人教高中数学A版必修一《指数函数》指数函数与对数函数 课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.2指数函数第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.(数学抽象)2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(直观想象)3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]当有机体生存时,会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳14,最终体内碳14与碳12的比值会达到与环境一致(该比值基本不变),当有机体死亡后,碳14的摄入停止,之后体中碳14因衰变会逐渐减少,通过测定碳14与碳12的比值就可以测定该生物的死亡年代.问题:已知碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)为5730年,你能用函数表示出有机体内的碳14与其死亡时间之间的关系吗?[知识点拨]知识点一:指数函数的概念1.一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数.其中指数x是自变量,定义域为R.2.指数函数的特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)指数幂的系数是1.名师点析

根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,如y=(a2+2)都不是指数函数,它们的函数表达式含有指数式,应将它们看作复合函数.微思考指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如

无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.知识点二:指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质

a>10<a<1图象

a>10<a<1性质(1)定义域:R(2)值域:(0,+∞)(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1(4)当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1(4)当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1(5)在R上是增函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0(5)在R上是减函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大微判断(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(

)(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(

)(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).(

)(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微思考指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特征是什么?提示

指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势,当x>0时底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0<a<1时,图象具有下降趋势,且x<0时,底数a的值越小,函数减少得越快.课堂篇探究学习探究一指数函数的概念反思感悟

指数函数是一个形式定义,其特征如下:变式训练1下列以x为自变量的函数中,是指数函数的为(

)A.y=(π-1)x

B.y=(1-π)xC.y=3x+1

D.y=x2答案

A解析

π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数位置不是x,C不是指数函数;D式中,自变量不在指数上,D不是指数函数.探究二指数函数的图象及应用1.指数型函数图象过定点问题例2已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

答案

(-1,4)解析

∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).要点笔记

指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求点.延伸探究

本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3呢?2.指数函数图象的识别例3函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0答案

D解析

由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.反思感悟

指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.变式训练2已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为(

)答案

C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是减函数,故排除A,B;作直线x=1与两个图象相交,交点在下面的是函数y=mx的图象.C符合题意.3.画指数函数的图象例4画出函数

的图象,这个图象有什么特征?你能根据图象指出它的值域和单调区间吗?要点笔记

指数函数y=ax与

(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.变式训练3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如图1,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图1,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图1,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图2所示.图1图2探究三利用指数函数的单调性比较幂值大小例5比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

(1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.反思感悟

比较幂的大小的常用方法

变式训练4(多选题)(2021福建漳州龙海二中高一期中)下列式子不正确的是(

)A.1.52.5>1.53.2B.1.70.2<0.92.1D.0.80.5<0.90.4答案

AB解析

由指数函数的单调性可知1.52.5<1.53.2,则A错误;由指数函数的单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,则B错误;由幂函数的单调性可知

,则C正确;由幂函数、指数函数的单调性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,则D正确.故选AB.

素养形成数形结合思想——指数函数图象的应用典例

若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.方法点睛

在运用指数型函数的图象求解相关问题时,要注意已知函数与指数函数的联系,把握图象的特点,抓住特殊点,巧用函数图象的平移和对称变换规律,结合函数的性质进行研究.

当堂检测1.函数y=2-x的大致图象是(

)答案

B2.(2021内蒙古集宁一中高一期中)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是(

)A.{a|a>0且a≠1}B.{a|a≥0且a≠1}答案

C3.给出下列函数:①y=x3;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x.其中指数函数的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

A解析

指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,故只有y=2x是指数函数,①为幂函数,②、