2024-2025学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z=1+ii，则z=(

)A.1−i B.−1−i C.1+i D.−1+i2.用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取(

)A.8人 B.6人 C.4人 D.2人3.已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB同方向的单位向量为(

)A.(35,−45) B.(4.要得到函数y=sin(2x+5π6)的图象，只需将函数A.向左平移π3个单位B.向左平移5π12个单位C.向右平移π3个单位D.5.平面α//平面β的一个充分条件是(

)A.存在一条直线m，m//α，m//β

B.存在一条直线m，m⊂α，m//β

C.存在两条平行直线m，n，m⊂α，m//β，n//α

D.存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1A.30° B.45° C.60° D.90°7.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(

)A.甲：平均数为3，中位数为2 B.乙：中位数为3，众数为2

C.丙：平均数为2，方差为2.4 D.丁：中位数为3，方差为2.88.已知函数f(x)=sin2ωx+3cos2ωx(ω>0)，则A.若函数f(x)相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2

B.当ω=1，x∈[0,π2]时，f(x)的值域为[−3,2]

C.当ω=1时，(π6,0)是二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分(满分100分)，得到如图所示的统计图，则(

)A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B.甲得分的极差小于乙得分的极差

C.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差10.若z1，z2均为复数，下列说法正确的是(

)A.|z1||z2|=|z1z2| B.若|z1+1|=|11.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是(

)A.OB+OD=2OC

B.BH在BC方向上的投影向量为−BC2

C.PC⋅PD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(2,3)，b=(x,−6)，且a//b，则实数x=13.已知sin(α−β)=15，tanα=2tanβ，则sin(α+β)=14.在三棱锥P−ABC中，PB=PC=2PA=2，且∠APB=∠BPC=∠CPA，E，F分别是PC，AC的中点，∠BEF=90°，则三棱锥P−ABC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b=2ccosB．

(1)若C=π2，求B；

(2)若a=1，b=3，求16.(本小题15分)

如图，P为菱形ABCD平面外一点，且PA=PC，E为线段PD上的动点．

(1)求证：平面ACE⊥平面PBD；

(2)是否存在点E使得PB//平面ACE，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．17.(本小题15分)

2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中b=4a．

(1)求图中a的值并估计得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格.该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由．18.(本小题17分)

函数f(x)=6cos2ωx+23sinωx⋅cosωx−3(ω>0)的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求实数ω的值；

(2)已知m<x1<x2<4时，都有f(x19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，点O，E分别为AC，PD的中点，PC⊥AC，AE=AD=2，CD=22，△ABC是边长为2的正三角形．

(1)求证：AC⊥平面BOE；

(2)若三棱锥P−ACD的体积为423，求二面角E−AC−D的正弦值；

(3)

参考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.D

6.D

7.C

8.B

9.ABC

10.AC

11.ACD

12.−4

13.3514.10π

15.解：(1)因为a+b=2ccosB，C=π2，

可得cosB=ac，所以a+b=2c⋅ac，

可得a=b，所以B=π4；

(2)因为a=1，b=3，由余弦定理可得cosB=a2+c216.解：(1)证明：取AC，BD的交点为O，连接PO，如下图所示：

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，且O为AC的中点，

又PA=PC，

所以PO⊥AC，

又BD∩PO=O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

又AC⊂平面ACE，

所以平面ACE⊥平面PBD．

(2)存在，E为线段PD的中点，满足PB//平面ACE．

连接OE，

因为O，E分别为BD，PD的中点，

所以OE是△PBD的中位线，即OE//PB，

因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

所以PB//平面ACE，

因此存在点E，当E为线段PD的中点时，满足PB//平面ACE．17.(1)由频率分布直方图可得(0.015+0.035+b+a)×10=1，结合b=4a，解得a=0.01，b=0.04．

平均值为：x−=(65×0.015+75×0.035+85×0.04+95×0.01)×10=79.5，

所以a的值为0.01，平均值为79.5．

(2)由图可知估计该校学生中得分在75分及以上的概率为：

(12×0.035+0.04+0.01)×10=0.675=67.5%>60%，

因此认为该校学生知识掌握度整体合格了．

18.(1)由题意得f(x)=3cos2ωx+3sin2ωx=23sin(2ωx+π3)，

根据正△ABC的高为23，可得BC=2332=4，

所以函数f(x)的周期T=2π2ω=4×2=8，解得ω=π8；

(2)因为当m<x1<x2<4时，都有f(x1)>f(x2)，

所以m<4，且区间(m,4)在单调递减区间内，

由(1)得f(x)=23sin(π4x+π3)，

根据π2+2kπ<π4x+π3<3π2+2kπ，令k=0，可得f(x)的一个单调减区间为(23,143)，

所以(m,4)⊆(23,143)，可得23≤m<4，实数m的取值范围是[23,4)；

(3)由f(x0)=635，可得2