2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（二十八） 利用空间向量求距离

小测卷(二十八)利用空间向量求距离1．解析：由正方体的性质知，AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则Aa，0，0，B所以CA1连接A1C，由CA1且AB1∩B1D1＝B1，可知A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝1，−1，1，则两平面间的距离d＝BA·n答案：C2．解析：因为在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，不妨设AB＝d，AD＝|d|＝|b|＝|c|＝a，d·b＝0，d·c＝b·c＝a×a×12＝1所以AC1＝|d＋b＋c|＝d2+b2+cC1E·AC1＝−12c·(d＋b＋c)＝－12(c·d＋c所以E到直线AC1的距离为d＝C1E答案：A3．解：(1)证明：因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD.取PA的中点F，连接BF、EF，因为E是棱PD的中点，所以EF∥AD且EF＝12AD因为BC∥AD且BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC所以四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF，因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，因为BC∥AD，BC＝12AD，O为AD的中点，所以BC∥AO且BC＝AO所以四边形ABCO为平行四边形，则CO∥AB，因为AB⊥AD，则CO⊥AD，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)、C(1，0，0)、P0，0，3、D(0，1，0)，所以AC设DE＝λDP＝λ0，−1，3＝0，−λ，则AE＝AD+DE＝(0，2，0)＋设平面ACE的法向量n＝(x1，y1，z1)，所以n令z1＝2－λ，得n＝3λ，−设点B到平面ACE距离为d，d＝AB·当λ＝0时，d＝0；当0<λ≤1时，1λ≥1，则0<d＝3当且仅当λ＝1时等号成立．综上，点B到平面ACE距离的取值范围是0，214．解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，∠A1AC＝60°，A1A＝2，AO＝1，所以A1O＝3，A1O⊥AC，由题设可知，△ABC为边长为2的等边三角形，所以BO＝3，由A1B＝6，A1B2＝A1O2＋BO2，所以A1O⊥BO，又AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC，所以A1O⊥平面ABC，因为A1O⊂平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面ABC.(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，所以A(1，0，0)，B0，3，0，C(－1，0，0)，C1−2，0，BA1＝0，−3，3，设CM＝λCC1(0≤λ≤1)，可得M−λ−1，0，设平面A1BM的法向量为m＝(x，y，z)，则m即−3y+3z＝0，−1−λx−3y+3λz＝0，取y＝λ＋1，则所以m＝(3(λ－1)，λ＋1，λ＋1)，因为OA1＝0，0，3设平面A1BM与平面ABC的夹角为θ，cosθ＝m·解得λ＝15，所以M−MA1＝65，0，所以点M到直线A1B1距离d＝MA15．解：(1)如图1，记平面α与直线CD，PD的交点分别为E，F，则平面AEF为平面α，因为平面AEF∥平面PBC，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面PBC∩平面ABCD＝BC，所以AE∥BC，同理EF∥PC，又AB∥CD，即AB∥EC，所以四边形ABCE是平行四边形，故EC＝AB＝1，又CD＝2，故E是CD的中点，由中位线定理的推论，可知F是PD的中点，由条件易得SABCD＝12(AB＋CD)·AD＝12×(1＋2)×1＝32，S由PD⊥底面ABCD，得VF­ADE＝13SADE·DF＝13×12×DF＝16DF，故平面α将四棱锥P­ABCD分成两部分几何体的体积之比为15或5(2)由CD，PD，DA两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记PD的长为t，则P(0，0，t)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，则EC＝(0，1，0)，BC＝(－1，1，0)，PC＝(0，2，－t)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则有n·BC＝0，n取y＝t，得平面PBC的法向量n＝(t，t，2)，由条件易知点E到平面PBC距离为EC·nn＝66，即t2所以n＝(1，1，2)，PA＝(1，0，－1)，故直线PA与平面PBC所成角θ满足sinθ＝PA·6．解：(1)在图①中，连接AC，交BE于O，∵四边形ABCE是边长为2的菱形，∠BCE＝60°，∴AC⊥BE，OA＝OC＝3，在图②中，相交直线OA，OC1均与BE垂直，∴∠AOC1是二面角A­BE­C1的平面角，∵AC1＝6，∴OA2＋OC12＝AC12，∴OA⊥OC1，∠AOC1＝90°，∴平面(2)以O为坐标原点，OA，OB，OC1正方向为x则D32，−32，0，C10，0，3，A∴DC1＝−32，AC1＝−3，0，设DP＝λDC1＝−则AP＝AD