苏州期中数学

密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加)苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3}，则A∩(∁UB)＝________．2.函数y＝eq\f(1,ln（x－1）)的定义域为______________．3.设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)4.已知幂函数y＝x2m－m2(m∈N*)在(0，＋∞)是增函数，则实数m的值是________．5.已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的取值是________．6.已知在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则eq\f(a7－a9,a3－a5)＝________．7.函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,12)，则φ的值是________．8.已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式eq\f(f（x）,x－1)>0的解集是________．9.已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝2，则cos2α的值是________．10.若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋8，x≤2，,logax＋5，x>2))(a>0且a≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a的取值范围是________．11.已知数列{an}，{bn}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(1,an＋1)(n∈N*)，则b1·b2·…·b2017＝________．12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝eq\r(,2)，则△ABC面积的最大值是________．13.已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，若对任意的实数α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,2)))，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f(α)＋f(β)＝0，则实数m的最小值是________．14.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,2x＋1，x≤0，))若直线y＝ax与y＝f(x)交于三个不同的点A(m，f(m))，B(n，f(n))，C(t，f(t))(其中m<n<t)，则n＋eq\f(1,m)＋2的取值范围是________．二、解答题：本大题共6个小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－eq\f(\r(,2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)＋b(a>0，b>0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为eq\f(π,2).(1)求a，b的值；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0.(1)当a＝2，m＝eq\f(5,4)时，求b，c的值；(2)若角A为锐角，求实数m的取值范围．

17.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，Sn＋1＝3Sn＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)在数列{bn}中，b1＝3，bn＋1－bn＝eq\f(an＋1,an)(n∈N*)，若不等式λan＋bn≤n2对n∈N*有解，求实数λ的取值范围．

18.(本小题满分15分)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部eq\o(CmD,\s\up8(︵))是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．(1)设MN与AB之间的距离为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x<\f(5,2)且x≠1))米，试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y＝S(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？

19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x－m.(1)求过点P(0，－1)的f(x)的切线方程；(2)当m＝0时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，a]上的最大值；(3)证明：当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))均成立(其中e为自然对数的底数，e＝2.718…)．

20.(本小题满分16分)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且anan＋3＝an＋1an＋2对任意n∈N*恒成立，记{an}的前n项和为Sn.(1)若a3＝3，求a5的值；(2)证明：对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；(3)是否存在正实数t，使得数列{Sn＋t}为等比数列？若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，请说明理由．密封线(这是边文，请据需要手工删加)

密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学附加题第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试数学附加题21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，CF⊥AB，垂足为F，D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于点E，∠AEC＝30°.(1)求证：AF＝FO；(2)若CF＝eq\r(,3)，求AD·AE的值．B.选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,21))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,2))，求A49α.C.选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)t＋2，,y＝\f(2,5)t))(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝eq\r(,2)acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))(a≠0)．(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为eq\r(,5)，求实数a的值．

D.选修45：不等式选讲(本小题满分10分)设x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入1，2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下；第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下；同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．(