(2√2)^2/4)=1。9.A解析：棱锥P-ABCDE的体积V=1/3*底面积*高，底面是正五边形，面积S=5√5/4，高为1，所以V=1/3*5√5/4*1=5√5/12。10.D解析：正四棱锥的全面积S=底面积+4*侧面积，底面积S=2^2=4，侧面积S=1/2*2*√(2^2-1^2)=√3，所以S=4+4√3=20。二、填空题答案及解析11.√5解析：点A到直线l的距离等于点A到直线l上任意一点的距离，取t=0时，直线l上一点为(1,1,3)，所以距离d=√((1-1)^2+(2-1)^2+(3-3)^2)=√5。12.1/√2解析：平面ABB1A1与平面ACC1A1所成二面角的余弦值等于两平面法向量的点积除以模长的乘积，法向量分别为(0,1,0)和(1,0,0)，点积为0，模长为√2，所以cosθ=0/√2=1/√2。13.1/2解析：直线PB与平面EAC所成角的正弦值等于PB在平面EAC上的投影与PB的比值，PB的长度为√5，在平面上的投影为AC=√2，所以sinθ=√2/√5=1/2。14.12+6√3解析：正六棱柱的表面积S=2*底面积+6*侧面积，底面积S=3√3/2*1^2=3√3/2，侧面积S=1/2*1*2*2=2，所以S=2*3√3/2+6*2=12+6√3。15.1/√2解析：直线A1B与平面ABC所成角的正弦值等于A1B在平面ABC上的投影与A1B的比值，A1B的长度为√5，在平面上的投影为AB=√2，所以sinθ=√2/√5=1/√2。三、解答题答案及解析16.（1）证明：因为PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥BC，又因为F是BC的中点，所以PF⊥BC，又因为PF在平面PAF上，BC在平面PBC上，所以平面PAF⊥平面PBC。（2）解：三棱锥P-ABC的体积V=1/3*底面积*高，底面ABC是正三角形，面积S=√3/4*2^2=√3，高为PA=2，所以V=1/3*√3*2=2√3/3。17.（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥BC，所以AC⊥BC，又因为AC在平面AEB上，BC在平面PBC上，所以平面AEB⊥平面PBC。（2）解：二面角A-PB-C的余弦值等于平面PBC的法向量与平面AEB的法向量的点积除以模长的乘积，法向量分别为(0,1,0)和(1,0,0)，点积为0，模长为√2，所以cosθ=0/√2=0。18.（1）证明：因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC，又因为D是AC的中点，所以AD⊥BC，又因为AD在平面ADE上，BC在平面BCC1B1上，所以平面ADE⊥平面BCC1B1。（2）解：直线A1B与平面ADE所成角的正弦值等于A1B在平面ADE上的投影与A1B的比值，A1B的长度为√5，在平面上的投影为AD=√2，所以sinθ=√2/√5=1/√2。19.（1）证明：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥CD，又因为G是PC的中点，所以PG⊥CD，又因为PG在平面PAG上，CD在平面PCD上，所以平面PAG⊥平面PCD。（2）解：三棱锥P-ACD的体积V=1/3*底面积*高，底面ACD是等腰三角形，面积S=1/2*2*√3=√3，高为PA=1，所以V=1/3*√3*1=√3/3。20.（1）证明：因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1⊥AD，又因为AB⊥AD，所以AD⊥平面ABB1A1，又因为E在平面ABB1A1上，所以平面AEB⊥平面BCC1B1。（2）解：四棱锥E-A1B1CD的体积V=1/3*底面积*高，底面A1B1CD是矩形，面积S=1*2=2，高为AA1=2，所以V=1/3*2*2=4/3。四、解答题答案及解析21.（1）证明：因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC，又因为PD⊥BC，所以BC⊥平面PAD，又因为PD在平面PAD上，所以PD⊥BC。（2）解：二面角A-PC-B的余弦值等于平面PCB的法向量与平面PAC的法向量的点积除以模长的乘积，法向量分别为(0,1,0)和(1,0,0)，点积为0，模长为√2，所以cosθ=0/√2=0。22.（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为AB⊥BC，所以AC⊥BC，又因为AC在平面AEB上，BC在平面PBC上，所以平面AEB⊥平面PBC。（2）解：三棱锥P-ABC的体积V=1/3*底面积*高，底面ABC是矩形，面积S=1*1=1，高为PA=2，所以V=1/3*1*2=2/3。23.（1）证明：因为PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥BC，又因为PF⊥BC，所以BC⊥平面PAF，又因为PF在平面PAF上，BC在平面PBC上，所以平面PAF⊥平面PBC。（2）解：三棱锥P-ABC的体积V=1/3*底面积*高，底面ABC是正三角形，面积S=√3/4*2^2=√3，高为PA=2，所以V=1/3*√3*2=2√3/3。24.（1）证明：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥CD，又因为PG⊥CD，所以CD⊥平面PAG，又因为PG在平面PAG上，CD在平面PCD上，所以平面PAG⊥平面PCD。（2）解：三棱锥P-ACD的体积V=1/3*底面积*高，底面ACD是等腰三角形，面积S=1/2*2*√3=√3，高为PA=1，所以V=1/3*√3*1=√3/3。25.（1）证明：因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1⊥AD，又因为AB⊥AD，所以AD⊥平面ABB1A1，又因为E在平面ABB1A1上，所以平面AEB⊥平面BCC1B1。（2）解：四棱锥E-A1B1CD的体积V=1/3*底面积*高，底面A1B1CD是矩形，面积S=1*2=2，高为AA1=2，所以V=1/3*2*2=4/3。五、解答题答案及解析26.（1）证明：因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC，又因为PD⊥BC，所以BC⊥平面PAD，又因为PD在平面PAD上，所以PD⊥BC。（2）解：二面角A-PC-B的余弦值等于平面PCB的法向量与平面PAC的法向量的点积除以模长的乘积，法向量分别为(0,1,0