湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点两点的直线的方向向量为，则k为（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】经过两点的直线的方向向量为，所以

，解得，故选：A2.已知直线，若，则（）A.4或 B.4 C. D.1或【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，解得a=-1或.当a=-1时，，直线重合，不满足要求；当时，，直线平行，满足要求.故选：B.3.已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】由题意知：椭圆中，则，的周长故选：C.4.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B.15 C. D.【答案】B【解析】从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，可能的情况有：共有10种可能，其中，能构成三角形的只有共2种可能，故这三条线段能构成一个三角形的概率为故选:5.如图，已知空间四边形的中点分别为点，点在线段上，且，则向量表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选：A.6.已知，下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若事件A，B相互独立，则；⑤若事件A，B相互独立，则；正确的有（）A.①②④ B.①④ C.①③⑤ D.①④⑤【答案】D【解析】因为，①若，则，故①正确；②若，，因为的值不确定，故②错误；③若，则，即③错误；④若事件A，B相互独立，则，所以④正确；⑤若事件A，B相互独立，则，可知⑤正确.故选：D7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面BCD，且，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知AB、BC、CD两两垂直，且因此，如图，正方体内三棱锥即为满足题意的鳖臑，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，则，，，，则，，，则异面直线CM与AB夹角的余弦值为.故选：D.8.已知为椭圆上关于坐标原点O对称的两点，为椭圆的半焦距，P为平面上一点，且，椭圆的左、右顶点分别为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由为椭圆上关于坐标原点对称的两点，可设Mx1,y设，则，则，整理得，又，即可得，则可得，由，则，解得，又，则，代入到椭圆，可得，又，可得，整理得，解得，又，则，易知，又，所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（）A.事件A与事件B互斥B.事件C与事件D对立C.事件A与事件C相互独立D.事件B与事件D相互独立【答案】BCD【解析】从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为：，，共有12种，事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误；根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确；则，因为，且，所以A与C相互独立，故选项C正确；因为；且，所以B与D相互独立，故D正确故选：.10.下列说法正确的有（）A.经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为B.已知圆关于直线对称，则的最小值是9C.点在圆上运动，点到点M最小距离为3D.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为，当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得，所以直线方程为，故A错误；对于B，圆的圆心坐标为，半径为，因为圆关于直线l：对称，所以直线过圆心，即，所以，故a>0，且，所以，当且仅当，且即时，等号成立，故B正确；对于C，点到点M的最小距离为，故C正确；对于D，由，得如图，当直线与曲线相切时，原点到直线l的距离，所以当直线过半圆的下顶点时，，所以若直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11.已知正方体中，三棱锥的体积为43，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内（含边界），且，则（）A.三棱锥的体积为定值B.动点N的轨迹长度为C.不存在点N，使得平面DEFD.点N到平面DEF的距离的最大值为【答案】BC【解析】对于A，因为为等腰三角形，面积是定值，动点M在直线上，不平行所在的平面，点M到面的距离不是定值.三棱锥的体积为定值，故A错误.对于B，因为三棱锥的体积为，设正方形边长为a，所以，故.因为，则EN，而，故

，故动点N的轨迹为以为圆心，3为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B正确.对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设为平面DEF的法向量，则令，故为平面DEF的一个法向量，设，故，若平面DEF，则，则，解得，但，所以不存在点N，使得平面DEF，故C正确.对于D，由BC选项分析，点N到平面DEF的距离令，则，则，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线表示椭圆，则m的取值范围为______.【答案】【解析】由题意可得，解得且，所以m的取值范围为13.已知点，动点P在直线上，则的最小值为______.【答案】【解析】由题意知点A，B在直线的同侧，设点B关于直线的对称点为，则解得，即，所以14.若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】设，因为，即，平方整理得，即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D，又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交，圆C：，圆心，半径，所以，即，解得，即四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的点，边BC上的中线AM所在的直线方程为，边AC上的高BN所在的直线方程为（1）求顶点A的坐标；（2）求直线AB的方程.解：（1）边AC上的高BN所在的直线方程为，设AC所在的直线方程为，又，将点代入方程，可得，即AC所在直线方程为，边BC上的中线AM所在的直线方程为，联立，得，得点.（2）设点，则，故，得，，边AB所在的直线方程为16.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生测试共有三题，至少答对两题方可通过.现有甲，乙两名考生参加测试.已知考生甲、乙答对第一题的概率分别为，答对第二题的概率分别为，答对第三题的概率分别为，假设两人三题作答相互独立.（1）求考生甲通过测试的概率；（2）求考生甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.解：（1）记事件“甲通过测试”，事件“甲答对第i题”；（2）记事件“乙通过测试”，事件“乙答对第i题”则，记事件“甲、乙两人中至少有一人通过测试”，17.已知圆的圆心在直线上，且经过点和.（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求解：（1）的中点为点，，线段的垂直平分线方程为，即由，解得，所以圆心，圆的半径为，圆的标准方程为；（2）由题可知，点，，，四点在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的方程为，是以为直径的圆和圆的公共弦，两圆方程相减，得，即，所在的直线方程为，由于点到所在的直线的距离为，.18.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，（1）求证：平面（2）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（1）证明：平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，，平面PAD，平面，又且，PA、平面平面PAB；（2）解：取AD中点为O，连接PO、CO，又，则，，则，以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，设为平面PCD的一个法向量，由，得，令，则，设PB与平面PCD所成角的角为，（3）解：假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为，由可知，，，设设为平面ADM的一个法向量，由得，则，易知平面ABCD的一个法向量为，设平面ADM与平面ABCD的夹角为，，19.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用较链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有点M在线段的延长线上，且（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率分别为，（i）证明：为定值；（ii）若直线的斜率为k，点N是轨迹上