河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1.是虚数单位，则复数（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故选：B2.已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（）A.垂直 B.共线C.不垂直 D.以上都可以【答案】A【解析】因为，所以，故选：A3.若复数的实部与虚部互为相反数，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】根据复数除法法则(分子分母同时乘以分母的共轭复数)得，因为该复数的实部与虚部互为相反数，所以，故选C4.如图，已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，而，所以.故选：A.5.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（）A.平面 B.与相交C.与是异面直线 D.四边形为正方形【答案】A【解析】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对，在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错，因为分别为的中点，易知，所以与共面，C错，设正方体的棱长为2，易知，，，所以四边形为菱形而不是正方形，D错，故选：A．6.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（）A.8 B.10 C.12 D.【答案】B【解析】由题设知：原四边形中且，所以原四边形为平行四边形，而，则原四边形中，故，综上，四边形的周长为.故选：B7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，由正弦定理可得，即，又，所以，因为且，所以，所以又，所以，.故选：B8.如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A.16 B. C.18 D.【答案】C【解析】取的中点的中点，连接，，，，所以四点共面，如图所示.，且平面，平面，所以平面，因为，且，所以四边形是平行四边形，则，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面，易得，所以四边形的面积.故选：C.二、多选题9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.的相反向量是B.若，则C.在上的投影向量为D.若，则【答案】AC【解析】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误．故选：AC.10.已知是两个不重合平面，是两条不重合直线，则下列说法错误的是（）A.若，则与是异面直线B.若，则平行于内的无数条直线C.若，则D.若，则与一定相交【答案】AD【解析】对A，若，则与平行或异面，故A错误；对B，若，则平面内所有与平行的直线都与平行，故B正确；对C，若，则平面内所有直线都与平行，因为，所以，故C正确；对D，若，当时，，故D错误.故选：AD11.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（）A. B.是钝角三角形C.若，则外接圆半径为 D.若周长为15，则内切圆半径为【答案】ACD【解析】因为，由正弦定理可得：，又，故可得，设，则；对A：，故A正确；对B：根据大边对大角，为最大角，又，则，又，故为锐角，则△为锐角三角形，故B错误；对C：由B知：，为锐角，故，又，设外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，故C正确；对D：若周长为15，即，则，故，设内切圆半径为，则，即，解得，故D正确；故选：ACD.三、填空题12.已知两个单位向量满足则的夹角为______【答案】【解析】两边平方得，设的夹角为，即，因为为单位向量，所以，解得，因为，所以.故答案为：13.河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，）【答案】5【解析】在中，因为，由余弦定理可得，即，在中，可得，所以卧牛雕像的高度m.故答案为：5.14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）．则该箱中有这样的陀螺__________个．如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料_________【答案】40；【解析】由，得，圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为，则一个陀螺的体积为，质量为，所以该箱中共有陀螺个；由图知，，则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为，底面面积为，因此一个陀螺的表面积为，则，所以给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂的颜料.故答案为：40；四、解答题15.已知平面向量.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求的值；（3）若向量，若与共线，求的值.解：（1）因为，所以，解得，故，则.（2）因为，所以，则，则.（3），，若与共线，则，解得，即，故.16.如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，，求的值；（2）若，，求三角形的面积．解：（1）在中，，，则由余弦定理得，所以，在中，，，，所以由正弦定理得，得,，得；（2）在中，，由余弦定理得，在中，，，则余弦定理得,因为，所以，化简得，解得，所以，因为，所以，所以的面积.17.如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3.（1）证明：平面；（2）求该正四棱台的表面积.解：（1）连结，交于点，连结.在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，又为的中点，又平面，平面，平面.（2）由已知，梯形中，，，，过作，交于点，，，所以梯形的面积为正四棱台的表面积为：.18.已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长．解：（1）由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以．（2）因为，，所以．在中，由余弦定理可得：，所以．因为为角的平分线，所以，因为，所以，即，所以．19.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.解：（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交.理由如下：因平面,平面,平面,故直线与直线是异面直线；又因平面，因点是的中点，,故相交，设交点为,则点平面，又点平面，故直线与平面相交.（2）取的中点为，连接∵是棱的中点，∴且∵点是棱的中点，∴且∴且∴四边形是平