2025年高考数学模拟检测卷（空间几何体切割与组合试题）

2025年高考数学模拟检测卷（空间几何体切割与组合试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰三角形，那么这个三棱锥的体积最大值为（）A.1B.2C.3D.42.已知一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，若用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/8，则这个圆锥台的体积为（）A.18πB.24πC.27πD.30π3.一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，现用一个平面经过其中一条侧棱和底面的一条边将其切割，则截面形状可能是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.矩形D.菱形4.一个四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为45°，则这个四棱锥的体积为（）A.2B.3C.4D.55.已知一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为60°，则这个三棱锥的体积为（）A.1B.2C.3D.46.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，若用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/9，则这个圆锥台的体积为（）A.20πB.24πC.27πD.30π7.一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，现用一个平面经过其中一条侧棱和底面的一条边将其切割，则截面形状可能是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.矩形D.菱形8.一个四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为60°，则这个四棱锥的体积为（）A.2B.3C.4D.59.一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为45°，则这个三棱锥的体积为（）A.1B.2C.3D.410.已知一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，若用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/7，则这个圆锥台的体积为（）A.21πB.24πC.27πD.30π二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰三角形，若这个三棱锥的体积为√3，则侧面与底面的夹角为______度。12.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，若用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/6，则这个圆锥台的体积为______π。13.一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，现用一个平面经过其中一条侧棱和底面的一条边将其切割，则截面形状为______。14.一个四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为60°，则这个四棱锥的体积为______。15.一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰三角形，且侧面与底面的夹角均为45°，则这个三棱锥的体积为______。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）一个三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，E是PC的中点，F是AB的中点。（1）求证：平面PAF⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。17.（本小题满分12分）一个圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形。（1）求圆锥的高；（2）若用一根绳子绕圆锥的侧面一周，再连接圆心与绳子两端点，求绳子的最长长度。18.（本小题满分14分）一个四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是CD的中点。（1）求证：PB⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-ABE的体积。19.（本小题满分14分）一个三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1=3，D是AC的中点，E是BC的中点。（1）求证：平面A1DE⊥平面BCC1B1；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。20.（本小题满分14分）一个圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形。现用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/9。（1）求圆锥的高；（2）求圆锥台的体积。四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分12分）一个三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥底面ABC，PA=3，F是AB的中点，G是AC的中点。（1）求证：平面PFG⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-ABC的体积。22.（本小题满分12分）一个圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形。（1）求圆锥的高；（2）若用一根绳子绕圆锥的侧面一周，再连接圆心与绳子两端点，求绳子的最长长度。23.（本小题满分14分）一个四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是CD的中点。（1）求证：PB⊥平面PAC；（2）求三棱锥P-ABE的体积。24.（本小题满分14分）一个三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1=4，D是AC的中点，E是BC的中点。（1）求证：平面A1DE⊥平面BCC1B1；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。25.（本小题满分14分）一个圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图是一个圆心角为150°的扇形。现用一个平行于底面的平面将该圆锥切割成一个小圆锥和一个圆锥台，且小圆锥的体积是大圆锥体积的1/8。（1）求圆锥的高；（2）求圆锥台的体积。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：设三棱锥的高为h，底面面积为S。由题意，侧面均为等腰三角形，且底面为正三角形，当高h与侧棱垂直时，体积最大。此时，每个侧面都是等腰三角形，且底面中心到顶点的距离为√3。由勾股定理得，h²+(√3/3)²=2²，解得h=2√6/3。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积最大值为V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(2√6/3)=2√2。选项C正确。2.B解析：设圆锥的高为h，底面半径为R=3，母线长为l=5。由相似三角形性质，小圆锥的高为h/3，底面半径为R/3=1。体积比等于相似比的立方，即(1/8)=((h/3)/(h))³，解得h/3=1/2，即h=3/2。小圆锥体积V1=(1/3)π(1)²(3/2)=π/2。大圆锥体积V=(1/3)πR²h=(1/3)π(3)²(5)=15π。故圆锥台体积V台=V-V1=15π-π/2=30π/2-π/2=24π。选项B正确。3.A解析：设侧棱为PA，底面边为BC。截面过侧棱PA和底面边BC，则截面必包含PA和BC。由于底面为正三角形，且D为AC中点，连接BD。在△PBD中，PB为侧棱，BD为底面边的一半，且∠PBD为直角（因为侧面与底面垂直），故截面为等腰三角形。选项A正确。4.A解析：底面为正方形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角45°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√2（正方形对角线的一半）。由勾股定理得，h²+(√2/2)²=2²，解得h=√6/2。底面面积S=2²=4。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√6/2)=2√6/3。选项A正确。5.B解析：同第4题，底面为正三角形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角60°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√3。由勾股定理得，h²+(√3)²=2²，解得h=1。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×1=√3。选项B正确。6.C解析：同第2题，体积比等于相似比的立方，即(1/9)=((h/3)/(h))³，解得h/3=1/3，即h=1。小圆锥体积V1=(1/3)π(1)²(1)=π/3。大圆锥体积V=(1/3)πR²h=(1/3)π(3)²(5)=15π。故圆锥台体积V台=V-V1=15π-π/3=45π/3-π/3=27π。选项C正确。7.A解析：同第3题，截面过侧棱PA和底面边BC，则截面必包含PA和BC。由于底面为正三角形，且D为AC中点，连接BD。在△PBD中，PB为侧棱，BD为底面边的一半，且∠PBD为直角（因为侧面与底面垂直），故截面为等腰三角形。选项A正确。8.A解析：同第4题，底面为正方形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角60°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√3。由勾股定理得，h²+(√3/2)²=2²，解得h=√13/2。底面面积S=2²=4。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√13/2)=2√13/3。选项A正确。9.B解析：同第5题，底面为正三角形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角45°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√2。由勾股定理得，h²+(√2/2)²=2²，解得h=√6/2。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(√6/2)=√2。选项B正确。10.A解析：同第2题，体积比等于相似比的立方，即(1/7)=((h/3)/(h))³，解得h/3=1/√7，即h=√7/3。小圆锥体积V1=(1/3)π(1)²(√7/3)=π√7/9。大圆锥体积V=(1/3)πR²h=(1/3)π(3)²(5)=15π。故圆锥台体积V台=V-V1=15π-π√7/9=135π/9-π√7/9=(135-√7)π/9=21π。选项A正确。二、填空题答案及解析11.60解析：设侧面与底面的夹角为θ。由题意，体积V=(√3/3)×2²×sinθ×2=√3。解得sinθ=√3/4。θ=arcsin(√3/4)≈60°。故答案为60。12.24解析：同第2题，体积比等于相似比的立方，即(1/6)=((h/3)/(h))³，解得h/3=1/√6，即h=√6/3。小圆锥体积V1=(1/3)π(1)²(√6/3)=π√6/9。大圆锥体积V=(1/3)πR²h=(1/3)π(3)²(5)=15π。故圆锥台体积V台=V-V1=15π-π√6/9=135π/9-π√6/9=(135-√6)π/9=24π。故答案为24。13.等腰三角形解析：同第3题，截面过侧棱PA和底面边BC，则截面必包含PA和BC。由于底面为正三角形，且D为AC中点，连接BD。在△PBD中，PB为侧棱，BD为底面边的一半，且∠PBD为直角（因为侧面与底面垂直），故截面为等腰三角形。故答案为等腰三角形。14.2解析：同第4题，底面为正方形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角60°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√3。由勾股定理得，h²+(√3/2)²=2²，解得h=√13/2。底面面积S=2²=4。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√13/2)=2√13/3。故答案为2。15.3解析：同第5题，底面为正三角形，侧面为等腰三角形，且与底面夹角45°。设高为h，则每个侧面三角形的高为h，底边为√2。由勾股定理得，h²+(√2/2)²=2²，解得h=√6/2。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(√6/2)=3。故答案为3。三、解答题答案及解析16.（1）证明：取AB中点F，连接CF。因为△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB。又因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥CF。又因为AB⊥CF，所以CF⊥平面PAB。又因为AF⊂平面PAB，所以CF⊥AF。又因为AF⊥AB，所以AF⊥平面PBC。又因为平面PAF包含AF，平面PBC包含CF，且AF⊥CF，所以平面PAF⊥平面PBC。（2）解：取AB中点F，连接CF。因为△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB，且CF=√3。又因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥CF。所以三棱锥P-ABC的高为√3。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×√3=1。17.（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l。由题意，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，即扇形弧长为(2πR)×(120/360)=(2πR)/3。又因为扇形弧长等于底面周长，即2πR=(2πR)/3，解得R=3。由勾股定理得，l²=R²+h²，即5²=3²+h²，解得h=4。故圆锥的高为4。（2）解：设绳子两端点为A、B，圆心为O。绳子的最长长度为OA+OB。由展开图知，OA=OB=l=5。又因为∠AOB=120°，所以OA+OB>√(OA²+OB²-2OA×OB×cos120°)=√(5²+5²-2×5×5×(-1/2))=√(50+25)=√75=5√3。故绳子的最长长度为5√3。18.（1）证明：取AC中点F，连接DF。因为ABCD是矩形，所以AC⊥BD。又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD。又因为AC∩BD=F，所以PA⊥平面ABCD。又因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥AC。又因为PB⊥平面PAC，所以PB⊥PC。又因为AC∩PC=C，所以PB⊥平面PAC。（2）解：取AB中点E，连接PE。因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD。又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因为AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。又因为PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD。故PE为三棱锥P-ABE的高。PE=√(PA²+AE²)=√(2²+(1/2)²)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。底面面积S△ABE=(1/2)×AB×BE=(1/2)×2×(1/2)=1/2。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×(1/2)×(√17/2)=√17/12。19.（1）证明：取AC中点F，连接DF。因为△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB。又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CF。又因为AB⊥AA1，所以AB⊥平面AA1F。又因为DE⊂平面AA1F，所以AB⊥DE。又因为DE⊥A1F，所以DE⊥平面A1DE。（2）解：取AB中点E，连接A1E。因为△ABC是等边三角形，所以BE⊥AB，且BE=√3。又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BE。故A1E为三棱柱ABC-A1B1C1的高。A1E=√(AA1²+BE²)=√(3²+(√3)²)=√(9+3)=√12=2√3。底面面积S△ABC=(√3/4)×2²=√3。故体积V=S×h=√3×2√3=6。20.（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l。由题意，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，即扇形弧长为(2πR)×(120/360)=(2πR)/3。又因为扇形弧长等于底面周长，即2πR=(2πR)/3，解得R=3。由勾股定理得，l²=R²+h²，即5²=3²+h²，解得h=4。故圆锥的高为4。（2）解：同第2题，体积比等于相似比的立方，即(1/9)=((h/3)/(h))³，解得h/3=1/√7，即h=√7/3。小圆锥体积V1=(1/3)π(1)²(√7/3)=π√7/9。大圆锥体积V=(1/3)πR²h=(1/3)π(3)²(5)=15π。故圆锥台体积V台=V-V1=15π-π√7/9=135π/9-π√7/9=(135-√7)π/9=27π。故答案为27π。四、解答题答案及解析21.（1）证明：取AB中点F，连接CF。因为△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB。又因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥CF。又因为AF⊥AB，所以AF⊥平面PAB。又因为PF⊂平面PAB，所以PF⊥AF。又因为PF⊥平面PAC，所以PF⊥PC。又因为AC∩PC=C，所以PF⊥平面PAC。（2）解：取AB中点F，连接CF。因为△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB，且CF=√3。又因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥CF。故三棱锥P-ABC的高为√3。底面面积S=(√3/4)×2²=√3。故体积V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×√3=1。22.（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l。由题意，侧面展开图是圆心角为90°的扇形，即扇形弧长为(2πR)×(90/360)=(πR)/2。又因为扇形弧长等于底面周长，即2πR=(πR)/2，解得R=2。由勾股定理得，l²=R²+h²，即l²=2²+h²，解得h=√2。故圆锥的高为√2。（2）解：设绳子两端点为A、B，圆心为O。绳子的最长长度为OA+OB。由展开图知，OA=OB=l。又因为∠AOB=90°，所以OA+OB>√(OA²+OB²)=√(l²+l²)=√(2l²)=l√2。故绳子的最长长度为l√2。23.（1）证明：取AC中点F，连接DF。因为ABCD是矩形，所以AC⊥BD。又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD。又因为AC∩BD=F，所以PA⊥平面ABCD。又因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥AC。又因为PB⊥平面PAC，所以PB⊥PC。又因为AC∩PC=C，所以PB⊥平面PAC。（2）解：取AB中点E，连接PE。因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD。又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因为AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。又因为PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD。故P