2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（四）任务5~8

1．解：(1)∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分．∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，∴A，A1，B，B1四点共面．∵圆面O1∥圆面O，且平面ABB1A1∩圆面O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圆面O＝AB.∴A1B1∥AB.(2)∵△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝π3，如图建立空间直角坐标系O­xyz设|OO1|＝t(t>0)，A(3，0，0)，B32，332，0，A1(2，0，t)，设平面ABB1A1的一个法向量n1＝(x，y，z)，则−x+tz＝0令x＝3，则y＝1，z＝3t，∴n1＝3底面的一个法向量n2＝(0，0，1)，∵截面与下底面所成的夹角大小为60°，∴cos60°＝|cos〈n1，n2〉|＝3t·4+3t2＝33+4t2＝又A1B1＝23AB＝−1∴O1B1＝1，3∴异面直线AA1与O1B1所成角的余弦值是13132．解：(1)证明：如图，取B1C的中点H，连接NH，MH.∵N为B1C1的中点，H为B1C的中点，∴NH∥CC1，且NH＝12CC1∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1，∴CC1∥DD1，CC1＝DD1，∴NH∥DD1，且NH＝12DD1∵M为DD1的中点，∴D1M＝12DD1∴D1M∥NH，D1M＝NH.∴四边形D1NHM为平行四边形，∴D1N∥MH.又D1N⊄平面CB1M，MH⊂平面CB1M，∴D1N∥平面CB1M.(2)∵A1A⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴A1A⊥AB，A1A⊥AD.又AD⊥AB，∴A1A，AB，AD两两垂直．以A为原点，AB，AD，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(1，1，0)，M(0，1，1)．∴B1C＝(－1，1，－2)，CM＝(－1，0，1)，BB设平面CB1M的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·B1C＝0，n1·CM＝0∴n1＝(1，3，1)为平面CB1M的一个法向量．设平面BB1C1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·∴z2＝0，令x2＝1，则y2＝1.∴n2＝(1，1，0)为平面BB1C1C的一个法向量．设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n(3)点B到平面CB1M的距离d＝n13．解：(1)证明：如图所示，取AP的中点N，连接BN，MN，因为M，N分别为AC，AP的中点，所以MN∥PC，因为MN⊄平面PCF，PC⊂平面PCF，所以直线MN∥平面PCF，因为BFBE＝13，又因为BN⊄平面PCF，PF⊂平面PCF，所以直线BN∥平面PCF，因为BN∩MN＝N，且BN，MN⊂平面BMN，所以平面BMN∥平面PCF，又BM⊂平面BMN，所以BM∥平面PCF.(2)若选择条件①：由于BC∥DE，BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE，又由BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADE＝l，可知l∥BC，故异面直线l与CF所成角即为∠BCF，可得cos∠BCF＝BCCF所以CF＝5，BF＝1，以B为坐标原点，BC，BE，BA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，可得C(2，0，0)，E(0，4，0)，P(0，2，2)，F(0，1，0)，所以FC＝(2，－1，0)，FP＝(0，1，2)，设平面PCF的法向量为m＝(x′，y′，z′)，则m令x′＝1，可得y′＝2，z′＝－1，所以m＝(1，2，－1)，又由平面CFE的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos〈m·n〉＝m·由题意知二面角P­CF­E的平面角为锐角，即二面角P­CF­E的余弦值为66选择条件②：以B为坐标原点，BC，BE，BA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，设BF＝m，可得C(2，0，0)，F(0，m，0)，P(0，2，2)，则FC＝(2，－m，0)，FP＝(0，2－m，2)，设平面PCF的法向量为p＝(x1，y1，z1)，则p令z1＝m－2，可得x1＝m，y1＝2，所以p＝(m，2，m－2)，平面CFE的法向量为n＝(0，0，1)，二面角P­CF­E的余弦值为66即|cos〈p，n〉|＝p·np由于BC∥DE，BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE，又BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADE＝l，可知l∥BC，故异面直线l与CF所成角即为∠BCF，所以cos∠BCF＝BCCF4．解：(1)过G作GH∥CB，交底面弧于H，连接HB，易知四边形HBCG为平行四边形，所以HB∥CG，又G为弧CD的中点，则H是弧AB的中点，所以∠HBA＝45°，而由题设知∠ABF＝45°，则∠HBF＝∠HBA＋∠ABF＝90°，所以FB⊥HB，即FB⊥CG，由CB⊥底面ABF，FB⊂平面ABF，则CB⊥FB，又CB∩CG＝C，CB，CG⊂平面BCG，所以FB⊥平面BCG，又FB⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCG.(2)由题意，构建如图所示空间直角坐标系A­xyz，令半圆柱半径为r，高为h，则B(0，2r，0)，F(2r，0，0)，D(0，0，h)，G(－r，r，h)，所以FD＝(－2r，0，h)，BD＝(0，－2r，h)，AB＝(0，2r，0)，AG＝(－r，r，h)，若m＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，则m令z＝2r，则m＝(h，h，2r)，若n＝(a，b，c)是平面ABG的一个法向量，则n令c＝r，则n＝(h，0，r)，所以|cos〈m