河北省部分示范高中2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分示范高中2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题一、单选题1．已知集合M=x∣x2+3x≤0，N=x∣A．x∣x≥-2 B．x∣x≥-3C．{x∣-2≤x<1} D．{x∣-3≤x<1}【答案】D【解析】M=x∣-3≤x≤0N={x|0<1-x≤3}={x∣-2≤x<1}，故M∪N={x∣-3≤x<1}，故选：D.2．已知复数z=cosθ+isinθθ∈R，则“z⋅z=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由z=cosθ+isinθθ∈但“z⋅z=1”推不出“θ=π3”，比如θ=0时，故“z⋅z=1”是“θ=π故选：B.3．定义双阶乘符号m!!：当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：5!!=1×3×5，6!!=2×4×6，则下列选项不正确的是（

）A．7!!=105 B．logC．2n+1!!2n-1!!【答案】D【解析】由题意知7!!=1×3×5×7=105，故A正确；log2100!!50!2n+1!!2n-1!!2n-1!!⋅2n!!=1×3×⋯×故选：D.4．已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为6π，则该圆锥的外接球体积为（

A．32π3 B．6π C．8【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l，则12×23π⋅l=6取圆锥PO的轴截面△PAB，如下图所示：由圆锥的几何性质可知，球心O1在直线PO上，设该圆锥的外接球O1的半径为由题意可知，OO1=3-R由勾股定理可得O1O2+AO故其体积V=4故选：A.5．下列函数中，在区间-1,1上单调递增且其图象与直线y=2x相切的是（

）A．fx=1C．fx=tan【答案】D【解析】对于A，f(x)=12x-1在区间对于B，f(x)=ln(x+1)在区间(-1,1)上单调递增，设切点为求导得f'(x)=1x+1，令f'则fx的斜率为2的切线方程为y+ln2=2(x+12对于C，当x∈-1,1时，2x∈-2,2，而±π2∈-2,2，函数对于D，当x∈(-1,1)时，f'x=2cosx>0设切点为(x1,f(x1))，由则f(x1)=0，因此曲线y=f(x)与直线y=2x相切，故选：D6．已知等差数列an的前n项和为Sn，a3+a8+a13A．27 B．28 C．54 D．55【答案】A【解析】设数列an的公差为d∵数列an是等差数列，∴解得a8=-40，即a∵5S7-7S5代入①中得，a1∵Sk=Sk+1∴a1+kd=0，即-54+2k=0故选：A.7．已知点P是抛物线C:y2=8x上一动点，记点P到直线x=-1的距离为d1，点P到圆M：x-22+y2=A．12 B．2 C．2 D．【答案】B【解析】由抛物线定义知d1+1=d再由d2≠0知，圆M与抛物线不妨设点Px0,y0所以r2<4，解得0<r<2，又r≥1，故故选：B.8．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点E在边BC上，∠BAE=θπ6≤θ≤π3，△ABE沿AE翻折，得到三棱锥B'-ACE，满足平面A．2 B．6 C．22 D．【答案】C【解析】在△ABC中，AB=AC=2，BC=23由余弦定理知cos∠BAC=AB因为π6≤θ≤π在平面AB'E中过B'作在平面ACE中过D作DF⊥AC，连接B'因为平面AB'E⊥平面ACE，平面AB'D⊂平面AB'E，故B'D⊥平面ACE而DF∩B'D=D,DF,B'D⊂平面而B'F⊂平面DFB'，故因为cosθ=故cosθ所以cos=因为π6≤θ≤π3，故故0≤cos故B'故B'C的最大值为故选：C.二、多选题9．已知一个不透明的箱子中有3个白球4个黑球，每次从中随机抽取一个球，不放回连续抽取两次，记事件A：第二次取到的球是黑球，事件B：两次取到的球颜色相同，事件C：两次取到的球颜色不相同，则下列说法正确的是（

）A．PA=3C．PA∣B=2【答案】BC【解析】依题意，PA=C41C6PAB=A42PAC=C41C故选：BC10．已知点P，Q分别为双曲线C:x2-y2=a2a>0的左、右顶点，点A，B是CA．双曲线C的渐近线方程为y=±x B．点Q为△PAB的重心C．a=4 D．△PAB为等边三角形【答案】ABD【解析】由于双曲线C是等轴双曲线，故其渐近线为y=±x，故A正确；由QP+QA+QB=0知点设Ax1,y1，B由点Q为△PAB的重心知x1+x故A，B关于x轴对称且x1=x故△PAB的面积S=3a⋅3a=123，解得a=2由C可知，A，B关于x轴对称且x1=x所以tan∠APQ=y13a=因此△PAB为等边三角形，故D正确.故选：ABD.11．已知函数fx=x-14-2x2+4x+2，若方程fx=m有四个不同的根x1A．函数fx的图象关于直线x=1B．x=0是函数fxC．若函数fx在区间a,b上存在最大值，则b-a的最大值为D．存在m使得x1，x2，x3【答案】ACD【解析】由fx则f2-x所以函数fx的图象关于直线x=1对称，故A由f'当x<0或1<x<2时，f'x<0，当0<x<1或x>2故fx在-∞,0上单调递减，在0,1上单调递增，在1,2故x=0是函数fx的极小值点，故B由x→±∞时fx→+∞，且所以在-∞,0、2,+∞上值域为(3,+∞)，在(0,1)令fx=4，即即x-12x-1-2x-1+2=0由函数fx在区间a,b上存在最大值，故1∈a,b且故b-a的最大值为22，故C由于f0=f2设方程fx+1=m的四个不同的根为x1'，x2易知x1'=x1-1，由于fx+1=x4-2x2+4是偶函数，若结合对称性，-x1'=x4'故fx3'解得x3'=55，此时故选：ACD三、填空题12．已知平面向量a=4,sinα，b=2,【答案】1【解析】由a=4,sinα，b=2,cos所以sin2α+故答案为：1513．(x-3y2)(x+y2【答案】-70【解析】(x-3y2)(x+y所以x4y8故答案为：-7014．已知函数fx=3sinωx+π4-3【答案】5【解析】令fx=0，即sinωx+π4因为sinωx+π4=12，故从小到大，设函数零点分别为x1则有ωx1+π4ωx4+由题意知29π6<ωπ+π故答案为：5四、解答题15．某电视台为了调研某城市人们对体育节目的喜爱情况，在该城市随机抽取了男性和女性各100人进行调查，得到如下2×2列联表：（1）求x，y的值，并根据表中数据，依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析该城市人们是否喜爱体育节目与性别有关联；（2）从调查的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，若从这10人中随机抽取3人，记X为喜爱体育节目的男性人数，求X的分布列及数学期望.附：χ2=n解：（1）由题意知x+55=100，y+60=100，解得x=45，y=40.零假设为H0：该城市人们是否喜爱体育节目与性别无关经计算得χ2依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0成立，即该城市人们是否喜爱体育节目与性别无关联（2）由题意知10人中，有6人喜欢体育节目，4人不喜欢体育节目，故X=0,1,2,3，PX=0=CPX=2=C所以X的分布列为期望EX16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是正方形，（1）证明：AC1//（2）求平面MB1C与平面（1）证明：设B1C∩BC易知四边形BCC1B1是平行四边形，故N为BC因此MN//AC又AC1⊄平面MB1故AC1//（2）解：因为BB1=AB=BC，故四边形BC所以△BCC1为等边三角形，故又AB=1，AC故AB2+B又因为AB⊥BB1且故AB⊥平面BCC取P为CC1的中点，连接BP，则因此BP，BB1，以点B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在直线为x，y，zB0,0,0，B10,1,0，C132CM=-3设平面MB1C由CM⋅n1=0令y1=1，x1=3BA1=设平面A1BC1的一个法向量为n2=令x2=1，y2=-3设平面MB1C与平面A则cosθ所以平面MB1C与平面A17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足an+b（1）当n=2，m=2025时，求tanC⋅（2）当n=1，m=2时，若sinC=45，b=5且b>a，求sinA解：（1）由正弦定理可得tanC⋅由余弦定理知abcos由题意知a2故abcos故tanC⋅（2）当n=1，m=2时，即a+b=2c，由正弦定理可得sinA+又因为sinB=sinA+C因为a+b=2c且b>a，故a<c<b，因此C为锐角，故cosC=故sinA+45因此cosA=2-2sinA，因此sin解得sinA=35（所以sinB=2sinC-因为b=5，故c=4，a=3，因此△ABC的周长为12.18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l2:y=k2xk1≠k2与C交于M解：（1）设C的半焦距为c，点P的坐标为(c,t)，由题意知ca故a=2c=由当PF2⊥x所以PF可解得：a=2，b=2故椭圆C的方程为x2（2）由对称性可得OP所以四边形PMQN为平行四边形，又四边形PMQN的面积为42故△POM的面积为2，其中O为坐标原点，设Px1,y1，Mx2,y若x1≠x联立y=k3x+m,x2Δ=8x1+xPM=坐标原点O到直线y=k3x+m故△POM的面积S=12PM整理得2k32由Δ=84k由题意知k1k2若x1=x2，则所以x1=2，y1=1所以k1所以k1k219．已知函数fx（1）求函数fx（2）设函数fx的极大值点为xn，若an=xn，bn=ann，数列（i）求a2，a98，a1