2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（五） 解析几何

任务群（五）解析几何任务1直线方程[核心整合]1．两直线位置关系、距离公式两条直线平行和垂直的充要条件两个距离公式(1)斜截式：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(2)一般式：若直线l1和l2的方程分别是A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)2.点关于直线对称的求解方法若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).3．常用结论(1)点P(x0，y0)，P1(y0＋a，x0－a)关于直线x－y－a＝0对称；点P(x0，y0)，P2(－y0＋a，－x0＋a)关于直线x＋y－a＝0对称．(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(4)两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).[例1](1)已知直线l1：ax＋3y－6＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0，则“l1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(－3，0)，若将军从山脚下的点B(－1，1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝1，则“将军饮马”的最短总路程为()A．eq\r(5)B．3C．eq\r(13)D．5(3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____________．[延伸探究](1)若本例(3)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．(2)若将本例(3)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．[规律总结](1)求直线方程的两种方法(2)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．[对点练习]1.(1)两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(5\r(13),26)D．eq\f(7\r(10),20)(2)如图，已知两点A(22，0)，B(0，11)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的一般式方程为______________．任务2圆的方程[核心整合][例2](1)已知直线3x＋4y－4＝0与圆C相切于点T(0，1)，圆心C在直线x－y＝0上，则圆C的方程为()A．(x－3)2＋(y－3)2＝13B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25(2)(一题多解)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为______________．[规律总结]求圆的方程的两种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[对点练习]2.(1)已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(－1，2)，其中一点在圆E内，一点在圆E上，一点在圆E外，则圆E的方程可能是________．(答案不唯一，写出一个正确答案即可)(2)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．任务3直线与圆、圆与圆的位置关系[核心整合]1．若点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)上，则圆C在点P处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝eq\r((x0－a)2＋(y0－b)2－r2).3．过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).角度1直线与圆的位置关系[例3](1)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4)D．eq\f(\r(6),4)(2)已知直线l：(m＋2)x－(m＋1)y－1＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.(3)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq\f(8,5)”的m的一个值______．[规律总结](1)求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，得三者间的关系为r2＝d2＋eq\f(l2,4)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解(2)直线与圆相切问题的解题策略①直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．②过圆外一点求解切线段长时，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．角度2圆与圆的位置关系[例4](多选)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0),P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则()A．若圆C1与圆C2无公共点，则0<r<4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0C．当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2，8]D．当r＝3时，过P点作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于eq\f(π,2)[规律总结](1)判断两个圆的位置关系时，一般用几何法；(2)两个圆的公切线条数取决于两圆的位置关系，要注意二者的相互转化；(3)两圆相交求公共弦方程时，可通过两圆的方程相减，消去二次项得到关于x，y的一次式；求两个圆的公共弦长时，将上述得到的公共弦看作其中一个圆的弦，进而利用半径、弦长和弦心距的关系式r2＝d2＋(eq\f(l,2))2求弦长．[对点练习]3.(1)已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝eq\r(14)，则|k|＝()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\r(2)D．2(2)过点P(－2，3)作斜率为－2的直线，若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝r2(r>0)相切，则r＝________.(3)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是()A．C1与C2的公切线恰有4条B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0C．C1与C2相交弦的弦长为eq\f(12,5)D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12强化拓展(四)隐形圆问题【编者按】在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆无关，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现满足条件的点的轨迹是一个圆，进而可得出圆的方程，再利用圆的知识求解，我们一般称这类问题为隐形圆问题．角度1利用圆的定义或几何性质确定隐形圆[例1](1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，点A(－1，0)，B(1，2)，则圆C上使得|PA|2＋|PB|2＝12成立的点P有()A．0个B．1个C．2个D．3个(2)舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若ON＝DN＝1，MN＝3，AB＝4，则|MA|的最小值为__________．[规律总结](1)由圆的定义，当动点到定点的距离为定值时，动点的轨迹是圆；(2)两定点A，B，动点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝λ(λ为常数)，则P点的轨迹是圆；(3)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，则P点的轨迹是圆．[对点练习]1.已知点A(1，0)，B(5，0)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤4，则点P到直线3x－y＋1＝0距离的最小值为________．角度2由圆周角的性质确定隐形圆[例2]已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为()A．(0，5]B．[5，15]C．[10，15]D．[15，＋∞)[规律总结]由圆的性质可知，圆周角为直角，所以已知PA⊥PB或∠APB＝90°(A、B为定点)，则点P的轨迹是以AB为直径的圆．注意有时候轨迹中要删除不满足条件的点．[对点练习]2.在平面直角坐标系xOy中，点A(－6，－2)，B(4，－2).若直线kx－y＋8k－2＝0(k∈R)上存在点M(x0，y0)满足∠AMB＝90°，则实数k的一个可能取值是_________.角度3阿波罗尼斯圆[例3]数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，动点M满足|MA|＝2|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A．[－eq\f(\r(13),3)，eq\f(\r(13),3)]B．[－eq\f(\r(14),3)，eq\f(\r(14),3)]C．[－eq\f(\r(15),3)，eq\f(\r(15),3)]D．[－eq\f(4,3)，eq\f(4,3)][规律总结]“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．[对点练习]3.已知点A(－1，0)，B(－4，0)，C(－4，3)，动点P，Q满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|QA|,|QB|)＝eq\f(1,2)，则|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[1，16]B．[6，14]C．[4，16]D．[eq\r(3)，3eq\r(5)]任务4圆锥曲线的定义与标准方程[核心整合]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).[例1](1)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7B．6C．5D．4(2)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点A(0，6eq\r(6))，当△APF周长最小时，该三角形的面积为()A．36eq\r(6)B．24eq\r(6)C．18eq\r(6)D．12eq\r(6)(3)已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则|PO|＝()A．eq\f(2,5)B．eq\f(\r(30),2)C．eq\f(3,5)D．eq\f(\r(35),2)[规律总结](1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件．如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等；(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|±|PF2|与|PF1|·|PF2|的关系；(3)求圆锥曲线的标准方程：先定型，后计算．“定型”，即确定曲线焦点所在坐标轴的位置，从而确定标准方程的形式；“计算”则是根据题目条件，利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.[对点练习]1.(1)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的一点到焦点(－eq\r(5)，0)的距离比到焦点(eq\r(5)，0)的距离大b，则该双曲线的方程为()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．eq\f(x2,2)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,2)＝1D．x2－eq\f(y2,4)＝1(2)(多选)已知定圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点．若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(3)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝m与y轴的交点为A，与抛物线C的交点为B，且|BF|＝eq\f(3,2)|AB|，则m的值是________.任务5椭圆、双曲线的几何性质[核心整合]1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－(\f(b,a))2).(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋(\f(b,a))2).2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．3．和椭圆有关的结论①焦点位置不确定的椭圆方程可分类讨论或者直接设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).②焦点三角形：在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的周长为2(a＋c)，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则：当点P为短轴端点时，∠F1PF2最大；S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|yP|.③点P(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.④过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长度为eq\f(2b2,a).4．和双曲线有关的结论①若双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1⇒渐近线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0⇔y＝±eq\f(b,a)x.②若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x⇔eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0⇒双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.③过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0).④焦点三角形：在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝c|yP|.⑤过双曲线焦点且垂直于实轴的弦长为eq\f(2b2,a).角度1椭圆、双曲线的几何性质[例2](1)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为2eq\r(2)，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(6),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\f(\r(10),2)x(2)(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是()A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)B．椭圆的短轴长为10C．|PF1|的最小值为1D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值[规律总结]椭圆、双曲线性质应用的常见类型(1)由性质可求椭圆、双曲线的标准方程．反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、范围等)；(2)对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解；(3)范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积(周长)等最值问题时，往往涉及到动点坐标的取值范围(极端点的位置问题)，可将问题转化为函数最值处理．角度2离心率问题[例3](1)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝4c2，则该椭圆离心率的取值范围是________.[规律总结]求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法定义法根据条件求出a，c，直接利用公式e＝eq\f(c,a)求解方程法根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)[对点练习]2.(1)(多选)双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角．设O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,20)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点A到一条渐近线的距离为2，右支上一动点P处的切线记为l，则()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)xB．双曲线C的焦距为2eq\r(15)C．当PF2⊥x轴时，|PF1|＝eq\f(9\r(5),2)D．过点F1作F1K⊥l，垂足为K，|OK|＝2eq\r(5)(2)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于________.任务6抛物线的几何性质[核心整合]已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角).③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).④以AB为直径的圆与准线相切．⑤以AF或BF为直径的圆与y轴相切．⑥过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径).[例4](1)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△MOF的面积与△NOF的面积之比为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．5D．4(2)(多选)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．抛物线的准线方程为x＝－1B．若|AF|＋|BF|＝4，则线段AB的中点P到x轴的距离为1C．若直线AB经过焦点F，则y1y2＝1D．若y1y2＝1，则直线AB过焦点F[规律总结]利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少运算量．[对点练习]3.(1)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线上的点，且MF与x轴不垂直，M在直线x＝－2上的射影为N，若△MNF的垂心在抛物线C上，则|MF|＝()A．9B．10C．11D．12(2)已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________.强化拓展(五)椭圆的第二、第三定义【编者按】椭圆是最重要的圆锥曲线之一，除了教材中学习的定义外，还有两种重要定义，我们一般称为第二定义和第三定义．第二定义：平面内到定点距离与到定直线(定点不在定直线上)距离之比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆．定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线．第三定义：平面内与两定点连线的斜率之积为常数λ(λ<0且λ≠－1)的动点轨迹为椭圆(不含两定点).椭圆第二定义在处理焦半径与椭圆外线段(距离)和最值问题时有很大优势，第三定义则适用于快速解决椭圆的中心弦问题．如能合理利用椭圆的第二、第三定义，能使很多问题变难为易，迎刃而解．题型一第二定义[例1]在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任取三个不同的点P1，P2，P3，使得∠P1F2P2＝∠P2F2P3＝∠P3F2P1，F2为右焦点，则eq\f(1,|P1F2|)＋eq\f(1,|P2F2|)＋eq\f(1,|P3F2|)＝________.[规律总结]椭圆的第二定义文字语言若点M到定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x＝eq\f(a2,c)的距离的比是常数eq\f(c,a)(a>c>0)，则点M的轨迹是椭圆，点F为其右焦点，直线l为其右准线图形语言符号语言eq\f(|MF|,|MH|)＝eq\f(c,a)(即离心率e)焦半径公式已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，左焦点F1，右焦点F2，P(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0[对点练习]1.若椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的取值范围是()A．[1，3]B．[2，3]C．[eq\r(2)，eq\r(3)]D．[1，eq\r(3)]题型二第三定义[例2]已知定点A，B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．[规律总结]由椭圆的第三定义可得：若A、B是椭圆上关于原点对称的两个点，P是椭圆上异于A、B的点，若kPA，kPB都存在，则：(1)若椭圆的焦点在x轴上，则kPA·kPB＝e2－1＝－eq\f(b2,a2)；(2)若椭圆的焦点在y轴上，则kPA·kPB＝－eq\f(a2,b2)(a>b>0).[对点练习]2.椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(1,4)，则C的离心率为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)任务7中点弦问题[核心整合]已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点(AB不平行于y轴)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率为k.(1)若E为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则有k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(2)若E为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(3)若E为抛物线y2＝2px(p>0)，则k＝eq\f(p,y0).[例1](1)已知直线l：y＝x＋2与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A、B两点，点M(1，3)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为()A．2B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．3(2)已知直线l与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为____________．[规律总结]处理中点弦问题常用的求解方法[对点练习]1.(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过C的焦点F且倾斜角为eq\f(π,3)的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，|FW|＝eq\f(4,3)，则p＝()A．1B．2C．3D．4(2)已知斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线x＝－1上，则直线l的方程为()A．x－eq\r(6)y＋2＝0B．x－2eq\r(6)y＋4＝0C．eq\r(6)x－2y＋1＝0D．x－4eq\r(6)y＋5＝0任务8弦长、面积问题[核心整合]1．直线与圆锥曲线相交的弦长公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r((y1＋y2)2－4y1y2).2．圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)铅锤水平面面积公式：①过x轴上的定点：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a为x轴上定长)；②过y轴上的定点：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a为y轴上定长).[例2]在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4＋2eq\r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)当|AB|＝eq\f(3,2)|DE|时，求△ODE的面积．[规律总结]求圆锥曲线弦长的常用方法(1)设而不求法：利用上述的弦长公式，转化为韦达定理计算求解，这是求弦长问题的一般方法；注意：①设直线方程时，需考虑特殊直线，如斜率不存在、斜率为0等；②涉及直线与圆锥曲线相交时，要保证Δ>0.(2)特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px(p>0)求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.[对点练习]2.(1)(多选)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，A点位于B点右方，若∠AFB＝∠CFB，则下列结论一定正确的有()A．|AF|＝8B．|AB|＝eq\f(8\r(7),3)C．S△AFB＝eq\f(16\r(3),3)D．直线AF的斜率为eq\r(3)(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，实轴长为2eq\r(2).①求双曲线C的标准方程；②过点A(0，1)，且斜率不为0的直线l与双曲线C交于P，Q两点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为eq\r(3)，求直线l的方程．任务9切线问题[核心整合](1)直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零．(2)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；抛物线y2＝2px(p>0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).[例3](1)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，抛物线C2：y2＝4x，且C1与C2在第一象限的交点为P，且C1和C2在P处的切线斜率之积为－eq\f(1,4)，则C1的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),2)(2)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为________．[规律总结](1)圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决；(2)由过圆上一点的切线方程联想过圆锥曲线上点的切线方程，触类旁通，熟练记忆并会应用在椭圆、双曲线、抛物线上某点处的切线方程解决问题．[对点练习]3.(1)已知抛物线C：x2＝4y，过直线l：x＋2y＝4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A，B，则直线AB()A.斜率为2B．斜率为±2C．恒过点(0，－2)D．恒过点(－1，－2)(2)设P为圆O：x2＋y2＝5上任意一点，过点P作椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的两条切线，切点分别为A，B，点O，P到直线AB的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为________．任务10构造不等式求最值、范围[例1]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e＝eq\f(\r(6),3)，椭圆C上一动点D到F的距离的最小值为eq\r(6)－2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率为k(k≠0)的直线l过F点，交椭圆C于A，B两点，记线段AB的中点为N，直线ON交直线x＝3于点M，直线MF交椭圆C于P，Q两点，求∠MFA的大小，并求四边形APBQ面积的最小值．[规律总结]圆锥曲线中构造不等式求最值、范围的方法(1)利用判别式构造不等关系；(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式；(4)利用基本不等式研究最值、范围．[对点练习]1.双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．(1)求双曲线C的方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．任务11构造函数求最值、范围[例2]在直角坐标系xOy中，圆Γ的圆心P在y轴上(P不与O重合)，且与双曲线Ω：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右支交于A，B两点．已知|PA|2＋|PB|2＝|OA|2＋|OB|2.(1)求Ω的离心率；(2)若Ω的右焦点为F(2，0)，且圆Γ过点F，求|FA|＋|FB|的取值范围．[规律总结]目标函数法求解圆锥曲线有关最值问题的解题模型[对点练习]2.如图，已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2＝4y上，且A，B在第一象限，AC∥x轴，抛物线在点A处的切线为l，且BD∥l.(1)设直线CB，CD的斜率分别为k和k′，求k＋k′的值；(2)P为AC与BD的交点，设△BCD的面积为S1，△PAD的面积为S2，若tan∠BCA＝2，求eq\f(S1,S2)的取值范围．任务12定点(定直线)问题[例1]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq\r(5)，0)，离心率为eq\r(5).(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．[规律总结]动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题．设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，从而动直线过定点(－m，0).(2)动曲线C过定点问题．引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，可得出定点．[对点练习]1.已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq\f(\r(5),3)，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．任务13定值问题[例2]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A2，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知过点P(1，4)的直线与双曲线C右支交于A、B两点，点Q在线段AB上，若存在实数λ(λ>0且λ≠1)，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝－λeq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QB,\s\up6(→))，证明：直线A2Q的斜率为定值．[规律总结]参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤[对点练习]2.已知动圆P过定点F(0，1)且与直线y＝3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.(1)已知A，B两点的坐标分别为(－2，1)，(2，1)，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，证明：k1－k2＝1；(2)若点M(x1，y1)、N(x2，y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2＝－4，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨迹Г交于不同于F的三点C，D，G，求证：△CDG的重心的横坐标为定值．任务14证明问题[例1]已知过点F1(－1，0)的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝16相交于G，H两点，GH的中点为E，过GF1的中点F且平行于EF2的直线交GF2于点P，记点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程．(2)若A，B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上，点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，其中O为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，①点M在轨迹C上；②直线OA与OB的斜率之积为－eq\f(3,4)；③λ2＋μ2＝1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．[规律总结]解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．常用的证明方法有：(1)证A，B，C三点共线，可证kAB＝kAC或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；(2)证直线MA⊥MB，可证kMA·kMB＝－1或eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0；(3)证|AB|＝|AC|，可证点A在线段BC的垂直平分线上．[对点练习]1.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，C上一点A(4，eq\r(3))到l1，l2的距离之积为eq\f(4,5).(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x＝1上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明：eq\f(|PM|,|PN|)＝eq\f(|QM|,|QN|).任务15探索性问题[例2]已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(6),2)，且左焦点F到渐近线的距离为eq\r(3).过F作直线l1，l2分别交双曲线E于A，B和C，D，且线段AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若直线l1，l2斜率的乘积为－eq\f(1,5)，试探究：是否存在定圆G，使得直线MN被圆G截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆G的标准方程；若不存在，请说明理由．[规律总结]有关存在性问题的求解策略(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明(理由).[对点练习]2.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点A(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．强化拓展(六)圆锥曲线中非韦达定理的应用【编者按】在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，我们常联立方程组，利用韦达定理整体代入来解决；但是有些情况，如有些定点、定值、定线问题，我们发现把韦达定理整体代入并不能完全消除两根，把这类问题称之为“非对称韦达定理”．下面介绍几种常见非韦达定理形式的处理方法．类型一两根之比型(如eq\f(x2,x1)，eq\f(y1,y2))[例1]设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→)).(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝eq\f(15,4)，求椭圆C的方程．[规律总结]方案1是直接求出y1，y2，利用y1与y2的关系式，代入消元求解．方案2将eq\f(y1,y2)＝－2取倒数相加，得到eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＝－eq\f(5,2)，这样处理将不对称式转化为对称式，就可以将韦达定理的结果整体代入了．方案3是利用条件y1＝－2y2，得到y1＋y2与y1y2的关系式eq\f((y1＋y2)2,y1y2)＝－eq\f(1,2)，然后就可以用韦达定理处理了．方案4则是利用y1＝－2y2与y1＋y2，y1y2的表达式，代入消元求解．[对点练习]1.设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．类型二系数不等型(如λx1＋μx2＝m(λ≠μ，m≠0))[例2]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，右准线方程为x＝2eq\r(2).(1)求椭圆方程；(2)P(0，1)，A，B为椭圆的左右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．[规律总结]利用韦达定理中隐含着2kx1x2＝x1＋x2＝－eq\f(4k,2k2＋1)的关系，所以代入消元得到(1－k)(x1＋eq\f(2k＋2,1＋2k2))＝0，从而求得k＝1.[对点练习]2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq\f(\r(3),3)x，且点P(eq\r(3)，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．类型三分式上下不对称型(如eq\f(mx1x2＋λx1,mx1x2＋μx2)，eq\f(my1y2＋λy1,my1y2＋μy2)(λ≠μ))[例3]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)