福建省恒一教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省恒一教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列求导运算结果不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：A.2.2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为.故选：B3.函数在处切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，则，，所以函数在处的切线斜率为，故选：C4.已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中，由图象可得时，，当时，，所以是极小值点，当时，，所以不极值点，当时，，所以极大值点，时，，所以是极小值点，故极小值点的个数为2.故选：C.5.小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是,故选：A6.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为的超几何分布，故有3个红球的概率为故选：C.7.若随机变量，则（）A.3.8 B.4.8 C.8.6 D.9.6【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D8.曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】直线的斜率为，所以，令得，，将代入可得，则在点的切线斜率为，所以切点到直线的距离为：.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（）A.展开式共有项 B.二项式系数最大的项是第项C.展开式的常数项为 D.展开式中各项的系数和为【答案】BD【解析】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误，对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正角，对于选项C，二项式的展开式的通项公式为，由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误，对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确，故选：BD.10.某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由图可知两变量呈现正相关，故，去掉“离群点”后，相关性更强，所以故故A正确，B不正确.根据图象当去掉F点后，相关性更强，点A，B，C，D，E会更靠近直线，直线的倾斜程度会略向x轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确，D错误.故选：AC.11.甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由古典概型可知，故A错误；对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率，当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知；对于C，由B选项分析同理可得，由条件概率的定义可知，故C正确；对于D，由全概率公式可得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．【答案】【解析】因为在内取值的概率为，服从正态分布，所以，且，所以，所以，所以在内取值的概率为，故答案为：.13.假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________．【答案】【解析】由题意可知该部件的总体良品率是：，故答案为：14.函数,若关于x的不等式的解集为,则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意知，当时，；当时，；当时，．当时，，结合图象知；当时，，当时，显然成立；当时，，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以．综上，实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.解：（1）函数的定义域为R，求导得，由，得或；由，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，而，，则，，所以在区间上的最大值和最小值分别为.16.某人工智能公司从2018至2024年利润情况如下表所示：年份2018201920202021202220232024年份代码x1234567利润y（单位：亿元）2.93.33.64.44.85.25.9（1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；参考数据：参考公式：对于一组数据，①相关系数为：;②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，解：（1）由题设，易知y与x线性相关，且，，由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强．（2）由题设，，，所以，因此y关于x的回归方程为，当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元．17.近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子正在就读小学的140名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表：（1）请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为是否辅导孩子作业与家长性别有关?否辅导家长性别辅导不辅导合计男50女40合计70（2）若从被调查的50名爸爸中任选2名爸爸，并用A表示事件“至少1名爸爸辅导”，用B表示事件“2名爸爸都辅导”，求．参考公式：其中．参考数据：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024解：（1）列联表填写如下图所示：是否辅导家长性别辅导不辅导合计男302050女405090合计7070140，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关；（2）至少一名爸爸辅导的可能情况有种；两名爸爸辅导的情况有种；所以.18.设随机变量X的概率分布列为（1）确定常数m的值.（2）写出X的分布列.（3）计算解：（1）随机变量的概率分布为．，解得．（2）由（1）可得，，，，的分布列为：1234（3）．19.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，所以.又，所以，则切线方程为.令得，令得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.（2）由得，