2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（二十四） 与球有关的切、接问题

小测卷(二十四)与球有关的切、接问题1．解析：如图所示：设△ABC的中心为O1，则OO1⊥平面ABC，又O1B⊂平面ABC，故OO1⊥O1B，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以O1B＝23又因为球O的表面积为8π，所以4πR2＝8π，解得R＝2，即OB＝2，所以OO1＝OB2即球心O到平面ABC的距离为63答案：B2．解析：依题意，作球的剖面图如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知43πR3＝36π，R则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝32−12＝2∴圆锥的侧面积为S＝12·EC·2π·DC＝12×23×2π答案：B3．解析：作出图象如图所示，由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，则R2＝x2＋522＝(x＋1)2＋522，解得x＝2，∴R2＝∴该球体的体积V＝4π3×412答案：C4．解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为2＋4−r所以圆锥的体积V＝13πr22+令t＝4−r2(0≤t<2)，则r2＝4－t所以V(t)＝13π(4－t2)(2＋t)＝13π(－t3－2t2＋4则V′(t)＝13π(－3t2－4t＋4)＝－13π(t＋2)(3当0≤t<23时，V′(t)>0，当23<t<2时，V′(所以V(t)在0，23所以当t=23，即r=423时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为83，母线长为l=设圆锥的内切球半径为R，圆锥的截面如图所示，则AD=83，AC=463，DC=423，AO=83-R，因为△AOE∽△ACD，所以OECD=AOAC，R4答案：D5．解析：由题意，设球O的半径为R，则43πR3＝6π⇒R＝6由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52⇒AC＝10△ABC外接圆半径r＝AC2根据线面垂直模型知：R2＝PA24＋r2⇒PA＝2×答案：A6．解析：将该多面体放入正方体中，如图所示．由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为2，因为该多面体是由棱长为2的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝2×2，所以所以该多面体外接球的体积V＝43πR3＝4π答案：A7．解析：棱长为2的正方体的外接球的直径2R＝4+4+4＝23，故半径R＝所以牟合方盖的体积为433π×43πR3＝4所以正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为23－163答案：C8．解析：设外接球球心为O，等边三角形ABC的外心为O1，等边三角形A1B1C1的外心为O2，O1，O，O2三点共线，则O1O2是正三棱台ABC­A1B1C1的高，设台体的高为h，设外接球的半径为R，过B作BD⊥B1O2，垂足为D，根据正棱台的性质可知BD∥O1O2，BD＝O1O2，设等边三角形ABC的外接圆半径为r1，由正弦定理得r1＝23设等边三角形A1B1C1的外接圆半径为r2，由正弦定理得r2＝62在直角三角形BB1D中，BD＝422−所以O1O2＝23+1当球心O在O1O2线段上，则R2−22+当球心O在O1O2的延长线上时，则R2−2所以正三棱台ABC­A1B1C1的外接球表面积为4π×42＝64π.答案：B9．解析：设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，故∠OAD＋∠ODA＝π2，∠DOA＝π2，OE⊥故R2＝r1r2＝3，解得R＝3，故圆台的高为2R＝23，母线长为r1＋r2＝4，圆台的表面积为π(12＋32)＋π(1＋3)×4＝26π，球O的表面积S＝4πR2＝12π.答案：ACD10．解析：如图，取棱AB的中点D，连接CD，PD，则正三棱锥P­ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.因为PD，CD⊂平面PCD，且PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD，则AB⊥PC，故A正确；作PH⊥平面ABC，垂足为H，则PH＝6.由正三棱锥的性质可知H在CD上，且CH＝2DH.因为AB＝3，所以CD＝332，则CH＝因为PH＝6，所以PC＝3+6＝3，则三棱锥P­ABC的表面积S＝34设三棱锥P­ABC的外接球的球心为O，半径为R，则O在PH上，连接OC，则R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝6−OH2，解得R2＝27则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为4πR2＝27π2设三棱锥P­ABC的内切球的半径为r，则VP­ABC＝13×解得r＝64，从而三棱锥P­ABC的内切球的表面积为4πr2＝3π答案：ABD11．解析：因为S＝πrl＝3πl＝23π，解得l＝2，即圆锥母线长为2，则高h＝1，设圆锥外接球半径为r2，如图，则在△AOO2中，由勾股定理得AO22＝AO2+OO22，即r22＝外接球表面积为S＝4πr2设内切球O1的半径为r1，O1D垂直于PA交于点D，如图，则在△PDO1中，PO12＝DO12＋PD2，即(1－r1)2＝r12过点P作平面α，截圆锥OP的截面面积最大时，如图，因为h<r，故恰好△PAC为等腰直角三角形时取到最大值，点C在圆锥底面上，S△PAC＝12设圆锥OP有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为O3，EO3＝r3，如图，则PO3＝33r当长方体上平面为正方形时，上平面面积最大，长方体体积为V＝12(2r3)2·1−33r3，V当r3∈0，23时，V′>0，当r3∈23故Vmax＝12432·1−答案：ACD12．解析：如图，将四面体ABCD补成直三棱柱ADE­BFC.因为异面直线BC和AD所成角的余弦值为22所以cos∠CBF＝±223，sin∠CBF＝当cos∠CBF＝22由余弦定理可得CF＝BC2由正弦定理可得底面外接圆(M为圆心)的直径2r＝CFsin而MO＝AB2＝1，所以球O的半径R＝MO所以球O的表面积S＝4πR2＝10π.当cos∠CBF＝－223时，CF＝同理可得球O的半径R＝1062，所以球O的表面积S＝4πR2答案：AC13．解析：设内切球的半径为r，圆台上、下底面圆半径分别为r1，r2，则圆台的高h＝2r＝22，如图为圆台的轴截面图形，可得母线长l＝r1＋r2，故S圆台＝πr1+r22+r1故V圆台＝13h·πr答案：14214．解析：若球O半径为r，则43πr3＝36π，可得r又外接球的球心O在正六棱锥的内部，如图所示，若H为底面中心，正六棱锥的侧棱长为a，底面边长为b，易知HA＝HD＝b，则体高PH＝a2−b2>3，且OH＝a2−b2－3，则OA2＝OH2＋HA2⇒r2＝a2−b2−3所以PH＝a26>3，即a由棱锥的体积V＝13令t＝a2>18，f(t)＝t2－t336⇒f′(t)＝t当18<t<24时f′(t)>0，f(t)递增；当t>24时f′(t)<0，f(t)递减；所以f(t)max＝f(24)＝242－24336＝192，故Vmax＝当且仅当a＝26，b＝22时等号成立，此时答案：16315．解析：设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且r<R，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr＋2R2＝0，∵r<R，∴r＝2−2R＝2−∴球A的体积为V＝43πr3＝4球B的表面积S1＝4πr2＝4π，圆柱的侧面积S2＝2πR·2R＝4πR2＝6+42∴圆柱的侧面积与球B的表面积之比为3+22答案：4π16．解析：由题意可将四面体ABCD放在一个长方体中，如图所示，设长宽高为a，b，c，则a2+设外接球的半径为R1，则R1＝a2在△ABC中，cos∠ABC＝55，则sin∠ABC＝2设△ABC的外接圆