人教版八年级数学上册《15.1.2线段的垂直平分线的性质》同步测试题(附答案)

第第页人教版八年级数学上册《15.1.2线段的垂直平分线的性质》同步测试题(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm2．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC=4，则△ADM的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．103．在△ABC中，∠B=35°，∠C=50°，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则A．35° B．40° C．45° D．50°4．如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（）A．∠1=∠3，∠2=∠4 B．∠1=∠3，∠2≠∠4C．∠1≠∠3，∠2=∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠45．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．106．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm7．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则△APC周长的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．13.58．如图，△ABC中AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC二、填空题9．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC=.10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE=6，EC=3，则BC的长．11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD=5,AD=13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为．12．如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB=。13．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若CD=AC，∠A=50°，则∠B=三、解答题14．在等腰△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB，分别交（1）若∠ADE=40°，求∠DBC的度数；（2）若BC=6,△CDB的周长为15，求15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．则线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？请说明理由．16．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．（1）求证：PM＝PN；（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点G.（1）求证：AD是EF的垂直平分线；（2）若△ABC的面积为8，AB=3，DF=2，求AC的长.18．已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF．（1）求证：BG＝CF．（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD．

∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm，

∴BC+AD+CD=35cm，

∴BC+AC=BC+20=35cm，

∴BC=15cm．

故选：C．

【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，再利用已知条件三角形的周长BD+DC+BC=35转化为AD+DC+BC=35，即可计算BC的长即可．2．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，∴DB=DA，MA=MC，∵BC=4，∴△ADM的周长为AD+DM+AM=BD+DM+MC=BC=4，故选：A．【分析】由垂直平分线的性质得到DB=DA，MA=MC，则△ADM的周长转化为线段BC的长．3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠B=35°，∠C=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=95°，∵所作直线垂直平分AC，

∴PA=PC，∴∠PAC=∠C=50°，∴∠BAP=∠BAC−∠PAC=95°−50°=45°，故答案为：C．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，再根据等边对等角得出∠PAC=∠C=50°，最后根据∠BAP=∠BAC-∠PAC，即可求得．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，∴EB=ED,FD=FC，∴∠B=∠EDB,∠FDC=∠C，∵∠1=∠B+∠EDB,∠3=∠FDC+∠C,∠B≠∠C，∴∠1≠∠3，∵∠4=180∘−∠B−∠C，∠2=综上所述：∠1≠∠3，∠2=∠4.故选：C．【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到EB=ED，FD=FC，再由三角形的外角性质，以及三角形内角和定理，即可求解．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，∴AD=BD，

∵AC=3，BC=4∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7．故选A．【分析】先根据垂直平分线的性质得出AD=BD，然后计算三角形的周长即可解题．6．【答案】B【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA=DB，

∵C△DBC=10cm，

∴CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+AC=10cm，

∵AC=4cm，

∴BC=10-4=6cm，

故答案为：B.

【分析】利用垂直平分线的性质可得DA=DB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+AC=10cm，再求出BC的长即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴PC=PB，∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+PB∵两点之间线段最短，∴AP+PB≥AB∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB∵AC=6，AB=7∴△APC周长最小为AC+AB=13故答案为：A【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，再根据两点之间线段最短可得AP+PB≥AB，进而可得△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB，结合题意计算即可求解。8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，连接AK，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴AK=BK，

∴BK+CK=AK+CK，

∵AK+CK⩾AC，

∴BK+CK⩾AC，

即BK+CK的最小值是线段AC的长.

故答案为：C.

【分析】连接AK，根据线段垂直平分线的性质得出AK=BK，进而将BK+CK转换为AK+CK，再利用两点之间，线段最短即可知BK+CK的最小值是线段AC的长.9．【答案】8【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，

∴FA=FB

∵BF=6，CF=2

∴AC=FA+FC=FB+FC=8

故答案为：8

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得FA=FB，则AC=FA+FC=FB+FC=8。10．【答案】9【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=6，∴EA=EB=6，又EC=3，∴BC=BE+EC=6+3=9，故答案为：9．【分析】根据垂直平分线性质可得EA=EB=6，再根据边之间的关系即可求出答案.11．【答案】18【解析】【解答】解：如图所示，连接AM，∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动，∴AM=MC，∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，∴此时△CDM的周长=13+5=18，∴△CDM的周长最小值为18，故答案为：18．【分析】根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AM=MC，则△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，根据两点之间线段最短可知：当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小；此时AM+DM=AD，把AD=13代入计算即可求解．12．【答案】4【解析】【解答】解：∵PQ是BC边的垂直平分线，∴PC=PB，∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△BPD和Rt△CPE中，PB=PCPD=PE∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL)，∴DB=EC；在Rt△ADP和Rt△AEP中，PD=PEAP=AP∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，∴AD=AE=2，∵DB=EC，∴AD+AB=AC−AE=8−2=6，∴AB=6−2=4．故答案为：4．【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，根据角平分线的性质可得PD=PE，再根据全等三角形的判定方法可证Rt△BPD≌Rt△CPE(HL)，Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，进而可得DB=EC，AD=AE=2，结合线段关系加以计算即可求解。13．【答案】25°【解析】【解答】∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，∴∠B+∠BCD=∠ADC=50°，由作图过程可知，直线MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∴2∠B=50°，解得∠B=25°，故答案为：25°．​​​​​​

【分析】根据等腰三角形的性质得到：∠ADC=∠A=50°，然后根据三角形外角的性质得到：∠B+∠BCD=∠ADC，根据基本作图可知MN为线段BC的垂直平分线，则CD=BD，进而即可求解.14．【答案】（1）解：如图所示：

∵DE垂直平分AB，∴∠AED=∠BED=90°,∵∠ADE=40°，∴∠A=∠ABD=50°又∵AB=AC，∴∠ABC=(180°−50°)÷2=65°∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65°−50°=15°．（2）解：∵△CDB的周长为CD+BC+BD=15,∴CD+BD=9．又∵AD=BD，∴CD+AD=9，即AC=9．∵AB=AC，∴AB=9．【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得∠AED=∠BED=90°,DA=DB，再结合AB=AC，利用三角形的内角和及角的运算求出∠ABC的度数，最后利用角的运算求出∠DBC的度数即可；15．【答案】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G，如图，∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．又∵CE＝CF，∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．【解析】【分析】连接DB，根据DH是AB的垂直平分线得出∠A=∠DBH，根据三角形内角和定理可得∠ABC＝67.5°，再根据三角形外角性质可得∠CBD＝45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△BCD为等腰直角三角形，则BC＝DC，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，则DE＝BF，∠CED＝∠CFB，再根据角之间的关系可得∠EGB＝90°，由垂直判定定理即可求出答案16．【答案】（1）证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=BC∠ABD＝∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）证明：在Rt△PDM和Rt△PDN中，PM=PNPD=PD∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分线上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分线上，∴PD是MN的垂直平分线．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质求证。根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定求证。利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线的判定即可得到结论。17．【答案】（1）证明：