10.1.2　第2课时 两角和与差的正弦的应用

第2课时两角和与差的正弦的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)[课时目标]1.进一步掌握两角和与差的正弦公式,会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.2.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.题型(一)给值求角[例1]已知锐角α,β满足sinα=55,cosβ=1010,则α-β=听课记录:[变式拓展]将本例中条件“sinα=55”改为“sinα=255”,其余条件不变,则α+β|思|维|建|模|解决给值求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是π2,3π2或-π[针对训练]1.定义运算abcd=ad-bc.若cosα=17,sinαsinβcosαcosβ=题型(二)证明恒等式[例2]已知3sinβ=sin(2α+β),求证tan(α+β)=2tanα.听课记录:|思|维|建|模|解决有关的证明问题,首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系),确定证明的方向,然后利用公式证明.[针对训练]2.证明:sin(α-β)+2cosαsinβ题型(三)角的变换[例3]已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α听课记录:|思|维|建|模|在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.[针对训练]3.已知0<α<π2,-π2<β<0,cosα=31010,cos(1)求cosα+π(2)求sinα+β第2课时两角和与差的正弦的应用[例1]解析:因为α,β均为锐角,且sinα=55,cosβ=10所以cosα=255,sinβ=所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=55×1010-255×3又因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π2.故α-β=-答案:-π[变式拓展]解析:∵α,β均为锐角,sinα=255,cosβ=1010,∴cosα=55,sin∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×3又∵0<α+β<π,∴α+β=3π答案:3[针对训练]1.解析:依题设得sinαsinβcosαcosβ=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=3314.∵0<β<α<又cosα=17,∴sinα=437,∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-17×33答案:π[例2]证明:由已知得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,即2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,所以tan(α+β)=2tanα.[针对训练]2.证明:sin(=sin=sinαcos=tan(α+β),所以原式得证.[例3]解:∵π2<β<α<3∴0<α-β<π4,π<α+β<3又∵cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-3∴sin(α-β)=513,cos(α+β)=-4∴sin2α=sin(=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-5665,sin2β=sin=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-1665[针对训练]3.解:(1)因为0<α<π2,cosα=3所以sinα=1010.所以cosα+π4=cosαcosπ4-sinαsinπ4=31010(