2025年高考数学立体几何立体几何解题专项模拟试卷

2025年高考数学立体几何立体几何解题专项模拟试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.2C.√3D.√62.已知直线l：x=1与平面α：x-y+z=0的位置关系是（）A.平行B.相交C.直线在平面内D.垂直3.若三棱锥A-BCD的顶点A在平面BCD上的射影为垂心，且BC=BD=2，∠BCD=120°，则三棱锥A-BCD的体积为（）A.1B.√2C.2D.√34.过点P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为（）A.（0，0，1）B.（1，0，0）C.（0，1，0）D.（1，1，1）5.已知正方体的棱长为2，E、F分别为正方体的对角线BD和CD的中点，则EF与AC所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A.4B.6C.8D.107.已知点A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），则向量AB与向量AC的夹角余弦值为（）A.1/2B.1/3C.2/3D.√2/28.过点A（1，2，3）作平面α：x+y+z=6的垂线，垂足为B，则点B到点A的距离为（）A.√2B.√3C.2D.39.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成的二面角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，则点A1到平面BCC1B1的距离为（）A.1B.√2C.√3D.211.已知点A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），则向量AB与向量AC的叉积的模长为（）A.1B.√2C.√3D.212.过点P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足为Q，则点Q到点P的距离为（）A.1B.√2C.√3D.√6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.已知正方体的棱长为2，E、F分别为正方体的对角线BD和CD的中点，则EF的长度为______。14.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，则四棱锥P-ABCD的表面积为______。15.已知点A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），则向量AB与向量AC的夹角正弦值为______。16.过点P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足为Q，则点Q到原点的距离为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）已知三棱锥A-BCD的顶点A在平面BCD上的射影为垂心，且BC=BD=2，∠BCD=120°，求三棱锥A-BCD的体积。18.（12分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）到平面α：2x-y+3z=6的距离，并求点P在平面α上的投影点的坐标。19.（12分）已知正方体的棱长为3，E、F分别为正方体的对角线BD和CD的中点，求EF与平面BCD所成的角的正弦值。20.（12分）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，求四棱锥P-ABCD的体积。21.（12分）已知点A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），求向量AB与向量AC的夹角余弦值，并判断向量AB与向量AC是否垂直。22.（10分）过点P（2，1，3）作平面α：x+y+z=6的垂线，求垂足Q的坐标，并求点P到平面α的距离。四、证明题（本大题共2小题，共30分。）23.（15分）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，求证其侧面与底面所成的二面角为60°。24.（15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，求证点A1到平面BCC1B1的距离为√3。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离d=|1*1-2*1+3*1-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√32.D解析：直线l：x=1与平面α：x-y+z=0的法向量为（1，-1，0），直线l的方向向量为（0，0，1），因为（1，-1，0）·（0，0，1）=0，所以直线垂直于平面3.B解析：三棱锥A-BCD的体积V=1/3*S△BCD*AH，其中S△BCD=1/2*BC*BD*sin∠BCD=1/2*2*2*sin120°=2√3，AH=BC*sin∠BCH=2*sin60°=√3，所以V=1/3*2√3*√3=√24.A解析：过点P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足Q满足方程组：x=y=z，x+y+z=1，解得Q（0，0，1）5.C解析：E（1，1，1），F（1，0，1），向量EF（0，-1，0），向量AC（-1，-1，-2），cosθ=(0*(-1)+(-1)*(-1)+0*(-2))/√(0^2+(-1)^2+0^2)*√((-1)^2+(-1)^2+(-2)^2)=1/√6*√6=1，θ=60°6.B解析：四棱锥P-ABCD的体积V=1/3*S△ABD*PA，其中S△ABD=1/2*AB*AD=1/2*2*2=2，PA=2，所以V=1/3*2*2=67.C解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），cosθ=(2*1+0*(-1)+(-2)*(-1))/(√(2^2+0^2+(-2)^2)*√(1^2+(-1)^2+(-1)^2))=2/√8*√3=√6/38.C解析：点B到点A的距离|AB|=√((1-0)^2+(2-0)^2+(3-1)^2)=2√2，点A到平面α的距离d=|1*1+2*1+3*1-6|/√(1^2+1^2+1^2)=29.C解析：正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角为∠PAO，其中AO=1，PO=√2，tanθ=PO/AO=√2，θ=60°10.A解析：点A1（0，0，2）到平面BCC1B1的距离即点A1到点B（1，1，0）的距离|A1B|=√((0-1)^2+(0-1)^2+(2-0)^2)=√6，但平面BCC1B1的法向量为（0，0，1），所以距离为111.B解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），向量AB×AC=（2，-2，-2），模长为√(2^2+(-2)^2+(-2)^2)=√12=2√312.A解析：点Q到点P的距离|PQ|=√((1-0)^2+(0-0)^2+(1-1)^2)=1二、填空题答案及解析13.√2解析：E（1，1，1），F（1，0，1），EF=√((1-1)^2+(1-0)^2+(1-1)^2)=√1=114.16解析：四棱锥P-ABCD的表面积=S△ABD+S△ACD+S△BCD+S△PAB=4*2+2√2*√2=1615.√6/3解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），sinθ=|AB×AC|/(|AB|*|AC|)=√12/(√8*√3)=√6/316.√3解析：点Q到原点的距离|OQ|=√((0-0)^2+(0-0)^2+(1-0)^2)=1三、解答题答案及解析17.解析：三棱锥A-BCD的体积V=1/3*S△BCD*AH，其中S△BCD=1/2*BC*BD*sin∠BCD=1/2*2*2*sin120°=2√3，AH=BC*sin∠BCH=2*sin60°=√3，所以V=1/3*2√3*√3=√218.解析：点P（1，2，3）到平面α：2x-y+3z=6的距离d=|2*1-2*2+3*3-6|/√(2^2+(-1)^2+3^2)=√17/√14，投影点Q满足方程组：x=1-2t/√14，y=2+t/√14，z=3-3t/√14，代入平面方程得t=√14/5，所以Q（1-2√14/70，2+√14/70，3-3√14/70）19.解析：向量EF（0，-1，0），向量n=（0，0，1）为平面BCD的法向量，cosθ=|EF·n|/(|EF|*|n|)=0，所以EF与平面BCD垂直，θ=90°20.解析：四棱锥P-ABCD的体积V=1/3*S△ABD*PA，其中S△ABD=1/2*AB*AD=1/2*2*2=2，PA=2，所以V=1/3*2*2=621.解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），cosθ=(2*1+0*(-1)+(-2)*(-1))/(√(2^2+0^2+(-2)^2)*√(1^2+(-1)^2+(-1)^2))=2/√8*√3=√6/3，所以不垂直22.解析：过点P（2，1，3）作平面α：x+y+z=6的垂线，垂足Q满足方程组：x=y=z，x+y+z=6，解得Q（2，2，2），点P到平面α的距离d=|2*2+2*2+2*2-6|/√(1^2+1^2