2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（一） 函数与导数

任务群（一）函数与导数任务1函数及其表示[核心整合]1．几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．2．已知f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域若f(x)的定义域为x∈(a，b)，求出f[g(x)]中a＜g(x)＜b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域．3．分段函数分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．角度1求函数的定义域[例1](1)函数f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)的定义域是________．(2)若函数f(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x－4)的定义域为()A．[eq\f(1,2)，3]B．[－8，2]C．[1，eq\f(7,2)]D．[eq\f(3,2)，8][延伸探究](变条件)将(2)中“函数f(x)的定义域为[－2，3]”改为“f(x－1)的定义域为[－2，3]”，求函数f(2x－4)的定义域．[规律总结]确定函数定义域的基本方法(1)对于给出解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，只需构建不等式(组)求解即可．(2)对于复合函数，确定其定义域的一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得．(3)对于含字母参数的函数，确定其定义域，要根据具体情况对字母参数进行分类讨论．角度2分段函数及其应用[例2](1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x＋1)，x<4，,2x，x≥4，))则f(2＋log23)＝()A．8B．12C．16D．24(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤\f(1,4)，,log\s\do9(\f(1,2))x，\f(1,4)<x≤c，))若f(x)的值域是[－2，2]，则c的值为()A．2B．2eq\r(2)C．4D．8[规律总结]解决分段函数问题的基本策略(1)分类讨论：已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后综合各段的结果即可求解．(2)数形结合：求解分段函数问题时，画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题．[对点练习]1.(1)已知函数y＝f(eq\f(1,2)x＋1)的定义域是[2，4]，则函数g(x)＝eq\f(f(x),ln(x－2))的定义域为()A．(2，3)B．(2，3]C．(2，3)∪(3，6]D．(2，3)∪(3，4](2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+1－8，x≤1，,4log\s\do9(\f(1,2))(x＋1)，x>1，))且f(m)＝－12，则f(6－m)＝()A．－1B．－3C．－5D．－7(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex-1，x<1，,x3＋x，x≥1，))则f(f(x))<2的解集为________．任务2函数的图象[核心整合]1．解决函数图象的识别问题，注意“三关”(1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高．2．利用函数的图象研究不等式的基本思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．[例3](1)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为()(2)(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－1B．x3x4＝1C．1<x4<2D．0<k<1[规律总结](1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．[对点练习]2.(1)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝sin(tanx)B．f(x)＝tan(sinx)C．f(x)＝cos(tanx)D．f(x)＝tan(cosx)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1，))则下列图象错误的是()任务3函数的性质及其应用[核心整合]1．单调性的等价形式设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0等价于f(x)在[a，b]上是减函数．2．奇偶性与对称性(1)若函数y＝f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)；若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，且函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)是奇函数，则－f(x)＝f(－x)；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则－f(x＋a)＝f(－x＋a)，且函数f(x)的图象关于点(a，0)对称．3．周期性与奇偶性(1)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数．(2)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数．角度1函数的单调性与奇偶性[例4](1)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3](2)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．b<c<aD．b<a<c角度2函数的奇偶性、周期性与对称性[例5](多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)＋f(x)＝0，且函数f(2x＋1)为偶函数，则下面说法一定成立的是()A．f(x)是奇函数B．f(2024)＝1C．f(x)的图象关于x＝1对称D．k=12024[规律总结](1)奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.(3)若f(x＋a)＝－f(x)(或f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))或f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x)))，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数．(4)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(5)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．[对点练习]3.(1)定义在R上的函数g(x)满足g(x)＝f(x)＋2x，g(x＋2)为偶函数，函数f(3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则f(27)＝()A．－46B．4C．－50D．－4(2)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝2，则满足f(x)＋f(－x)>4的实数x的取值范围为______．任务4基本初等函数的图象与性质[核心整合]指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．[例1](1)若(eq\f(1,2))a＝log2a，(eq\f(1,2))b＝b2，ceq\s\up6(\f(1,2))＝2－c，则正数a，b，c大小关系是()A．c<a<bB．c<b<aC．a<c<bD．a<b<c(2)若函数f(x)＝(eq\f(1,3))(x－a)(x+2)在区间(－1，2)上单调递增，则a的取值范围是()A．[0，6]B．[－2，0]C．[6，＋∞)D．(－∞，0][规律总结](1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，不应只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，还要注意t>0这一限制条件．[对点练习]1.(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝log1(2)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a任务5函数的零点[核心整合]1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．角度1确定函数零点个数[例2](1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|，x<2，,2(x－3)2－1，x≥2，))若方程f(f(x))＝eq\f(1,2)的实根个数为()A．4B．8C．10D．12(2)若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是_______．[规律总结]函数零点个数的判断方法(1)直接法：由f(x)＝0求解即可．(2)零点存在定理：由f(a)·f(b)<0，再结合函数的性质确定函数f(x)零点的个数．(3)数形结合法：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)换元法：形如f(g(x))的函数，可采用换元法，先令g(x)＝t，求得当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时x的值的个数，即为f(g(x))的零点的个数．角度2根据函数的零点求参数的取值范围[例3]若函数f(x)＝|2x－3|－1－m有2个零点，则m的取值范围是________．[规律总结]利用函数零点的情况求参数的方法角度3零点的代数式问题[例4]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0<x≤2，,x2－8x＋13，x>2，))若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则eq\f((x3＋x4)x3,x1x2)∈()A．(16，32－8eq\r(3))B．(16，32)C．(32＋8eq\r(3)，48)D．(32，48)[对点练习]2.(1)f(x)＝tanxsinx－sinx－tanx＋1在[0，2π]上的零点个数是()A．1B．2C．3D．4(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log3x|，0<x<3，,sin(\f(π,6)x)，3≤x≤15，))若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2(x3－3)(x4－3)的取值范围是________________．任务6函数模型及其应用[核心整合]应用函数模型解决实际问题的一般步骤和解题关键(1)一般步骤：eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反馈,检验作答).(2)解题关键：解答这类问题的关键是建立相关函数解析式，利用函数、方程、不等式和导数的有关知识进行解答．[例5](多选)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2−t12.43，其中(参考数据：lg2≈0.301)A．t＝12.43log2eq\f(N,N0)B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的eq\f(1,32)D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16[规律总结]构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义．[对点练习]3.(1)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A.p1≥p2B．p2>10p3C.p3＝100p0D．p1≤100p2(2)(多选)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有()A．野生水葫芦的面积每月增长量相等B．野生水葫芦从9m2蔓延到36m2历时超过1个月C．设野生水葫芦蔓延到9m2，20m2，40m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t3<2t2D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度任务7导数的几何意义[核心整合]1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f'(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．3．切点既在切线上，又在曲线上．[例1](1)设函数f(x)＝eq\f(ex＋2sinx,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．[对点练习]1.(1)曲线y＝eq\f(ex,x＋1)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为()A.y＝eq\f(e,4)xB．y＝eq\f(e,2)xC．y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4)D．y＝eq\f(e,2)x＋eq\f(3e,4)(2)写出曲线y＝ln|x|过坐标原点的切线方程：________，________.任务8利用导数研究函数的单调性[核心整合]1．f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f'(x)≥0.2．f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f'(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．角度1求函数的单调区间[例2](1)已知f(x)＝2x2－3x－lnx，则f(x)的单调增区间为________．(2)已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1，a∈R，讨论f(x)的单调性．[规律总结]利用导数求函数的单调区间，其实质是转化为解不等式问题，但应注意以下几点：(1)首先确定函数的定义域，忽视定义域的限制易致错．(2)当函数在区间的端点处有定义时，单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间，但当函数在区间的端点处没有定义时，单调区间只能写成开区间．(3)当函数具有多个单调递增区间(或单调递减区间)时，不能用“∪”联结，而应该用“和”“及”等联结．角度2由函数的单调性求参数的值或范围[例3]若函数h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为________．[延伸探究]1.若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上单调递增”，则a的取值范围为________．2．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为________．3．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上不单调”，则a的取值范围为________．[规律总结](1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法，但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别，前者是恒成立问题，后者是不等式有解问题．(2)解决这类问题主要与参数处理相关，因此尽量采取措施合理地规避分类讨论，简化求解过程，否则就要运用分类讨论的思想解决问题．[对点练习]2.(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)ex，x≥0，,－x－2，x<0))的单调递减区间为________．(2)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．eC．e-1D．e-2任务9利用导数研究函数的极值、最值[核心整合]1．若在x0附近左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．[例4]已知函数f(x)＝eq\f(3,2)x2－4ax＋a2lnx在x＝1处取得极大值．(1)求a的值；(2)求f(x)在区间[eq\f(1,e)，e]上的最大值．[规律总结]利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f'(x)＝0的根，再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值．[对点练习]3.(1)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为()A．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)B．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2D．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2(2)若函数f(x)＝(x2－ax－2)ex在x＝－2处取得极大值，则f(x)的极小值为()A．－6e2B．－4eC．－2e2D．－e重点题型(一)公切线问题【编者按】函数的公切线问题是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．角度1求两个函数的公切线[例1]已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为________．[规律总结]解决曲线y＝f(x)和y＝g(x)的公切线问题时，通常有两种方法：一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解；二是分别设出公切线与曲线y＝f(x)和y＝g(x)的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有f'(x1)＝g′(x2)＝eq\f(g(x2)－f(x1),x2－x1)，据此列式求解．[对点练习]1.已知函数f(x)＝eq\f(2x2,e2)＋eq\f(e,x)，g(x)＝3lnx，若直线l与曲线y＝f(x)及y＝g(x)均相切，且切点相同，则公切线l的方程为________．角度2与公切线有关的求值问题[例2]若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．[规律总结]此类问题一般是利用导数的几何意义，充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程求解．[对点练习]2.已知曲线y＝ex在点(x1，ex1)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(xA．－1B．－2C．1D．2角度3判断公切线的条数[例3]已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A．3B．2C．1D．0[对点练习]3.曲线y＝－eq\f(1,x)(x<0)与曲线y＝lnx公切线的条数为________．角度4求参数的取值范围[例4]若函数f(x)＝lnx＋ax与函数g(x)＝x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，1]D．(－∞，2][规律总结]利用导数的几何意义，构造参数，建立关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两个函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．[对点练习]4.若曲线y＝kx-1(k<0)与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为________．任务10不等式恒成立问题求参数的取值范围角度1分离法求参数的取值范围[例1]已知函数f(x)＝|3x－1|－3b－3lnx.(1)当b＝1时，求f(x)在(eq\f(1,3)，＋∞)的单调区间及极值．(2)若f(x)≥0恒成立，求b的取值范围．[规律总结]分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．角度2分类等价转化法求参数的取值范围[例2]已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.(1)当a＝－2时，求f(x)的极值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．[规律总结](1)对于不等式恒成立问题，若不易分离参数或分离后难以求最值，解题时常用参数表示极值点，进而用参数表示出函数的最值，求解不等式得参数的范围，体现转化思想．(2)解题过程中，参数的不同取值对函数的极值、最值有影响，应注意对参数的不同取值范围进行分类讨论．[对点练习]1.函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x－m＋2.(1)若m＝e，求函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值；(2)若f(x)＋g(x)≤x2－(x－2)ex在x∈(0，2]恒成立，求实数m的取值范围．2．已知函数f(x)＝eq\r(2x－a).(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线过点(4，2)，求a的值；(2)若f(x)≤aex-1恒成立，求a的取值范围．任务11不等式有解求参数的取值范围[例3]已知函数f(x)＝alnx＋x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax＋eq\f(1,2))lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．[规律总结]不等式有解(能成立)问题的解题关键点[对点练习]3.设函数f(x)＝(a－a2)x＋lnx－eq\f(1,x)(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝1时，记g(x)＝xf(x)＋x2＋1，是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g(x)有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．强化拓展(一)导数中的函数构造【编者按】导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式命题，根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，能快速解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．构造一利用f(x)与xn构造[例1]已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<2f(x)，f(－1)＝0，则不等式f(x2)>0的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，a)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[规律总结]利用f(x)与x(xn)构造函数的技巧(1)对于f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).(2)对于f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).(3)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)g(x).(4)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),g(x)).(5)对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xf(x).(6)对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),x).(7)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xnf(x).(8)对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),xn).[对点练习]1.已知奇函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(1)＝2，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是________．构造二利用f(x)与enx构造[例2]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(0)＝0且f(x)＋f′(x)>0，则不等式f(x2＋4x－5)>0的解集为()A．(－∞，－5)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C．(－5，1)D．(－1，5)[规律总结]利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧(1)对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝exf(x).(2)对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),ex).(3)对于f′(x)＋2f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝e2xf(x).(4)对于f′(x)－2f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),e2x).[对点练习]2.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则()A．e2f(－1)<1B．f(1)>e2C．f(eq\f(1,2))<eD．f(1)>ef(eq\f(1,2))构造三利用f(x)与sinx，cosx构造[例3]定义在(0，eq\f(π,2))上的函数f′(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx·f′(x)＋sinx·f(x)<0成立，则有()A．f(eq\f(π,6))>eq\r(2)f(eq\f(π,4))B．eq\r(3)f(eq\f(π,6))>f(eq\f(π,3))C．f(eq\f(π,6))>eq\r(3)f(eq\f(π,3))D．eq\r(2)f(eq\f(π,6))<eq\r(3)f(eq\f(π,4))[规律总结]利用f(x)与sinx，cosx构造函数的技巧(1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)·sinx.(2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),sinx).(3)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(或<0)，可构造函数F(x)＝eq\f(f(x),cosx).(4)对于f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)cosx.[对点练习]3.已知f′(x)是定义域为(0，eq\f(π,2))的函数f(x)的导函数，且f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，则不等式f(x＋eq\f(π,2))cosx>eq\f(1,2)f(eq\f(π,6))的解集为()A．(－eq\f(π,3)，＋∞)B．(－eq\f(π,2)，－eq\f(π,3))C．(－eq\f(π,6)，0)D．(－eq\f(π,3)，0)任务12构造函数、利用最值证明不等式[例1]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x＋aln(x＋1)，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a<－1时，a2＋f(x)>1.[规律总结]在证明不等式f(x)>0(f(x)<0)时，可通过证明f(x)min>0(f(x)max<0)来实现，因此关键是求出函数f(x)的最小值(最大值).在求函数f(x)的最值时，主要利用导数通过单调性及极值求得，有以下几种情形：(1)直接求得f(x)的最值，且最值是一个具体的实数．(2)求得f(x)的最值，且最值是一个含有参数的代数式，再说明该代数式的最值大于0(小于0).(3)通过隐零点求得f(x)的最值，再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0).[对点练习]1.已知函数f(x)＝lnx－ax＋1.(1)求f(x)的极值；(2)证明：lnx＋x＋1≤xex.任务13放缩后构造函数证明不等式[例2]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋eq\f(3,2).[规律总结]放缩法证明不等式的两种基本方法(1)参数放缩：当给出参数取值范围来证明不等式恒成立时，可以把参数按取值范围放缩为常数．例如：已知参数a≥1，证明af(x)>0恒成立时，可去参数放缩得到af(x)≥f(x)>0，即只需要证明f(x)>0即可．(2)函数不等式放缩：在导数方法证明不等式中，最常见的是lnx和ex与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对lnx与ex进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)；②lnx≤x－1(当且仅当x＝1时取等号).[对点练习]2.已知函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：eq\f(1,\r(12＋1))＋eq\f(1,\r(22＋2))＋…＋1n2+n>ln(n＋1).任务14分拆转化函数证明不等式[例3]已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex.(1)判断方程f(x)＋eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)f′(x)＋x2的实根个数；(2)证明：f(x)＋2ex>g(－x参考数据：ln3≈1.1.[规律总结](1)若直接通过求导求函数的最值比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．(2)在证明过程中，等价转化是关键，如g(x)min≥f(x)max成立，从而可得f(x)≤g(x)恒成立．(3)有时候不易变形为两个一般函数，也可以选取函数式中的一部分当作新的函数，对其进行分析，从而达到对整个函数性质的研究．[对点练习]3.已知函数f(x)＝ex(1)试问曲线y＝f(x)是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．(2)证明：f(x)>eq\f(1,2)x2lnx．(参考数据：e5>128)强化拓展(二)同构函数【编者按】同构函数问题在近几年的各类考试中频繁出现，它是指在不等式、方程、函数中，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题．常见的同构有双变量同构和指对同构，主要考查学生的数学素养和创新思维．类型一地位同等的双变量同构函数[例1](1)已知实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，则满足条件的y的最小正整数为()A．1B．3C．5D．7(2)(多选)若0<x1<x2<1，则()A．ex2－ex1>lneq\f(x2＋1,x1＋1)B．ex2－ex1<lneq\f(x2＋1,x1＋1)C．x2ex1>x1ex2D．x2ex1<x1ex2[规律总结]含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)－g(x2)>λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)；(2)eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>k(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)<kx1－kx2⇔f(x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx；(3)eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<eq\f(k,x1x2)(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)>eq\f(k(x1－x2),x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)⇔f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)，构造函数φ(x)＝f(x)＋eq\f(k,x).[对点练习]1.(1)若实数a，b满足4a＋log3a＝8b＋3log27b，则()A．a<eq\f(3b,2)B．a>eq\f(3b,2)C．a>b3D．a<b3(2)若对任意的0<x1<x2≤a，(eq\f(x2,x1))x1x2－eex2eexA．eq\f(1,2)B．1C．eD．2e类型二跨阶的指对同构问题角度1指对同构解恒成立问题[例2]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R).(1)当a<e时，讨论函数f(x)零点的个数；(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥axalnx－xex恒成立，求a的取值范围．角度2指对同构证明不等式[例3]已知函数f(x)＝ex－xe(x>0).(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当x>e时，elnx[lnx－ln(lnx)]<x.[规律总结](1)五个常见变形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三种基本模式：①积型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up7(三种同构方式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤(lnb)elnb\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝xex，,同右：ealnea≤blnb\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝x＋lnx．))②商型：eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up7(三种同构方式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)<\f(elnb,lnb)\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)<\f(b,lnb)\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna<lnb－ln(lnb)\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝x－lnx．))③和差型：ea±a>b±lnbeq\o(→,\s\up7(两种同构方式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a>elnb±lnb\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝ex±x，,同右：ea±lnea>b±lnb\o(→,\s\up7(构造))f(x)＝x±lnx．))[对点练习]2.已知函数f(x)＝ex＋(1－a)x－ln(ax)(a>0).(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若对于任意的x>0，有f(x)≥0，求正数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)当x>2时，证明：eq\f(x,x－1)ex>ln(x－1).任务15判断函数零点的个数[例1]已知函数f(x)＝xex－1，g(x)＝lnx－mx，m∈R.(1)求f(x)的最小值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，讨论h(x)零点的个数．[规律总结]判断函数零点个数的方法(1)利用函数单调性和零点存在定理①讨论函数的单调性，确定函数的单调区间；②在每个单调区间上，利用函数零点存在定理判断零点的个数；③注意区间端点的选取技巧；④含参数时注意分类讨论．(2)利用数形结合函数的零点个数即函数图象与x轴交点的个数，因此借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点个数．①利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f(x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数．②若函数f(x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数．[对点练习]1.已知函数f(x)＝a(ex＋sinx)－x－1.(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，判断f(x)的零点个数．任务16根据零点求参数[例2]已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))))处的切线方程；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))各恰有一个零点，求a的取值范围．[规律总结]已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法[对点练习]2.已知函数f(x)＝x(ex－kx)，k∈R.(1)当k＝0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上仅有两个零点，求实数k的取值范围．重点题型(二)隐零点问题【编者按】在求解导数问题时，如果f′(x)是超越形式(对字母进行了有限次初等超越运算，包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式)，并且f′(x)的零点是存在的，但我们无法求出其零点，此时可对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．角度1不含参函数的隐零点问题[例1]已知f(x)＝asinx－x＋eq\f(1,x＋1)(x>－1)，且0为f(x)的一个极值点．(1)求实数a的值；(2)证明：①函数f(x)在区间(－1，＋∞)上存在唯一零点；②eq\f(1,2)－1n+1<k=2nsin1k2<1，其中n∈N*且[规律总结]隐零点问题求解的三个步骤(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．[对点练习]1.已知函数f(x)＝ex－4lnx－4.(1)判断f(x)的导函数在(1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，ex－4xlnx－1>0.注：0.69<ln2<0.7.角度2含参函数的隐零点问题[例2]设函数f(x)＝－alnx＋e2x，a>0.(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)－2a－aln2＋alna≥0.[规律总结]已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．[对点练习]2.已知函数h(x)＝ex(1)若x>0时，恒有h(x)>a，求a的取值范围；(2)证明：当x>1时，ex(1＋lnx)>ex2.重点题型(三)极值点偏移问题【编者按】所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数而言，由于函数极值点左右两侧的增减速度的不同，致使函数图象没有关于过极值点的直线成轴对称．(1)已知函数f(x)的图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足x1+x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝(2)若x1+x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝角度1对称变换[例1]已知函数f(x)＝x＋me(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝2，证明：0<m<e，且x1＋x2<2.[规律总结]对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题，其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0；(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>xeq\o\al(2,0)，则令F(x)＝f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x)))；(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性；(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系；(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．[对点练习]1.已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx－xlnx.(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：x1x2<1.角度2比(差)值换元[例2]已知函数f(x)＝lnx－2meq\r(x)(m∈R)有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)证明：e<eq\r(4,x1x2)<eq\f(1,m).[规律总结]比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题．[对点练习]2.已知函数f(x)＝ex－eq\f(ax2,2)，a>0.(1)讨论f(x)的极值点个数；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，当e<a<eq\f(e2,2)时，证明：f(x1)＋2f(x2)<eq\f(3e,2).重点题型(四)切线放缩【编者按】导数中的切线放缩法是一种非常实用的数学方法．切线放缩是指曲线y＝f(x)在某点处的切线方程为y＝kx＋b，若y＝f(x)的图象恒在直线y＝kx＋b的上方或下方，则有f(x)≥kx＋b或f(x)≤kx＋b成立，当且仅当x与切点横坐标相等时等号成立．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用切线y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)进行放缩．利用切线放缩法得到的常见不等式有：(1)ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)ln(x＋1)≤x，当且仅当x＝0时取等号；(4)lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号；(5)lnx≤ex－2，当且仅当x＝eq\f(1,e)时取等号．角度1单切线放缩[例1]已知函数f(x)＝ex－x2.(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求证：当x>0时，eq\f(ex＋(2－e)x－1,x)≥lnx＋1.[规律总结]该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．[对点练习]1.已知f(x)＝ex＋cos2x＋2x2＋x－2.(1)求f(x)在x＝0处的切线；(2)求证：f(x)≥ln(2x＋1).角度2双切线放缩[例2]已知函数f(x)＝xlnx－x，若f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x1<x2.求证：be＋e<x2－x1<2b＋e＋eq\f(1,e).[规律总结]含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明．[对点练习]2.已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)，若函数g(x)＝f(x)－m(m>0)有两个零点x1，x2，且x1<x2.证明：x2－x1≤1＋2m＋eq\f(m,e－1).大题规范解答·(一)函数与导数[典例示范](17分)已知函数f(x)＝lneq\f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3①.(1)若b＝0，且f′(x)≥0②，求a的最小值；(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形③；(3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2④，求b的取值范围．破题①：a.确定函数定义域；b.发现f(1)的特殊性．破题②：简化函数f(x)，并对其求导．破题③：a.证明函数f(x)是由某个奇函数经平移变换得到；b．根据函数特征求函数f(x)的对称中心．破题④：f(1)＝－2.————————————[满分作答]——————————————解：(1)当b＝0时，f(x)＝lneq\f(x,2－x)＋ax，x∈(0，2)，则f′(x)＝eq\f(2－x,x)·(eq\f(x,2－x))′＋a＝eq\f(2－x,x)·eq\f(2－x－(－1)x,(2－x)2)＋a＝eq\f(2,x(2－x))＋a.(2分)①∵f′(x)≥0，∴a≥eq\f(2,x(x－2)