2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（四）任务1~2

1．答案：B解析：设正方体的边长为a，则正方体的体对角线d＝a2+则正方体的表面积为6a2，球的表面积为4πd22＝3πa2所以该正方体表面积与球表面积的比值是6a2．答案：D解析：由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm；圆柱的底面半径为2cm，高为8cm，故该模型球舱体积为13×π×22×2＋π×22×8＝104π33．答案：B解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝3+r2，解得r4．答案：B解析：如图，设P在底面ABCD的射影为H，则PH⊥平面ABCD，且H为AC，BD的交点．因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且AH＝12×42＝2由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R，则OH＝|4－R|，故R2＝8＋(4－R)2，解得R＝3，故正四棱锥P­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝4×π×9＝36π.5．答案：C解析：令正方体、正四面体和球的体积为1，设正方体的棱长为a，则a3＝1，解得a＝1，表面积S1＝6a2＝6；设正四面体的棱长为b，则正四面体底面正三角形的外接圆半径为23×32b＝33b，正四面体的高h＝解得b＝2×33，表面积S2＝4设球半径为r，则43πr3＝1，解得r＝334π，表面积S3＝4πr所以S3<S1<S2.6．答案：A解析：在△BAC中，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos∠BAC＝48，即BC＝43，又PB＝PC＝213，因为PA2＋AC2＝PC2，所以PA⊥AC，同理PA⊥AB，又由AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，PA⊥平面ABC.设△ABC的外接圆半径为r，所以2r＝BCsin所以r＝4，所以外接球的半径R满足R2＝r2＋PA22∴三棱锥P­ABC外接球的表面积为4πR2＝100π.7．答案：B解析：如图，分别过M，C作MM′⊥PA，CC′⊥PA，垂足分别为M′，C′.过B作BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，过N作NN′⊥PB′，垂足为N′.因为BB′⊥平面PAC，BB′⊂平面PBB′，所以平面PBB′⊥平面PAC.又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′，NN′⊥PB′，NN′⊂平面PBB′，所以NN′⊥平面PAC，且BB′∥NN′.在△PCC′中，因为MM′⊥PA，CC′⊥PA，所以MM′∥CC′，所以PMPC在△PBB′中，因为BB′∥NN′，所以PNPB所以VP­AMN8．答案：A解析：因为球的体积为43πR3＝36π，∴球的半径R∵正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且共一个底面，∴正四棱柱和正四棱锥的高相等，设正四棱柱和正四棱锥的高都为h，正四棱柱的底面正方形的边长为a，作SH⊥底面ABCD，交平面EFGM于N，易知N，H分别为中心，根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，设球心为O，则O为NH中点，∴(2R)2＝a2＋a2＋h2，即2a2＋h2＝36，又R＝SO＝ℎ2＋h，∴3＝3ℎ2，∴h＝2，∴2a2＋4＝36，作SD⊥EF，则D为EB中点，又SD＝SN∴该几何体的表面积为4×12×4×22＋4×4＋49．答案：ABD解析：若圆柱的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为52若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆锥底面的距离为52若圆锥的底面直径为7，则半径为72，此时球心到圆锥底面的距离为52−72若将各棱长均为8cm的四面体放入到棱长为42的正方体中，此时正方体的外接球直径为3×10．答案：ABD解析：因为该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故A正确；由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为6×4＝24，故B正确；该几何体的棱长为202+202＝202，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，所以该几何体的表面积为6×2022＋8×原正方体内切球的半径为20cm，内切球表面积为S1＝4π×202＝1600πcm2.原正方体外接球的半径为402+402+4022＝203由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为202所以该几何体外接球的表面积为S＝4π×2022＝3200πcm2因为2S＝6400π＝1600π＋4800π＝S1＋S2，所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故D正确．11．答案：AD解析：设圆锥的母线长为l，由圆锥OP的底面半径r＝3，侧面积S侧＝πrl＝23π，得l＝2，则高h＝OP＝1.设圆锥外接球O2的半径为r2，如图1，连接OO2，AO2，在△AOO2中，由勾股定理得AO22＝AO2+OO22，即r22＝所以外接球O2的表面积为S＝4π设内切球O1的半径为r1，如图2，作O1D⊥PA于D，在△PDO1中，由勾股定理得PO12＝DO12＋PD2，即(1－r1)2＝r12＋如图3，在圆锥底面圆周上取异于点A的一点C，连接AC，PC，过点P的平面α截圆锥OP所得的截面面积最大时，因为h<r，所以此时截面△PAC为等腰直角三角形，所以截面面积的最大值为S△PAC＝12×2×如图4，圆锥OP内有一满足条件的长方体，其中上底面的一个顶点为E，上底面的中心为O3，连接EO3，设EO3＝r30<r3<3，则PO3＝当长方体的上底面为正方形时，上底面的面积最大，此时长方体的体积为V＝12(2r3)21−33r3＝2r3当r3∈0，233时，V′>0，当r3∈故Vmax＝12×433212．解析：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则A1O1＝12故AM＝12(AC－A1C1)＝22，则A1M＝所以所求体积为V＝13答案：713．解析：由题可知水桶的上底面半径R＝10cm，下底面半径r＝4cm，桶深h＝20cm，水面半径r1＝R+r2＝7cm，水深h1＝ℎ则水桶中水的体积V＝13πr2+π则日降雨量为Vπ答案：大雨14．解析：根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接BC，AB，AC，过B作BH⊥AC，垂足为H，如图所示：设小球半径为r，圆柱的底面圆半径为R，根据题意可得BH＝AC＝2R－2r，AB＝BC＝2r，AH＝C