2025年高考数学模拟检测卷-解析几何中的坐标轴变换

2025年高考数学模拟检测卷-解析几何中的坐标轴变换考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，将该坐标系进行伸缩变换，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，则点A在新坐标系中的坐标为（）A.(6,12)B.(9,12)C.(6,9)D.(9,6)2.如果将直线y=2x+1经过坐标轴变换后变为y'=-x+2，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标减去2B.横坐标减去1，纵坐标不变C.横坐标乘以-1，纵坐标不变D.横坐标乘以-1，纵坐标加上13.抛物线y^2=8x经过坐标轴变换后变为y'^2=-8x'，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去4，纵坐标减去24.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1经过坐标轴变换后变为x'^2/a^2+y'^2/b^2=1，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去a，纵坐标减去b5.圆x^2+y^2=r^2经过坐标轴变换后变为(x'+1)^2+(y'+2)^2=r^2，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标减去1，纵坐标减去2B.横坐标加上1，纵坐标加上2C.横坐标减去1，纵坐标加上2D.横坐标加上1，纵坐标减去26.椭圆x^2/9+y^2/4=1经过坐标轴变换后变为x'^2/9-y'^2/4=1，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去3，纵坐标减去27.直线y=mx+b经过坐标轴变换后变为y'=-mx+b，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去1，纵坐标减去b8.抛物线y^2=4ax经过坐标轴变换后变为y'^2=-4ax'，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去a，纵坐标减去a9.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1经过坐标轴变换后变为y'^2/b^2-x'^2/a^2=1，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标不变，纵坐标乘以-1B.横坐标乘以-1，纵坐标不变C.横坐标和纵坐标都乘以-1D.横坐标减去a，纵坐标减去b10.圆(x-1)^2+(y-2)^2=r^2经过坐标轴变换后变为x'^2+y'^2=r^2，那么该坐标轴变换可能是（）A.横坐标减去1，纵坐标减去2B.横坐标加上1，纵坐标加上2C.横坐标减去1，纵坐标加上2D.横坐标加上1，纵坐标减去2二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请将答案填写在答题卡相应位置。）1.将点P(2,3)经过坐标轴变换后变为P'(4,6)，那么该坐标轴变换可能是横坐标乘以2，纵坐标乘以3。2.将直线y=3x+2经过坐标轴变换后变为y'=-x/3+2/3，那么该坐标轴变换可能是横坐标乘以-1/3，纵坐标不变。3.将抛物线y^2=12x经过坐标轴变换后变为y'^2=-12x'，那么该坐标轴变换可能是横坐标乘以-1，纵坐标乘以-1。4.将双曲线x^2/4-y^2/9=1经过坐标轴变换后变为x'^2/4+y'^2/9=1，那么该坐标轴变换可能是横坐标不变，纵坐标乘以-1。5.将圆(x+1)^2+(y-1)^2=4经过坐标轴变换后变为x'^2+y'^2=4，那么该坐标轴变换可能是横坐标减去-1，纵坐标减去1。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.已知点A(1,2)和点B(3,0)，将该坐标系进行旋转变换，使得直线AB变为水平方向，求该旋转变换的公式，并写出点A和点B在新坐标系中的坐标。解：首先，我们需要求出直线AB的斜率k，由于点A(1,2)和点B(3,0)，所以k=(0-2)/(3-1)=-1。因此，直线AB的倾斜角为135度。旋转变换的公式为：x'=x*cosθ-y*sinθy'=x*sinθ+y*cosθ其中θ为旋转角度，由于我们要将直线AB变为水平方向，所以θ=135度。将θ代入公式中，得到：x'=x*cos135°-y*sin135°y'=x*sin135°+y*cos135°由于cos135°=-√2/2，sin135°=√2/2，所以公式可以简化为：x'=-√2/2*x-√2/2*yy'=-√2/2*x+√2/2*y接下来，我们将点A(1,2)和点B(3,0)代入上述公式，得到：点A的坐标为：x'=-√2/2*1-√2/2*2=-3√2/2y'=-√2/2*1+√2/2*2=√2/2所以点A在新坐标系中的坐标为(-3√2/2,√2/2)。点B的坐标为：x'=-√2/2*3-√2/2*0=-3√2/2y'=-√2/2*3+√2/2*0=-3√2/2所以点B在新坐标系中的坐标为(-3√2/2,-3√2/2)。因此，该旋转变换的公式为x'=-√2/2*x-√2/2*y，y'=-√2/2*x+√2/2*y，点A在新坐标系中的坐标为(-3√2/2,√2/2)，点B在新坐标系中的坐标为(-3√2/2,-3√2/2)。2.已知椭圆的标准方程为x^2/9+y^2/4=1，将该坐标系进行旋转变换，使得椭圆的长轴与x轴重合，求该旋转变换的公式，并写出椭圆在新坐标系中的方程。解：首先，我们需要求出椭圆的倾斜角θ，由于椭圆的长轴与y轴平行，所以倾斜角θ为椭圆的斜率k的反正切值。由于椭圆的标准方程为x^2/9+y^2/4=1，所以椭圆的斜率k=2√5/5。因此，倾斜角θ=arctan(2√5/5)。旋转变换的公式为：x'=x*cosθ-y*sinθy'=x*sinθ+y*cosθ其中θ为旋转角度，由于我们要将椭圆的长轴与x轴重合，所以θ=arctan(2√5/5)。将θ代入公式中，得到：x'=x*cos(arctan(2√5/5))-y*sin(arctan(2√5/5))y'=x*sin(arctan(2√5/5))+y*cos(arctan(2√5/5))由于cos(arctan(2√5/5))=√5/5，sin(arctan(2√5/5))=2√5/5，所以公式可以简化为：x'=√5/5*x-2√5/5*yy'=2√5/5*x+√5/5*y接下来，我们将椭圆的标准方程x^2/9+y^2/4=1代入上述公式，得到：(√5/5*x-2√5/5*y)^2/9+(2√5/5*x+√5/5*y)^2/4=1化简后得到椭圆在新坐标系中的方程为：x'^2/5+y'^2/9=1。因此，该旋转变换的公式为x'=√5/5*x-2√5/5*y，y'=2√5/5*x+√5/5*y，椭圆在新坐标系中的方程为x'^2/5+y'^2/9=1。3.已知双曲线的标准方程为x^2/16-y^2/9=1，将该坐标系进行旋转变换，使得双曲线的渐近线与x轴重合，求该旋转变换的公式，并写出双曲线在新坐标系中的方程。解：首先，我们需要求出双曲线的倾斜角θ，由于双曲线的渐近线与y轴平行，所以倾斜角θ为双曲线的斜率k的反正切值。由于双曲线的标准方程为x^2/16-y^2/9=1，所以双曲线的斜率k=3/4。因此，倾斜角θ=arctan(3/4)。旋转变换的公式为：x'=x*cosθ-y*sinθy'=x*sinθ+y*cosθ其中θ为旋转角度，由于我们要将双曲线的渐近线与x轴重合，所以θ=arctan(3/4)。将θ代入公式中，得到：x'=x*cos(arctan(3/4))-y*sin(arctan(3/4))y'=x*sin(arctan(3/4))+y*cos(arctan(3/4))由于cos(arctan(3/4))=4/5，sin(arctan(3/4))=3/5，所以公式可以简化为：x'=4/5*x-3/5*yy'=3/5*x+4/5*y接下来，我们将双曲线的标准方程x^2/16-y^2/9=1代入上述公式，得到：(4/5*x-3/5*y)^2/16-(3/5*x+4/5*y)^2/9=1化简后得到双曲线在新坐标系中的方程为：x'^2/25-y'^2/16=1。因此，该旋转变换的公式为x'=4/5*x-3/5*y，y'=3/5*x+4/5*y，双曲线在新坐标系中的方程为x'^2/25-y'^2/16=1。4.已知抛物线的标准方程为y^2=8x，将该坐标系进行旋转变换，使得抛物线的对称轴与x轴重合，求该旋转变换的公式，并写出抛物线在新坐标系中的方程。解：首先，我们需要求出抛物线的倾斜角θ，由于抛物线的对称轴与y轴平行，所以倾斜角θ为抛物线的斜率k的反正切值。由于抛物线的标准方程为y^2=8x，所以抛物线的斜率k=4。因此，倾斜角θ=arctan(4)。旋转变换的公式为：x'=x*cosθ-y*sinθy'=x*sinθ+y*cosθ其中θ为旋转角度，由于我们要将抛物线的对称轴与x轴重合，所以θ=arctan(4)。将θ代入公式中，得到：x'=x*cos(arctan(4))-y*sin(arctan(4))y'=x*sin(arctan(4))+y*cos(arctan(4))由于cos(arctan(4))=1/√17，sin(arctan(4))=4/√17，所以公式可以简化为：x'=1/√17*x-4/√17*yy'=4/√17*x+1/√17*y接下来，我们将抛物线的标准方程y^2=8x代入上述公式，得到：(4/√17*x+1/√17*y)^2=8(1/√17*x-4/√17*y)化简后得到抛物线在新坐标系中的方程为：y'^2=8√17*x'-32/17*y'。因此，该旋转变换的公式为x'=1/√17*x-4/√17*y，y'=4/√17*x+1/√17*y，抛物线在新坐标系中的方程为y'^2=8√17*x'-32/17*y'。5.已知圆的标准方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，将该坐标系进行旋转变换，使得圆心与原点重合，求该旋转变换的公式，并写出圆在新坐标系中的方程。解：首先，我们需要求出圆心的坐标，由于圆的标准方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，所以圆心的坐标为(2,-1)。旋转变换的公式为：x'=x*cosθ-y*sinθy'=x*sinθ+y*cosθ其中θ为旋转角度，由于我们要将圆心与原点重合，所以θ为圆心坐标的倾斜角。由于圆心坐标为(2,-1)，所以倾斜角θ=arctan(-1/2)。将θ代入公式中，得到：x'=x*cos(arctan(-1/2))-y*sin(arctan(-1/2))y'=x*sin(arctan(-1/2))+y*cos(arctan(-1/2))由于cos(arctan(-1/2))=2/√5，sin(arctan(-1/2))=-1/√5，所以公式可以简化为：x'=2/√5*x+1/√5*yy'=-1/√5*x-2/√5*y接下来，我们将圆的标准方程(x-2)^2+(y+1)^2=9代入上述公式，得到：(2/√5*x+1/√5*y-2)^2+(-1/√5*x-2/√5*y+1)^2=9化简后得到圆在新坐标系中的方程为：x'^2+y'^2=9。因此，该旋转变换的公式为x'=2/√5*x+1/√5*y，y'=-1/√5*x-2/√5*y，圆在新坐标系中的方程为x'^2+y'^2=9。本次试卷答案如下一、选择题1.答案：C解析：伸缩变换是将横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，所以点A(3,4)在新坐标系中的坐标为(3*2,4*3)=(6,12)。但是题目选项中没有(6,12)，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是(6,12)，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案C(6,9)。2.答案：C解析：直线y=2x+1经过坐标轴变换后变为y'=-x+2，我们需要找到这个变换关系。将y=2x+1代入y'=-x+2，得到2x+1=-x+2，解得x=1/3，代入y=2x+1得到y=4/3，所以变换后的点坐标为(1/3,4/3)。现在我们需要找到原始坐标系到新坐标系的变换关系。假设变换关系为x'=ax+b，y'=cy+d，代入点(3,4)和(1/3,4/3)，得到以下方程组：3a+b=1/34a+c=4/33a+b=24a+c=1解这个方程组，得到a=-1，b=1，c=0，d=2，所以变换关系为x'=-x+1，y'=y+2。这与选项C横坐标乘以-1，纵坐标不变一致。3.答案：B解析：抛物线y^2=8x经过坐标轴变换后变为y'^2=-8x'，我们需要找到这个变换关系。将y^2=8x代入y'^2=-8x'，得到(8x)^2=-8x'，解得x'=x^2。这个变换关系不符合任何一个选项，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是x'=x^2，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案B(横坐标乘以-1，纵坐标不变)。4.答案：C解析：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1经过坐标轴变换后变为x'^2/a^2+y'^2/b^2=1，我们需要找到这个变换关系。将x^2/a^2-y^2/b^2=1代入x'^2/a^2+y'^2/b^2=1，得到(x'^2/a^2+y'^2/b^2)-(x^2/a^2-y^2/b^2)=0，化简得到x'^2+y'^2=x^2+y^2。这个变换关系不符合任何一个选项，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是x'^2+y'^2=x^2+y^2，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案C(横坐标和纵坐标都乘以-1)。5.答案：A解析：圆x^2+y^2=r^2经过坐标轴变换后变为(x'+1)^2+(y'+2)^2=r^2，我们需要找到这个变换关系。将x^2+y^2=r^2代入(x'+1)^2+(y'+2)^2=r^2，得到(x'+1)^2+(y'+2)^2=x^2+y^2，展开得到x'^2+2x'+1+y'^2+4y'+4=x^2+y^2，化简得到x'^2+y'^2+2x'+4y'+5=x^2+y^2，由于x^2+y^2=r^2，所以得到x'^2+y'^2+2x'+4y'+5=r^2，这个变换关系符合选项A(横坐标减去1，纵坐标减去2)。6.答案：A解析：椭圆x^2/9+y^2/4=1经过坐标轴变换后变为x'^2/9-y'^2/4=1，我们需要找到这个变换关系。将x^2/9+y^2/4=1代入x'^2/9-y'^2/4=1，得到(x'^2/9-y'^2/4)-(x^2/9+y^2/4)=0，化简得到x'^2-y'^2=x^2+y^2。这个变换关系不符合任何一个选项，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是x'^2-y'^2=x^2+y^2，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案A(横坐标不变，纵坐标乘以-1)。7.答案：A解析：直线y=mx+b经过坐标轴变换后变为y'=-mx+b，我们需要找到这个变换关系。将y=mx+b代入y'=-mx+b，得到mx+b=-mx+b，解得m=0，代入y=mx+b得到y=b，所以变换后的点坐标为(0,b)。现在我们需要找到原始坐标系到新坐标系的变换关系。假设变换关系为x'=ax+b，y'=cy+d，代入点(3,4)和(0,b)，得到以下方程组：3a+b=04a+c=b0a+b=b0a+c=0解这个方程组，得到a=0，b=0，c=-1，d=1，所以变换关系为x'=x，y'=-y+1。这与选项A(横坐标不变，纵坐标乘以-1)一致。8.答案：C解析：抛物线y^2=4ax经过坐标轴变换后变为y'^2=-4ax'，我们需要找到这个变换关系。将y^2=4ax代入y'^2=-4ax'，得到(4ax)^2=-4ax'，解得x'=x^2。这个变换关系不符合任何一个选项，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是x'=x^2，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案C(横坐标和纵坐标都乘以-1)。9.答案：B解析：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1经过坐标轴变换后变为y'^2/b^2-x'^2/a^2=1，我们需要找到这个变换关系。将x^2/a^2-y^2/b^2=1代入y'^2/b^2-x'^2/a^2=1，得到(y'^2/b^2-x'^2/a^2)-(x^2/a^2-y^2/b^2)=0，化简得到y'^2-x'^2=x^2-y^2。这个变换关系不符合任何一个选项，可能是题目有误或者选项有误，根据计算结果，正确答案应该是y'^2-x'^2=x^2-y^2，但选项中没有，所以只能选择最接近的答案B(横坐标乘以-1，纵