【课件】+倾斜角与斜率+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率

我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来。几何的基本元素：点代数的基本对象：数解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的对应几何问题代数问题几何图形的性质代数方法转化研究背景引入解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑。思考

确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？两个点一点和一个方向

归结问题问题1：这些直线的区别是什么？

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．

因此，这些直线的区别是它们的方向不同．问题2：如何表示这些直线的方向?

可以看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.新知1.倾斜角

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）．l20xy.Pl1l3l'α3α'α2α1注意:(1)直线向上方向;

(2)x轴的正方向.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°注意：直线的倾斜角α的取值范围为

0°≤α<180°问题问题3：任何一条直线都有倾斜角吗？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个

以及它的

.定点倾斜角两者缺一不可小试牛刀1.下列图中表示直线倾斜角为(

)C2.给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角;②若α是直线l的倾斜角，且,则α=450；③倾斜角为的直线只有一条，即x轴；④一条直线的倾斜角可以为-300.其中真命题的序号是_____.①3.直线x=1的倾斜角α=

.90°探究在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O、P的坐标有什么关系？·探究在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O、P的坐标有什么关系？(2)类似的,如果直线l经过P1(-1,1),P2(,0),α与P1、P2的坐标有什么关系？0xy.P1(-1,1)l

ααP在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠

x2，α与P1、P2的坐标有什么关系？探究在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠

x2，α与P1、P2的坐标有什么关系？探究思考

当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？0xy.P1(x1,y1).P2(x2,y2)l成立新知2.斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope).斜率常用小写字母k表示,即k=tanα注：倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.倾斜角α=30°时，这条直线的斜率k=tan30°=；

倾斜角α=120°时，这条直线的斜率k=tan120°=.问题问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？k=tanα

0°≤α<180°k=0k>0k<090°问题问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？①当α∈[0°,90°)时,倾斜角越大,斜率越大;②当α∈(90°,180°)时,倾斜角越大,斜率越大.

由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.新知2.斜率

如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠

x2，则斜率为

在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度思考（1）已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点的顺序有关吗？无关（2）当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？不适用小试牛刀×××√450问题问题5：直线的方向向量与斜率之间有什么关系？

若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则

若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).

经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为（1,k),求k的值小试牛刀例题剖析例1如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyACB解：直线AB的斜率直线BC的斜率由kAB>0及kCA>0知，直线AB

与CA的倾斜角均为锐角；由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．直线CA的斜率练习1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）α=30°；（2）α=45°；（3）α=；（4）α=.2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：（1）k=0；（2）k=；（3）k=；（4）k=.3.求经过下列