广东省深圳市龙华区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

广东省深圳市龙华区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．对称性不仅是数学的美学体现，更是生物适应环境的“最优解”。下列生物的外轮廓同时具备轴对称性和中心对称性的是（）A． B．C． D．2．下列x的值是不等式x-1>0的解的是（）A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-13．分式x−1x+2A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=24．将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（）A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y)(x-y)C．(x+y)(х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y25．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（AB，AC，BC)的距离都相等，则油库的位置可以设计在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条边的垂直平分线的交点6．藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想。如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（）A．45° B．120° C．130° D．135°7．今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈=10尺），它们各自的价值都是896文钱。已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（）A．8963−x+896C．89630−x+8968．如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（）A．2 B．3 C．2 D．2二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。）9．因式分解：x2y+2xy+y=10．A、B两地相距10千米，甲从A地到B地步行需要t小时，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时，则乙的速度可表示为千米/时。11．关于x的不等式组x≥ax≥1的解集为x≥1，请写出一个符合条件的a的值：12．如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A=∠F=30°。若BD=313．如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC=120°，CD=6，则△BDC的面积为.

三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．（1）解不等式组2x<−4（2）先化简，再求值：(2m−1m−115．如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，根据下列要求用无刻度直尺作图：（1）将线段AB绕点B逆时针旋转90得到线段BD；（2）平移线段AB至线段DC，使得点A与点D重合，连接AD，BC；（3）直线BD将四边形ABCD分成了全等的两个部分，这样的直线还有很多，请再画出两条符合条件的直线。16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，且AD=AE。请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由。17．小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本。（1）科普书和文学书的单价各是多少元？（2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？18．如图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P。请用尺规作图在BD上求作一点Q，连接AQ，CQ，PC，使得四边形APCQ是平行四边形。（1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性。思路一思路二作图步骤在BD上作DQ=BP。点Q即为所求。过点C作CQ⊥BD于点Q。点Q即为所求。作图痕迹我选择思路，理由如下：（2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点Q（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性。19．数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数a，b的和与积之间的大小关系。【发现问题】当a=b=2时，a+b=ab。【提出问题】当a>2，b>2时，a+b与ab存在怎样的大小关系？（1）【特例分析】给a，b分别赋予不同的数值，通过计算，判断a+b与ab的大小关系。请完成下面的表格：a…345…b…356…a+bab（填“>”，“＜”、"=”）…＜＜…（2）【得出猜想】根据特例分析，猜想：当a>2，b>2时，a+bab。（3）【验证猜想】①小明认为可以设a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通过计算完成验证。请补充验证过程：②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证。如图，在长方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。请在长方形ABCD中，用画阴影的方法表示面积为(a+b)的部分。（4）【深入探究】学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想：思路一：利用不等式的基本性质得到ab>2b⋯思路二：对多项式(ab−a−b+1)思路三：对分式a+bab进行变形与运算根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证。20．综合与实践数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。（1）【活动一】拼接将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；（2）【活动二】平移在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。①求证：四边形AMDN是平行四边形；②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为。（3）【活动三】旋转在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。

答案解析部分1．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称图形【解析】【解答】解：A、图案是轴对称，不是中心对称，所以A不符合题意；

B、图案不是轴对称，也不是中心对称，所以B不符合题意；

C、图案是轴对称，不是中心对称，所以C不符合题意；

D、图案是轴对称，也是中心对称，所以D符合题意；故答案为：D.【分析】根据轴对称和中心对称的特点分别进行识别，即可得出答案。2．【答案】A【知识点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：x-1>0

∴x＞1.

∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1

∴只有x=2是不等式x-1>0的解。故答案为：A.【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判断哪个选项在解集范围内即可。3．【答案】C【知识点】分式的值为零的条件【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0

∴x=1故答案为：C.【分析】根据分式值为0的条件，分子为零，且分母不为0，即可求出答案。4．【答案】A【知识点】平方差公式的几何背景【解析】【解答】解：图①面积：x2-y2，图②面积：（x+y）（x-y）

∴x2-y2=（x+y）（x-y）。故答案为：A.【分析】分别表示图①和图②的面积，即可得出答案。5．【答案】B【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知：△ABC三条角平分线的交点到三边的距离相等。故答案为：B.【分析】根据角平分线的性质可找到正确选项。6．【答案】D【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式7．【答案】C【知识点】列分式方程【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗（30-x）尺

根据题意，得：89630−x故答案为：C.【分析】设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，根据绫和罗各1尺总共值120文钱，即可得出方程89630−x8．【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积9．【答案】y【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：x2故答案为：y(x+1)【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式进行因式分解．10．【答案】10【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系【解析】【解答】解：乙的速度=10t−1故答案为：10t−1【分析】根据速度=路程÷时间，即可得出答案。11．【答案】1【知识点】已知不等式的解（集）求参数【解析】【解答】解：∵x≥ax≥1的解集为x≥1

∴故答案为：1（答案不唯一，符合条件即可）.

【分析】根据不等式组解集的求法：同大取大，由不等式组的解集，可求出a的取值范围，然后写出一个符合条件的a的值即可。12．【答案】1【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△BDF中：∠F=30°，BD=3

∴BF=23

∵△BDF≌△BCA

∴BC=BD=3

∴CF=BF-BC=3

在Rt△ECF中：（2CE)2-CE2=CF2=(3)故答案为：1.【分析】首先根据含30°的直角三角形的性质求出BF的长，进而得出CF的长，然后再根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理即可求出CE的长。13．【答案】93【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E，当点D是等边△ABC的中心时，∠ADC=120°，∴当∠ADC=120°时△BDC的面积与点D是等边△ABC的中心时△BDC面积相等。

当点D是等边△ABC的中心时，∠ADC=120°

∴∠CDE=60°，∠DEC=90°

∴∠DCE=30°

∵CD=6

∴DE=3，CE=33

∴BC=2CE=63

∴△BDC的面积=12故答案为：93【分析】当点D是等边△ABC的中心时，∠ADC=120°，根据特殊情况求出△BDC的面积即可。14．【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2解不等式②得x＞-3∴原不等式组的解集为-3＜x＜-2（2）解：原式=2m−1−m=m−1=m+2当m=2时，原式=2+2【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入15．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转【解析】【分析】（1）根据旋转方向和旋转角度，即可得出线段BD；

（2）首先观察A到D可以看成两次平移，然后把点B也作相同的两次平移，即可得到点C的位置；

（3）四边形ABCD是平行四边形，连接AC与BD有一个交点，过这个交点任意作直线，均符合题意。16．【答案】解：猜想：BD=CE解法一：过点A作AH⊥BC交BC于点H∵AB=AC，AH⊥BC∴BH=CH。∵AD=AE，AH⊥BC∴DH=EH∴BH－DH=CH－EH∴BD=EC。

解法二：∵AB=AC∴∠B=∠C，∵AD=AE∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED

即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（AAS）∴BD=CE。【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【分析】解法一：过点A作AH⊥BC交BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质，分别得出BH=CH，DH=EH，然后再根据等式的性质，即可得出结论；

解法二：根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而根据全等三角形的性质，即可得出BD=CE。17．【答案】（1）解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元。依题意得：150解得：x=10经检验，x=10是原方程的解且符合实际。∴1.5x=15。（2）解：设购买a本科普书。依题意得：15a+10(50-a)≤700解得：a≤40∵a是正整数∴a的最大值为40。答：至多购买40本科普书。【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，根据用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本即可得出方程150x=15018．【答案】（1）解：选择思路一，理由如下：连接AC交BD于点O∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO。∵BP=DQ∴BO－BP=DO－DQ即PO=QO。∵AO=CO，PO=QO∴四边形APCQ为平行四边形。选择思路二，理由如下：∵AP⊥BD，CQ⊥BD∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC

∴AP∥CQ。∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AB=CD∴∠ABP=∠CDQ。在△ABP和△CDQ中∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（AAS）

∴AP=CQ。又∵AP∥CQ∴四边形APCQ是平行四边形。（2）解：答案二：解：如图，用尺规作图在∠DCB内部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于点Q，点Q即为所求。

由作图可知：∠BAP=∠DCQ，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABP=∠CDQ。在△ABP和△CDQ中∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（ASA），∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，∴AP∥CQ∴四边形APCQ是平行四边形。【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角【解析】【分析】（1）选择思路一，连接AC，可证明OA=OC，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出四边形APCQ为平行四边形；选择思路二，通过证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；

（2）如图，作∠DCQ=∠BAP，可根据ASA证明△ABP和△CDQ全等，从而得出AP=CQ且AP∥CQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形APCQ为平行四边形；19．【答案】（1）＜；＜（2）＜（3）解：①∵设a=2+x，b=2+y

∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)

∵x>0，y>0

∴x+y+xy>0

∴a+b＜ab；②答案一答案二答案三答案四答案五答案六​​​​​​​（4）解：思路一：∵a＞2，两边同时乘b，（b＞2）

∴ab＞2b

同理可得：ab＞2a

∴2ab＞2a+2b

∴ab＞a+b

即a+b＜ab；

思路二：∵ab−a−b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)

∵a＞2，b＞2

∴(a-1)(b-1)＞1

∴ab-a-b+1＞1

∴a+b＜ab；

思路三：a+bab=1a+1b

∵a＞2，b＞2

∴【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；不等式的性质；分式的化简求值-拆项变形法20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3∴AB=DE