2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（一）任务7~9

1．答案：D解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x端点不影响单调性，所以f(x)在(0，1]上单调递减．2．答案：C解析：因为y＝aex-2＋x，则y′＝aex-2＋1，由题意可得a+1＝4，8+b＝2+a，解得a＝3，b＝−33．答案：B解析：由题可得f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2a.因为函数f(x)＝13x3－ax2＋3在x＝1处取得极小值，所以2a＝1，即a＝1当a＝12时，f′(x)＝x(x4．答案：C解析：依题意可知，f′(x)＝ex－ax≥0在(1，2)上恒成立，所以a≤xex设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0(x∈(1，2))，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故a≤e，即a的最大值为e.5．答案：B解析：因为函数fx的定义域为0，+∞，所以依题可知，f1＝－2，f'1＝0，而f′x＝ax−bx2，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′x＝−26．答案：B解析：f′(x)＝(x－1)ex－e2，记g(x)＝(x－1)ex－e2，则g′(x)＝xex，当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，0)上单调递减．所以当x＝0时，g(x)min＝－1－e2<0，因为g(2)＝0，且当x<0时，g(x)＝(x－1)ex－e2<0，所以当x<2时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调递减；当x>2时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增．所以当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝－2e2－2.7．答案：B解析：因为y＝lnx＋1，则y′＝1x设切点坐标为(x0，lnx0＋1)，则切线斜率k＝1x则切线方程为y－lnx0－1＝1x0(x－x0)，整理得y＝1x0x又因为切线过点(a，b)，则b＝ax0＋lnx设f(x)＝lnx＋ax，函数定义域是(0，＋∞则直线y＝b与曲线f(x)＝lnx＋ax有两个不同的交点，则f′(x)＝1当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，解得0<x<a；令f′(x)>0，解得x>a；可知f(x)在(0，a)内单调递减，在(a，＋∞)内单调递增，则f(x)≥f(a)＝lna＋1，且当x趋近于0或＋∞时，f(x)趋近于＋∞，结合图象可知b>lna＋1.综上所述，b>lna＋1，a>0.8．答案：A解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，令f′(x)＝0，可得x＝0或x＝－2a3当－2a3>0，即a<0时，令f′(x)>0，得x<0或x>－2a3；令f′(x)<0，得0<x<－所以f(x)在(－∞，0)，−2a3，所以x＝0是函数f(x)的极大值点，满足题意；当－2a3＝0，即a＝0时，f′(x)＝x(3x＋0)≥0恒成立，则f(x)在R当－2a3<0，即a>0时，令f′(x)>0，得x<－2a3或x>0；令f′(x)<0，得－2a3所以f(x)在−∞，−2a3，(0，＋所以x＝0是函数f(x)的极小值点，不满足题意．综上，a<0，即a的取值范围为(－∞，0)．9．答案：ABD解析：函数f(x)＝x44−x33−3x22＋3x的定义域为R，且f′(x)＝x3－x2－3所以当x<－3或1<x<3时，f′(x)<0，当－3<x<1或x>3时，f′(x)>0，所以f(x)在−∞，−3所以f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝1处取得极大值，在x＝3处取得极小值．10．答案：ACD解析：因为fx＝x−12(x－4)，所以f′x＝2(x－1)x−4+x−12＝3x−1x−3，令f'x＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f'x当0<x<1时，x－x2＝x1−x>0，即0<x2<x<1，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以fx2<当1<x<2时，1<2x－1<3，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4＝f(3)<f(2x－1)<f(1)＝0，所以C正确；当－1<x<0时，f2−x−fx＝(2－x－1)22−x−4−x−12(x－4)＝x−12−x−2−x−111．答案：BCD解析：函数f(x)＝alnx＋bx+cx2的定义域为(0，＋∞)，求导得f因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，于是Δ＝b2+8ac>0，x1+x2＝ba>0，x12．解析：由题，当x＝－1时，y＝－3，故点(－1，－3)在曲线上，求导得y′＝2x+2−2x−1x+22＝5答案：5x－y＋2＝013．解析：由函数的解析式可得f′(x)＝axlna＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则(1＋a)xln(1＋a)≥－axlna，即1+aax≥−lna故1+aa0＝1≥－lnaln1+a，而a＋1故lna+1≥−lna，0<a<1结合题意可得实数a的取值范围是5−1答案：514．解析：设底面圆的半径为r，圆锥高为h，则h＝9−r2，r2＝9－h∴V＝πr2×2＋13πr2h＝2π(9－h2)＋13π(9－h2)h＝18π－2πh2＋3πh－13π令f(h)＝18π－2πh2＋3πh－13πh3∴f′(h)＝－πh2－4πh＋3π＝－π(h2＋4h－3)＝－π[(h＋2)2－7]，令f′(h)＝0得h＝7－2或h＝－7－2(舍去)，又∵母线长为3m，∴0<h<3，∴当0<h<7－2时，f′(h)>0，f(h)单调递增；当7－2<h<3时，f′(h)<0，f(h)单调递减，∴当h＝7－2时，f(h)取得最大值，即V取得最大值，此时r2＝9－h2＝47－2，故占地面积S＝πr2＝π×47答案：4715．解：(1)当a＝3时，f(x)＝e2x＋ex－3x定义域为R，又f′(x)＝2e2x＋ex－3，所以f′(x)＝(2ex＋3)(ex－1)，由f′(x)>0，解得x>0，此时f(x)单调递增；由f′(x)<0，解得x<0，此时f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．(2)函数f(x)的定义域为R，由题意知，f′(x)＝2e2x＋ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)极值点的个数为0；当a>0时，易知1＋8a>1，令ex＝t(t>0)，故解关于t的方程2t2＋t－a＝0得，t1＝−1−1+8a所以f′(x)＝2(ex－t1)(ex－t2)，又t2＝−1+1+8a4>所以当x>lnt2时，f′(x)>0，即f(x)在(lnt2，＋∞)上单调递增，当x<lnt2时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，lnt2)上单调递减，即f(x)极值点的个数为1.综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0；当a>0时，f(x)极值点的个数为1.16．解：(1)由题设得f′(x)＝1x＋2ax－1(x>0)，所以f′(1)＝1＋2a－1＝2a又因为f(1)＝a－1＋a＋1＝2a，所以切点为(1，2a)，斜率k＝2a，所以切线方程为y－2a＝2a(x－1)，即y＝2ax恒过原点．(2)由(1)得f′(x)＝2ax2−x+1x(x>0)，当a＝0时，f′(当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．当a≠0时，令t(x)＝2ax2－x＋1，则Δ＝1－8a，当a>0且Δ＝1－8a≤0时，即a≥18时，f'x≥0，f当0<a<18时，Δ＝1－8a令t(x)＝2ax2－x＋1>0，则0<x<1−1−8a4a或x>1+1−8a4a，此时f′(x)>0，所以f(x)在令t(x)＝2ax2－x＋1<0，则1−1−8a4a<x<1+1−8a4a，此时f′(x)<0，所以f(当a<0时，Δ＝1－8a>0，则t(x)＝2ax2－x＋1为开口向下的二次函数，对称轴x＝14a<0，t(0)＝1，t14a＝1－令t(x)＝2ax2