2025年新七年级数学暑假衔接 (人教版)专题18 线段动点的有关计算问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）（教师版）

PAGE1专题18线段动点的有关计算问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）知识清单一、解题常用的数学思想分类讨论思想，数形结合思想，方程思想．二、解题方法：1．通过审题了解动点的运动起止位置、运动路径、速度、以及与其它点的相对位置关系，利用已知条件表示运动路径长.注意：动点与图形中的临界点的相对位置变化，可能引起表达式的变化．2．根据已知条件列方程、关系式即可．1．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP(1)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；(2)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；(3)在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQ的长．【答案】(1)AP=4(2)AP=4(3)PQ=4cm或【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键．（1）由题意，当t=2时，PC=2cm，BD=4cm，得出BD=2PC，结合PD=2AC，得出BD+PD=2PC+AC，可得PB=2AP（2）设运动时间为ts，则PC=tcm，BD=2tcm（3）分类讨论，当点Q在线段AB上时和点Q在AB的延长线上时，分别画图求解即可．【详解】（1）解：当t=2时，PC=1×2=2cm，BD=2×2=4则BD=2PC，∵PD=2AC，∴BD+PD=2PC+2AC=2PC+AC即PB=2AP，∴AB=12cm，AB=AP+PB∴3AP=12，则AP=4cm（2）解：设运动时间为ts∴PC=tcm，BD=2t∴BD=2PC，∵PD=2AC，∴BD+PD=2PC+2AC=2PC+AC即PB=2AP，∴AB=12cm，AB=AP+PB∴3AP=12，则AP=4cm（3）解：当点Q在线段AB上时，∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=BQ+PQ,∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，由（2）知PB=2AP，∴PB=2BQ，∴BQ=PQ=AP，∴PQ=1当点Q在AB的延长线上时，AQ−BQ=PQ=AB=12cm．综上所述，PQ=4cm或122．如图，已知线段AB=20cm，点M从点A出发以1cm/s的速度沿A→B的方向运动，同时点N从点B出发以3cm根据题意回答下列问题：(1)当t=3s时，MN=______；当t=6s时，(2)若C为线段AB上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点D．①若AD=23AC②若BD=4CD，求线段AC的长．【答案】(1)8cm，(2)①12.5cm，②线段AC的长为1.25cm【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键；（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解；（2）①由题意，得AM=tcm，BN=3tcm，根据相遇关系列方程，求得t的值，求出②根据题意BD=4CD，求得CD的长度，进而分情况讨论，即可求解；【详解】（1）解：当t=3s时，BN=3×3=9cmMN=20−BN−AM=20−9−3=8cm当t=6s时，AN=20−18=2cm，MN=20−AN−BM=20−2−14=4cm故答案为：8cm，（2））①由题意，得AM=tcm，BN=3t当点M，N相遇时，t+3t=4t，4t=20，则t=5，所以AD=5cm因为AD=2所以AC=5÷2所以BC=AB−AC=20−7.5=12.5cm②由①可得，BD=AB−AD=15cm因为BD=4CD，所以CD=15÷4=3.75cm当点C在点D左侧时，AC=AD−CD=5−3.75=1.25cm当点C在点D右侧时，AC=AD+CD=5+3.75=8.75cm故线段AC的长为1.25cm或8.753．【问题背景】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BP向左运动，其中一点到达点A【问题探究】（1）点C，D的速度分别是1cm/s，①若AP=8cm，当动点C，D运动了2s时，求CD②若经过t秒，点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求t的值；【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求【答案】（1）①8cm；②t=3；（2）【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用．（1）①先根据线段的和差计算BP，再根据运动时间得出CP、BD，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出CP=t,BD=2t，再根据线段的中点得出AP=2CP,BP=2BD，然后根据AB=18列方程求解即可得出答案；（2）设运动时间为t，则PC=t,BD=3t，得出BD=3PC，再根据线段的和差及等量代换得出PB=3AP，从而得出答案．【详解】（1）①∵AB=18,AP=8∴BP=AB−AP=10∵C，D运动了2∴CP=2,BD=2×2=4∴CD=CP+BP−BD=2+10−4=8cm②根据题意得，CP=t,BD=2t∵点C为AP的中点，点D为BP的中点∴AP=2CP,BP=2BD∴2t+2×2t=18∴t=3；（2）设运动时间为t，则PC=t,BD=3t∴BD=3PC∵PD=3AC∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3∴AP=14．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2①若2cm<AP<14cm，当动点C，D运动了2②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求【答案】(1)①12cm；②1:2(2)92【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD即可；（2）设运动时间为ts，则PC=tcm，BD=3tcm，得到BD=3PC，又由PD=3AC，得到PB=3AP本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键．【详解】（1）解：①由题意得：BD=2×2=4cm，PC=1×2=2∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12cm②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，则：AP=2PC=2t，BP=2BD=4t，∴AP:PB=2t:4t=1:2；（2）解：设运动时间为ts，则PC=tcm，∴BD=3PC，∵PD=3AC∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3PC+AC∴AP=15．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=16cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D(1)若AM=6cm，当点C、D运动了3s，此时AC=，DM=(2)当点C、D运动了3s，求AC+MD(3)若点C、D运动时，总有MD=3AC，则AM=；（直接填空）(4)在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB【答案】(1)3cm；(2)4(3)4(4)12【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得MB=3AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．【详解】（1）解：根据题意知，CM=3cm，BD=9∵AB=16cm，AM=6∴BM=10cm∴AC=AM−CM=3cm，DM=BM−BD=1故答案为：3cm；1（2）解：当点C、D运动了3s时，CM=3cm，∵AB=16cm∴AC+MD=AM−CM+BM−BD=AB−CM−BD=16−3−9=4cm故答案为：4cm（3）解：根据C、D的运动速度知：BD=3MC，∵MD=3AC，∴BD+MD=3MC+AC，即MB=3AM∵AM+BM=AB，∴AM+3AM＝∴AM=1故答案为：4cm（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN−BN=MN，又∵AN−AM=MN∴BN=AM=4cm∴MN=AB−AM−BN=16−4−4=8∴MNAB②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB，∴MN=AB=16cm∴MNAB综上所述：MNAB6．如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．

(1)当t=3时，求线段MB的长度；(2)当t为何值时，点P恰好是MB的中点？(3)当t为何值时，AM=2PB？【答案】(1)MB=21(2)t=8(3)t=485【分析】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，（1）如图：当t=3时，先求出AP，然后再求出AM，最后根据MB=AB−AM求解即可；（2）先求出AM=MP=t，再说明MP=PB=t，然后由AB=3AM=3t=24即可求得t；（3）分P在线段AB上和P在线段AB延长线上两种情况解答即可．【详解】（1）当t=3时，AP=3×2=6．∵点M为AP的中点，

∴AM=1∴MB=AB−AM=24−3=21．（2）∵点M为AP的中点，∴AM=MP=1∵点P是MB的中点，∴MP=PB=t，∴AB=3AM=3t=24，∴t=8；（3）当点P在线段AB上时，AM=t，

PB=AB−AP=24−2t，∴t=224−2t解得t=48当P在线段AB的延长线上时，AM=t，

PB=AP−AB=2t−24，∴t=22t−24解得t=16．∴t=485或7．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+

(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度；（注：点(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F．请问：AB−OPEF的值是否随着时间t【答案】(1)−2，1，7(2)点Q的运动速度是487cm(3)不变，值为2【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得a，c的值，结合b是最小的正整数，即可得b的值；（2）先求出点Q，此时CQ=8，再进行分类讨论，当点P在OB上时或当点P在AO上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得AP=2t，OP=2t−2，根据线段之间的和差关系得EF=AB−AE−BE=52−t【详解】（1）解：因为a+2所以a=−2，c=7因为b是最小的正整数，所以b=1；（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，∴点Q表示的数是−1，此时CQ=7−−1由PB=2PO，可分两种情况：①当点P在OB上时，得OP=1此时AP=AO+OP=2+1∴点P运动的时间为73∴点Q的运动速度=8÷7②当点P在AO上时，得PO=OB=1，此时AP=AO−PO=2−1=1，∴点P的运动时间是1÷2=1∴点Q的运动速度=8÷1综上，点Q的运动速度是487cm/（3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时AP=2t，OP=2t−2，∵点E是AP的中点，∴AE=t，∵点F是OB的中点，OB=1，∴BF=1∴EF=AB−AE−BF=3−t−12=∴AB−OPEF【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．8．如图，C是线段AB上一点，AB=20cm，BC=8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t=(2)存在，满足条件的t值为4或7或32【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点；(1)当P、Q两点重合时，P、Q两点运动的距离之和为线段AB的长；(2)分类讨论：①当点C是线段PQ的中点时，②当点P是线段CQ的中点时，③当点Q是线段PC的中点时；能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得：AP=2t，BQ=t，∴当P、Q重合时，2t+t=20，解得：t=20（2）解：由题意可得：AC=20−8=12cm①当点C是线段PQ的中点时，12−2t=8−t，解得：t=4；②当点P是线段CQ的中点时，22t−12解得：t=32③当点Q是线段PC的中点时，2解得：t=7；综上所述，满足条件的t值为4或7或3259．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a−8+(1)填空：a=，b=；(2)在线段AB上有一点C，满足AC=12BC(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当t<7时，QP+QAQM【答案】(1)8，−6(2)10(3)QP+QAQM【分析】（1）根据非负数的性质，可得a−8=0,b+6=0，即可求解；（2）先求出AB=14，可得BC=28（3）根据题意可得依题意得：AP=6t,AQ=4t+14,AM=3t，从而得到PQ=AQ−AP=14−2t，QM=AQ−AM=14+t，即可求解．【详解】（1）解：∵a−8+∴a−8=0,b+6=0，解得：a=8,b=−6；故答案为：8，−6（2）解：∵a=8,b=−6，∴AB=8−−6∵AC=1∴AB=AC+BC=3∴BC=28∴点C表示的数为−6+28（3）解：QP+QAQM依题意得：AP=6t,AQ=4t+14,AM=3t，∴PQ=AQ−AP=4t+14−6t=14−2t，QM=AQ−AM=4t+14−3t=14+t，∴QP+QAQM∴QP+QAQM【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．10．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A

(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD=_________cm；②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP:PB=_________；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求【答案】(1)①12；②1:2(2)9【分析】（1）①先分别求出PC=2cm,BD=4cm②设运动时间为ts，则PC=tcm,BD=2t（2）设运动时间为xs，则PC=xcm,BD=3xcm，从而可得BD=3PC，再根据PD=3AC可得【详解】（1）解：①依题意得：PC=1×2=2cm∵AB=18cm，点D仍在线段PB∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12cm故答案为：12；②设运动时间为ts，则PC=t∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，∴AP=2PC=2tcm∴AP:PB=1:2，故答案为：1:2．（2）解：设运动时间为xs，则PC=x∴BD=3PC，∵PD=3AC，∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB，∴3AP+AP=AB，∴AP=1【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．11．如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．

(1)当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由；(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线OB上，t为何值时，它们相距1cm．【答案】(1)t=3.6(2)不能，见解析(3)t=17或t=19【分析】（1）根据题意可得OP=18−3t,OQ=2t，然后由OP=OQ可得关于t的方程，解方程即得答案；（2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论；（3）根据题意可得：OP−OQ=1，由此构建关于t【详解】（1）运动时间是t（s）时，OP=18−3t,OQ=2t，若OP=OQ，则18−3t=2t，解得：t=3.6；（2）点Q停止运动时，用的时间为16÷2=8秒，此时点P运动的路程为3×8=24，24−18=6<16，∴点P不能追上点Q；（3）当P、Q均在射线OB上，它们相距1cm时，根据题意得：PQ=OP−OQ即3t−18−2t=1解得：t=17或t=19．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键．12．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果）(2)如图②，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段【答案】(1)①是；②23m或1(2)15或18013或【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段间的数量关系：（1）①由中点可知这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，结合“二倍点”的定义进行判断；②由“二倍点”的定义知当点C是线段AB的“二倍点”时，可分BC=2AC，AC=2BC，AB=2AC=2BC三种情况，根据AB=m计算，即可求解；（2）由题意知AB=60cm，然后分两类讨论：当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q利用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：①根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；故答案为：是②线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，∴当BC=2AC时，BC=2当AC=2BC时，BC=1当AB=2AC=2BC时，BC=1综上所述，BC=23m或1故答案为：23m或1（2）解：∵点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20，∴AB=60cm根据题意得：点P所对应的数为2t−40，点Q所对应的数为20−3t，当t=602+3=12时，点P根据题干信息：点Q恰好是线段AP的“巧点”当故点P在点Q的左侧时，则点Q不在线段AP上，故舍去；当点P在点Q的右侧时，AP=2tcm,AQ=60−3tcm，若AP=2PQ=2AQ，则有60−3t=5t−60，解得：t=15；若AQ=2PQ，则有60−3t=25t−60，解得：t=若PQ=2AQ，则有260−3t=5t−60，解得：综上所述，当t为15或18013或18011时，点Q恰好是线段13．已知：数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，点O为原点，且a、b、c满足a−62(1)直接写出a、b、c的值；(2)如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M、N、R同时出发，设运动的时间为t秒，t为何值时，点N到点M、R的距离相等；(3)如图2，若点P从点A出发以每秒1个单位的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒3个单位的速度向左运动，点P，Q同时出发开始运动，点K为数轴上的一个动点，且点C始终为线段PK的中点，设运动时间为t秒，若点K到线段PC的中点D的距离为3时，求t的值．【答案】(1)6；2；1(2)1或5(3)3或7【分析】（1）根据非负数的性质，列出方程进行解答便可；（2）先用t的代数式分别表示出点N到点M、R的距离，再由点N到点M、R的距离相等列出t的方程便可；（3）用t的代数式表示P点，再根据中点公式用t表示D点和K点，再由两点距离公式由DK=3列出t的方程进行解答便可．【详解】（1）解：∵a−6∴a−6=0，b−2=0，c−1=0，∴a=6，b=2，c=1；（2）解：由题意得，6+t−2+3t=解得，t=1或t=5，∴t为1s或5s时，点N到点M、R的距离相等；（3）解：由题意知，P点表示的数为：6−t，∵D是PC的中点，∴D表示的数为：6−t+12∵C是PK的中点，∴点K表示的数为：2×1−6−t∵KD=3，∴t−4∴t=3或7．【点睛】此题考查了数轴，非负数的性质和一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．14．已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程(a−1)xa+1=0为一元一次方程．数轴上还存在线段MN和线段PQ（点M始终在点N左边，点P(1)当A、M、P三点重合，且MN=16，PQ=10时，求(2)如图，若线段MP的中点为R，线段NQ的中点为S，求2RSMN+PQ(3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段MN以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段PQ以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段PQ以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段PQ再次以原速向右运动……当点N所表示的数为2023时，求点P与点N共相遇了多少次？【答案】(1)a=−1；N点表示的数为15；Q点表示的数为9(2)1(3)103【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出a的值，由A、M、P三点重合，MN=16，PQ=10可得AQ=PQ=10，（2）由线段MP的中点为R，线段NQ的中点为S可得：MP=2RP，NQ=2NS；再通过线段的和差关系可得2RS=MN+PQ，即可得出结果；（3）计算出从点P与点N第一次重合到点P与点N第二次重合所需时间为392秒；即从点P与点N第一次重合后的每392秒，点P与点【详解】（1）解：∵关于x的方程(a−1)x∴a−1≠0解得：a=−1∵A、∴AQ=PQ=10，AN=MN=16∴N点表示的数为：−1+16=15；Q点表示的数为：−1+10=9（2）解：∵线段MP的中点为R，线段NQ的中点为S∴MP=2RP，NQ=2NS∴2RS=2(RP+PN+NS)=2RP+2PN+2NS=(MP+PN)+(PN+NQ)=MN+PQ∴2RS（3）解：在（1）的条件下N表示的数为15，当点N所表示的数为2023时；∴线段MN的总运动时间为：(2023−15)÷1=2008（秒）点P与点N第一次重合所用时间为：15−(−1)÷(3−1)=8从点P与点N第一次重合到点P与点N第二次重合所需时间为：(16+10)÷(3+1)+(16+10)÷(3−1)=39即从点P与点N第一次重合后的每392秒，点P与点N故点P与点N共相遇：(2008−8)÷39答：当点N所表示的数为2023时，求点P与点N共相遇了103次．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．15．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=152；t=6；t=607【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP,AQ,PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值．【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，∴线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20,BC=40−x,AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2x+20，解得，x=10②当BC=2AC时，有40−x=2x+20，解得，x=0③当AC=2BC时，有x+20=240−x，解得，x=20综上，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得AP=2t,AQ=60−4t,PQ=60−6t(0≤t≤10)（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有①当AQ=2AP时，60−4t=2×2t，解得，t=15②当PQ=2AP时，60−6t=2×2t，解得，t=6；③当AP=2PQ时，2t=260−6t，解得，t=综上，运动时间t(s)的所有可能值有t=152；（ii）、若10<t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有①当AP=2AQ时，2t=2×60−4t，解得，t=12②当PQ=2AQ时，6t−60=2×60−4t，解得，t=③当AQ=2PQ时，60−4t=26t−60，解得，t=综上，运动时间t(s)的所有可能值有：t=12；t=90故，运动时间t(s)的所有可能值有：【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．16．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从点M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度在直线AB上运动，运动方向如图中箭头所示（点C

(1)若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=，DM=(2)当点C、D运动了ts时，求AC+MD(3)若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=（填空）(4)在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB【答案】(1)2cm；(2)12−3t(3)4cm(4)13【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用；（1）由已知条件得CM、BD的长，由DM=BM−BD即可求解；（2）由已知条件得CM=t，BD=2t，由AC+BD=AB−CM−BD，即可求解；（3）C、D的运动速度可知：BD=2MC，由线段的和得BD+MD=2MC+AC，即可求解；解法二：C、D运动时间为ts，AM的长度为xcm，得BM=12−x，MD=12−x−2t（4）①当点N在线段AB上时，由线段和差得AN−BN=MN，可求BN=AM=4，由MN=AB−AM−BN即可求解；②当点N在线段AB的延长线上时，同理可求MN=AB=12，即可求解；能用已知线段的和差表示所求线段，根据N点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得CM=1×2=2cmBD=2×2=4cm∵AM=4cm∴BM=AB−AM=12−4=8cm∴DM=BM−BD=8−4=4cm故答案：2cm；4（2）解：由题意得CM=t，BD=2t，∴AC+BD=AB−CM−BD=12−t−2t=12−3t；故AC+MD的值为12−3tcm（3）解：C、D的运动速度可知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2MC+AC即MB=2AM，又∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴3AM=12，∴AM=4．故答案为：4cm．解法二设C、D运动时间为ts，AM的长度为xCM=t，BD=2t，BM=12−x，∴AC=x−t，MD=12−x−2t．又∵MD=2AC，∴12−x−2t=2x−t解得：x=4；故答案为：4cm；（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN−BN=MN，又∵AN−AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB−AM−BN=12−4−4=4，∴MN②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB，∴MN=AB=12，∴MN综上所述MNAB17．如图，点P是定长线段AB上一点，C从点P、D从点B同时出发分别以每秒a、b厘米的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），并满足下列条件：①关于m、n的单项式2m2n②C、D在运动过程中，总有PD=2AC．(1)直接写出：a=_______，b=_______；(2)求出ABAP(3)在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动t秒时，恰好满足3AC=2MN，求此时ABCD【答案】(1)1，2(2)3(3)AB【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．（1）根据同类项的定义列方程即可得到结论；（2）设ABAP=k，则（3）设AP=a'，由（2）知，PB=2a'，根据题意得到BM=2a'−t2【详解】（1）解：∵关于m、n的单项式2m2n∴单项式2m2n∴b=2,a=1，故答案为：1，2；（2）设C、D运动了t秒，则PC=t,BD=2t,设ABAP=k，则∴PB=(k−1)AP,∴AC=AP−CP=AP−t,PD=BP−BD=(k−1)AP−2t,∵PD=2AC,∴2(AP−t)=(k−1)AP−2t,

∴k−1=2,∴k=3,∴故答案为：3；（3）设AP=a'，由（2）知，∴PN=BN=∴CD=(2∴BM=①当点C在线段AP上时，AC=a∵3AC=2mn,∴3(解得：a'∴CD=2×2t−t=3t,AB=3∴②当点C在线段PA的延长线上时，AC=t−a∴3(t−解得：a'综上所述，ABCD18．如图，已知点B、C在线段AD上．(1)图中共有________条线段；(2)若AB=CD比较线段的大小：AC________BD（填：“>”，“=”，或“<”）；(3)若AD=22，BC=12，M是AB的中点，N是CD的中点（如下图）．①求MN的长度；②嘉嘉同学分析探究后说，当线段BC在射线AD上运动时，线段MN的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由．【答案】(1)6(2)=(3)①17；②同意，理由见详解【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB,AC,AD,BC,BD,CD．（2）依据AB=CD，即可得到AB+BC=CD+BC，进而得出AC=BD．（3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．②分为当点B在线段AD上，点C在射线AD上运动时；当点B在射线AD上，点C在射线AD上运动时，两种情况分别求解判断即可；【详解】（1）解：∵B、C在线段AD上，∴图中共有线段AB,AC,AD,BC,BD,CD.共6条．故答案为：6；（2）若AB=CD，则AB+BC=CD+BC，即AC=BD．故答案为：=；（3）①∵AD=22,BC=12，∴AB+CD=AD−BC=10，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM=1∴BM+CN=1∴MN=BM+CN+BC=5+12=17．

②当线段BC在射线AD上运动时，当点B在线段AD上，点C在射线AD上运动时：

∵AD=22,BC=12，∴AB+CD=AD+BC−2BD=34−2BD，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM=AM=1∴BM+DN=1∴MN=BM+DN+BD=17−BD+BD=17．当点B在射线AD上，点C在射线AD上运动时：

∵AD=22,BC=12，∴AB+CD=AD+BC+2BD=34+2BD，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴BM=AM=1∴BM+DN=1∴MN=BM+DN−BD=17+BD−BD=17．∴线段MN的长度不变．19．已知：如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a，b满足a+2+（1）求A，B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求点C表示的数；（3）一小球甲在数轴上从点A处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点B处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点P和点B处各放一块挡板，其中点P所表示的数为−1，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），问：t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4．【答案】（1）8；（2）点C表示的数为103或14；（3）t为12s或【分析】（1）由a+2+b+3a2（2）由题意易得点C在点A的右侧，可分当点C在线段AB上和在线段AB外，进而根据线段的和差关系可进行列方程求解；（3）由题意得：V甲=1个单位/秒，V乙=7【详解】解：（1）∵a+2+∴a+2=0,b+3a=0，∴a=−2,b=6，∴A、B两点之间的距离为AB=6−−2（2）由AC=2BC得点C在点A的右侧，设点C表示的数为x，即AC=x+2，则有：①当点C在线段AB上，则BC=6-x，∴x+2=26−x，解得：x=②当点C在线段AB外，则BC=x-6，∴x+2=2x−6，解得：x=14综上所述：当AC=2BC时，点C表示的数为103（3）由题意得：V甲=1∴它们相遇的时间为：1+7t=8，解得：t∴它们同时碰到挡板P，当它们之间的距离为4时，则有：①当它们未碰到挡板P，即0<t<1，∴t+4+7t=8，解得：t=②当它们碰到挡板P后，即t>1，∴t−1+7t−7=4，解得：t=3综上所述：当t为12s或3【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．20．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒：（1）写出数轴上点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】（1）-6，8−4t；（2）点P运动7秒时追上点Q；（3）线段MN的长度不发生变化，其值为7【分析】（1）根据点A表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4t=2t+14，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，根据中点的定义即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14，∴点B表示的数为−6，点P表示的数为8−4t，故答案为：-6，8−4t；（2）设点P、Q同时出发，点P运动时间t秒追上Q，依题意得，4t=2t+14，解得t=7，∴点P运动7秒时追上点Q；（3）线段MN的长度没有发生变化都等于7；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=12AP+12BP=12②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP−NP=12AP−12BP=∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．21．【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇点”．（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图②，若CD=18cm，点N是线段CD的奇点，则CN=______cm；【解决问题】（3）如图③，已知AB=15cm动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）t=3或307或154或458【分析】（1）根据“奇点”的定义即可求解；（2）分①当N为中点时,②当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，③当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可；（3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．【详解】（1）∵一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”，∴线段的中点是这条线段的“奇点”，（2）∵CD=18，点N是线段CD的奇点，∴可分三种情况，①当N为中点时，CN=1②当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，CN=1③当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，CN=（3）∵AB=15,∴t秒后，AP=t,AQ=15−2t0≤t≤7.5①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时，有三种情况；1）点P为AQ中点时，则AP=12AQ，即2）点P为AQ三等分点，且点P靠近点A时，则AP=13AQ,即3）点P为AQ三等分点，且点P靠近点Q时,则AP=23AQ，即③当Q为A、P的巧点时，有三种情况；1）点Q为AP中点时，则AQ=12AP，即2）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点A时，则AQ=13AP,即3）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点P时,则AQ=23AP，即【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．22．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a,b,c，且c−b=b−a，点C对应的数是10．（1）若BC=15，则a=_____，b=______；若经折叠，点B与点C重合，则点A与数______，表示的点重合；（2）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，点Q向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，点N为线段OP的中点，点M为线段BQ的中点，设运动时间为t秒，用含t的代数式表示点P、Q表示的数分别是______,_______；用含t的代数式表示MN之间的距离_______．【答案】（1）−20，−5；25；（2）−20−2t，10+t；25【分析】（1）根据BC=15，可得c−b=b−a=15,再根据点C对应的数是10，即可得出a，b的值，设点B与点C重合，与点A重合的数表示x，列出关于x的方程，解方程即可求解；（2）先根据题意得到P、Q表示的数，再根据中点的意义确定M、N表示的数，即可求解．【详解】解：∵BC=15，∴c−b=b−a=∵c=10，∴b=-5，a=-20，设点B与点C重合，与点A重合的数表示x，则x−20解得x=25，故答案为：−20，−5；25；（2）由题意得P点表示的数为-20-2t；点Q表示的数位10+t；∵点N为线段OP的中点，点M为线段BQ的中点，∴点N表示的数为：-10-t，点M表示的数为10+t+(−5)2∴MN=5+t2故答案为：−20−2t，10+t；252【点睛】本题考查了数轴的应用，线段中点的意义，一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的意义和线段中点的意义是解题关键．23．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC，DN=BN=1∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+1=12AC+12CD+12=12(AC+CD+BD)+1=12=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：a+8解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE=BE=12Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC−5DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．24．如图1，在直线l上依次取点C,A,B,D，点M、N分别是线段AC,BD的中点，AB=3cm（1）求线段MN的长．（2）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向左运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段MN（3）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向右运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段MN【答案】（1）6；（2）MN的长度不变，MN=6；（3）MN的长度不变，MN=6．【分析】（1）由AB=3cm,CD=9cm，可得AC+BD=6，再利用点M、N分别是线段AC,BD（2）如图2，以C为原点建立数轴，则D对应的数为9，设A运动开始时对应的数为a,由AB=3，可得B对应的数为a+3,运动ts后A,B对应的数分别为a−t,a+3−t,再利用中点坐标公式分别表示M,N对应的数，再利用两点间的距离公式可得答案；（3）如图，以C为原点建立数轴，则D对应的数为9，设A运动开始时对应的数为a,由AB=3，可得B对应的数为a+3,运动ts后A,B对应的数分别为a+t,a+3+【详解】解：（1）∵AB=3cm∴AC+BD=CD−AB=9−3=6，∵点M、N分别是线段AC,BD的中点，∴AM=1∴AM+BN=1∵MN=AM+AB+BN=3+3=6.（2）如图2，以C为原点建立数轴，则D对应的数为9，设A运动开始时对应的数为a,由AB=3，可得B对应的数为a+3,运动ts后A,B对应的数分别为a−t,a+3−t,∵M,N分别是线段AC,BD的中点，∴M点对应的数为：a−t+02=a−t2,∴MN=∴MN的长度不变为6.（3）如图3，以C为原点建立数轴，则D对应的数为9，设A运动开始时对应的数为a,由AB=3，可得B对应的数为a+3,运动ts后A,B对应的数分别为a∵M,N分别是线段AC,BD的中点，∴M点对应的数为：a+t+02=∴MN∴MN的长度不变为6.【点睛】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段中点对应的数的规律，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．25．如图，在数轴上A点表示的数是4，AB=10，点P以每秒6个单位的速度从A点向左运动，运动时间是x．（1）点B表示的数是______，点P表示的数是______．（2）点Q以每秒4个单位从点B向左运动，求点P几秒后追上点Q？（3）点M、N分别是AP、BP中点，①当点P在线段AB上运动时，求线段MN的长度，②点P运动到线段AB之外时，线段MN的长度是否会发生变化？如果变化请说明理由，如果不变化请求出MN的值．【答案】（1）−6，4−6x；（2）点P经过5秒后追上点Q；（3）①MN=5，②不发生改变，MN=5．【分析】（1）根据题意易得AP=6x，然后可直接进行求解；（2）根据追及问题的关系式“追及路程=速度差×追及时间”可直接进行列式求解；（3）①由题意易得PM=1②由题意易得AP=6x，PB=6x-10，PM=12AP,PN=【详解】解：（1）由题意得：点B表示的数为：4−10=−6，∵点P的运动路程即为AP的长，速度为每秒6个单位从点A向左运动，∴点P表示的数为：4−6x，故答案为−6，4−6x；（2）由题意得：6−4x=10解得：x=5，答：点P经过5秒后追上点Q；（3）①当点P在线段AB上运动时，如图所示：∵点M、N是AP、BP的中点，∴PM=1∵AB=AP+BP=10，∴MN=PM+PN=1②MN的长不会发生变化，理由如下：点P运动到线段AB之外时，如图所示：∵点M、N是AP、BP的中点，∴PM=1∵点P的运动路程即为AP的长，速度为每秒6个单位从点A向左运动，∴AP=6x，∴PB=6x−10，∴PM=3x,PN=3x−5，∴MN=PM−PN=3x−3x+5=5．【点睛】本题主要考查线段中点的性质及数轴上的动点问题，熟练掌握线段中点的性质及数轴是解题的关键．26．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点，∴OB＝AB−OA＝12，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−12；点P运动t秒的长度为4t，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−4t；（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，解得t＝3，答：当点P运动3秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则18＋2a−4a＝8，解得a＝5；当P超过Q，则18＋2a＋8＝4a，解得a＝13；答：当点P运动5或13秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键．27．如图，已知数轴上点A表示的数为−3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒．（1）数轴上点B表示的数为__________；点P表示的数为__________．（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止运动．运动时间为t秒．①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数．②当点P是线AQ的三等分点时，求t的值．【答案】（1）9，−3+2t；（2）①t=4，此时点P表示的数为5；②当t=127秒或3秒或6秒或【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长即可列方程求解；②分点P与点Q相遇前和相遇后，依据点P是线段AQ的三等分点进行求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：点B表示的数为：−3+12=9，点P表示的数为−3+2t；故答案为9，−3+2t；（2）①根据题意得：1+2t=12∴−3+2t=−3+2×4=5，答：当t=4秒时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5②点P与点Q重合前：当2AP=PQ时，则有：2t+4t+t=12，解得：t=12当AP=2PQ时，则有：2t+t+t=12，解得：t=3；点P与点Q重合后：当AP=2PQ时，则有28−t解得：t=6；当2AP=PQ时，则有48−t解得：t=36综上所述：当t=127秒或3秒或6秒或【点睛】本题主要考查线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题，熟练掌握线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题是解题的关键．28．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）MNAB【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴MNAB②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴MNAB综上所述MNAB故答案为MNAB【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．29．如图，点P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从点P、B出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上）．（1）若点C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明点P在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB（3）在（1）的条件下，若点C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时点C停止运动，点D继续运动（点D在线段PB上），点M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM−PN【答案】（1）点P在线段AB的13处；（2）13或1；（3）结论②MNAB【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据PD=2AC，可知点P在线段AB上的位置；（2）由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得AP=BQ，再结合AP=13AB可得PQAB的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得（3）点C停止运动时，CD=12AB【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则PD=PB−2t,PC=AP−t，由PD=2AC得PB−2t=2(AP−t)，即PB=2AP∵AP+PB=AB，∴AP+2AP=AB，∴3AP=AB，即AP=所以点P在线段AB的13（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ∴PQ=AP=1∴②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，∵AQ−BQ=AB，AQ−BQ=PQ∴AB=PQ∴综合上述，PQAB的值为13或（3）②MNAB由点C、D运动5秒可得CP=5,BD=5×2=10，如图，当点M、N在点P同侧时，点C停止运动时，CD=1∵点M、N分别是CD、PD的中点，∴CM=1∴CM=1∴PM=CM−CP=1∵PD=PB−BD=2∴PN=1∴MN=PN−PM=1当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB如图，当点M、N在点P异侧时，点C停止运动时，CD=1∵点M、N分别是CD、PD的中点，∴CM=1∴CM=1∴PM=CP−CM=5−1∵PD=PB−BD=2∴PN=1∴MN=PN+PM=1当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB所以②MNAB的值不变正确，MN【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.30．如图，在数轴上有四个点A、B、C、D，点A在数轴上表示的数是-12，点D在数轴上表示的数是15，AB长2个单位长度，CD长1个单位长度．

（1）点B在数轴上表示的数是，点C的数轴上表示的数是，线段BC＝．（2）若点B以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时点C以2个单位长度/秒的速度向左运动设运动时间为t秒，若BC长6个单位长度，求t的值；（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左运动．设运动时间为t秒．①用含有t的式子分别表示点A、B、C、D，则A是，B是，C是，D是．②若0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，试求出线段MN的长．【答案】（1）-10；14；24；（2）6或10；（3）①-t-12，-t-10，14-2t，15-2t；②32【分析】（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可找出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段BC的长度；（2）找出运动时间为t秒时，点B、C在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式结合BC=6，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）①找出运动时间为t秒时，即可得到点A、B、C、D在数轴上表示的数；②由①中的代数式