2025年高考数学立体几何几何体计算模拟试题

2025年高考数学立体几何几何体计算模拟试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的面积为\(\sqrt{3}\)，AC=2，BC=1，A1B垂直于平面ABC，若A1B=2，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（）A.\(2\sqrt{3}\)B.\(3\sqrt{3}\)C.\(4\sqrt{3}\)D.\(6\sqrt{3}\)2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为\(\sqrt{3}\)，点P在棱SB上，且点P到平面SAC的距离为1，则PB的长度为（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.23.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，点E是棱CC1的中点，点F在棱BB1上，且BF=2B1F，则点E到平面A1DF的距离为（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.24.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，点C在底面圆周上，点D在母线PA上，且CD垂直于平面PAB，则CD的长度为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{3}\)5.在三棱台ABC-A1B1C1中，上底面ABC的边长分别为1，2，3，下底面A1B1C1的边长分别为2，3，4，则三棱台ABC-A1B1C1的体积为（）A.\(\frac{7}{3}\)B.\(\frac{14}{3}\)C.\(\frac{21}{3}\)D.\(\frac{28}{3}\)6.在球O中，球的半径为R，点A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，点D在球的表面上，且AD=BD=CD=R，则点D到平面ABC的距离为（）A.\(\frac{R}{2}\)B.\(R\)C.\(\sqrt{2}R\)D.\(\sqrt{3}R\)7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别是棱AB、BC、CD、DA的中点，则四棱锥EFGH-A1的体积为（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.18.在直平行六面体ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，底面ABCD是一个正方形，AB=1，侧棱AA1=2，点G是棱CC1的中点，点H在棱DD1上，且DH=2D1H，则点G到平面A1DH的距离为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{3}\)9.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，点C在底面圆周上，点D在母线PA上，且CD垂直于平面PAB，则平面PAC与平面PBC所成二面角的余弦值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.110.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=1，则点P到平面ABC的距离为（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.211.在球O中，球的半径为R，点A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，点D在球的表面上，且AD=BD=CD=R，则点A、B、C、D四点共面的概率为（）A.0B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别是棱AB、BC、CD、DA的中点，则四棱锥EFGH-A1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是一个矩形，AB=2，BC=1，AA1=2，点E是棱CC1的中点，点F在棱BB1上，且BF=2B1F，则点E到平面A1DF的距离为______。14.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，点C在底面圆周上，点D在母线PA上，且CD垂直于平面PAB，则平面PAC与平面PBC所成二面角的余弦值为______。15.在三棱台ABC-A1B1C1中，上底面ABC的边长分别为1，2，3，下底面A1B1C1的边长分别为2，3，4，则三棱台ABC-A1B1C1的体积为______。16.在球O中，球的半径为R，点A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，点D在球的表面上，且AD=BD=CD=R，则点D到平面ABC的距离为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一个等腰直角三角形，直角边AB=AC=1，侧棱AA1=2，点D是棱BC的中点，点E在棱A1B1上，且A1E=BE1。求二面角D-A1C1-B的大小。18.在正四棱锥S-ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱SA=SB=SC=SD=3，点P在棱SA上，且点P到平面SBC的距离为1。求棱SA的长。19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，点E是棱CC1的中点，点F在棱BB1上，且BF=2B1F。求点E到平面A1DF的距离。20.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，点C在底面圆周上，点D在母线PA上，且CD垂直于平面PAB。求点D到平面PAC的距离。21.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=1，点D在棱PC上，且PD=2DC。求点D到平面PAB的距离。22.在球O中，球的半径为R，点A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，点D在球的表面上，且AD=BD=CD=R。求点D到平面ABC的距离。四、证明题（本大题共2小题，共20分。）23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别是棱AB、BC、CD、DA的中点。证明：四棱锥EFGH-A1的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的四分之一。24.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，点C在底面圆周上，点D在母线PA上，且CD垂直于平面PAB。证明：平面PAC与平面PBC所成二面角是直二面角。五、综合题（本大题共2小题，共30分。）25.在三棱台ABC-A1B1C1中，上底面ABC的边长分别为1，2，3，下底面A1B1C1的边长分别为2，3，4，高为2。求三棱台ABC-A1B1C1的体积。26.在球O中，球的半径为R，点A、B、C在球面上，且OA=OB=OC=R，点D在球的表面上，且AD=BD=CD=R。求点A、B、C、D四点共面的概率。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：A解析：直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=底面面积×高=\(\sqrt{3}\)×2=2\sqrt{3}。2.答案：B解析：过点P作PN垂直于平面SAC，垂足为N，连接AN。由于点P到平面SAC的距离为1，所以PN=1。在直角三角形SAP中，SA=\(\sqrt{3}\)，AP=\(\sqrt{2}\)，所以SP=\(\sqrt{5}\)。在直角三角形PAN中，PN=1，所以AN=\(\sqrt{3-1}\)=\(\sqrt{2}\)。因此PB=\(\sqrt{2}\)。3.答案：C解析：连接AE，并过点E作EG垂直于平面A1DF，垂足为G。在直角三角形A1DF中，A1D=3，DF=\(\sqrt{5}\)，所以A1F=2。由于BF=2B1F，所以BF=2。在直角三角形BFF1中，BF=2，B1F=1，所以B1F=1。在直角三角形EGF中，EG=\(\sqrt{2}\)，GF=1，所以EF=\(\sqrt{3}\)。4.答案：B解析：连接CD，并过点D作DN垂直于平面PAB，垂足为N。在直角三角形PCD中，PC=2，CD=1，所以PD=\(\sqrt{5}\)。在直角三角形PND中，PN=1，所以PD=1。5.答案：B解析：三棱台ABC-A1B1C1的体积V=\(\frac{1}{3}\)×(上底面积+下底面积+上底面积×下底面积之比)×高=\(\frac{1}{3}\)×(1+4+2×3)×2=\(\frac{14}{3}\)。6.答案：A解析：连接OD，并过点D作DN垂直于平面ABC，垂足为N。在正四面体OABC中，OA=OB=OC=OD=R，所以ON=\(\frac{R}{2}\)。在直角三角形ODN中，OD=R，ON=\(\frac{R}{2}\)，所以DN=\(\frac{R}{2}\)。7.答案：A解析：四棱锥EFGH-A1的体积V=\(\frac{1}{3}\)×底面积×高=\(\frac{1}{3}\)×(1/2×1×1)×1=\(\frac{1}{8}\)。8.答案：B解析：连接AE，并过点E作EG垂直于平面A1DF，垂足为G。在直角三角形A1DF中，A1D=2，DF=\(\sqrt{5}\)，所以A1F=\(\sqrt{2}\)。在直角三角形EGF中，EG=1，GF=1，所以EF=\(\sqrt{2}\)。9.答案：C解析：在直角三角形PAC中，PA=2，AC=\(\sqrt{2}\)，所以PC=\(\sqrt{6}\)。在直角三角形PBC中，PB=2，BC=1，所以PC=\(\sqrt{5}\)。在直角三角形PAC中，PA=2，AC=\(\sqrt{2}\)，所以cos∠APC=\(\frac{2}{2\sqrt{3}}\)=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。10.答案：A解析：在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=1，所以点P在平面ABC的垂线上，且垂足为ABC的中心。在正三角形ABC中，高为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以点P到平面ABC的距离为1。11.答案：A解析：在正四面体OABC中，OA=OB=OC=OD=R，所以点A、B、C、D四点共面的概率为0。12.答案：A解析：四棱锥EFGH-A1的体积V=\(\frac{1}{3}\)×底面积×高=\(\frac{1}{3}\)×(1/2×1×1)×1=\(\frac{1}{8}\)。正方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=2×1×3=6，所以四棱锥EFGH-A1的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为\(\frac{1}{8}\)。二、填空题答案及解析13.答案：\(\frac{3}{2}\)解析：连接AE，并过点E作EG垂直于平面A1DF，垂足为G。在直角三角形A1DF中，A1D=2，DF=\(\sqrt{5}\)，所以A1F=\(\sqrt{2}\)。在直角三角形EGF中，EG=\(\frac{3}{2}\)，GF=1，所以EF=\(\sqrt{2}\)。14.答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)解析：在直角三角形PAC中，PA=2，AC=\(\sqrt{2}\)，所以PC=\(\sqrt{6}\)。在直角三角形PBC中，PB=2，BC=1，所以PC=\(\sqrt{5}\)。在直角三角形PAC中，PA=2，AC=\(\sqrt{2}\)，所以cos∠APC=\(\frac{2}{2\sqrt{3}}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。15.答案：\(\frac{7}{3}\)解析：