2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（三十二） 双曲线

小测卷(三十二)双曲线1．解析：由双曲线x23−y29＝1，可得所以双曲线的渐近线的方程为y＝±bax＝±3x所以两渐近线y＝±3x的夹角为60°.答案：C2．解析：由题意，在双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a>0，由题意可知：F(c，0)，B(0，b)，Nc，b因为M是BF中点，则Mc2，且O，M，N三点共线，则OM∥ON，可得c2×b2a所以e＝ca答案：A3．解析：因为双曲线y2a2−x又双曲线的一条渐近线为3x＋7y＝0，所以－ab即7a＝3b，又下焦点到下顶点的距离为1，所以c－a＝1，结合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7，所以该双曲线的标准方程为y2答案：A4．解析：由图知c＝1，易知D(1，2)，代入双曲线方程得1a又a2＋b2＝1，联立求解得a2＝3−22b2＝22−2或a2答案：A5．解析：设双曲线E的下焦点为F2(0，－c)，可知c＝a2则|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，则|PF1|＋|PA|＝|PF2|＋|PA|＋2a≥|AF2|＋2a＝c2+16+2a＝当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立，由题意可得a2+24＋2a＝7，且因为f(a)＝a2+24＋2a在(0，＋∞)上单调递增，且f(所以方程a2+24＋2a＝7，且a>0，解得则c＝a2+8＝3，所以双曲线E的离心率为e＝答案：D6．解析：因为双曲线C：y2a2－x2＝1(a所以a2+1a＝52所以下焦点F0，−5，渐近线方程为y＝±2x设上焦点为F10，5，则PF由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为y＝2x，设P到y＝2x的距离为d，则PF与P到C的一条渐近线的距离之和为PF+d＝PF1因为PF1＋d的最小值为F10，5到渐近线y＝2x的距离所以PF+d＝PF1＋4＋d的最小值为4＋1＝5，即PF与P答案：D7．解析：根据题意，画出示意图，如图所示．因为BN∥NM，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为Q，连接OQ，根据题意，显然可得点O为线段AB的中点，所以OQ∥AM，设B(x1，y1)(x1<0，y1<0)，M(x2，y2)，Q(x0，y0)，x1≠x2.因为点B，M都在双曲线C上，则x12a即y1+y2x1所以kBM·kOQ＝b2a2，即kBM又因为AB⊥AM，则OB⊥OQ，即kOB·kOQ＝－1，所以y1x1所以kBM＝－b2y1a2x1.又ON2即ON＝－7OAcos∠AON＝7|y1|，故N(0，7y1)，所以kBN＝7y而kBM＝kBN，故－b2y1则双曲线C的渐近线方程为y＝±6x.答案：C8．解析：设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1＝QF2，∴∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝ca由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2<180°4＝45°，则cos∠PF1F2＝OF1QF1>cos45°，即c2a>22，即所以C的离心率的取值范围为2，2答案：A9．解析：由双曲线方程知b＝3，离心率e＝ca＝a2+3a＝2，解得a＝1，故C：x因为可求得双曲线渐近线方程为y＝±3x，故一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2答案：ABD10．解析：由题意，F1(－1，0)，F2(1，0)，设双曲线C的标准方程为x2a2−将点62，1代入得a2＝12，所以双曲线C得其离心率为e＝ca由A选项的分析知，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，如图，∠MON＝π4，所以π4<∠MOP<3π4，得2当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，|PF1|＋|PF2|＝22，PF1−PF2＝又|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝PF1设P(x0，y0)，则x02−所以|PM|＝x0当y0＝12时，答案：ACD11．解析：由题意可得M533，4，所以5332a所以双曲线方程为x2双曲线x23−y29＝1的渐近线方程为y＝±3x，双曲线y23－由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误；由题意得D−3，0，E3，0，设P(x0，y0所以kPD·kPE＝y0所以双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，所以D正确．答案：ABD12．解析：由题意，|F1F2|＝2c＝23，即c＝3，在双曲线C：x2a2−y∵F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，∴P，F2，Q三点共线，且|PF1|＝|PQ|，∵∠F1PF2＝π3，∴PF1＝|F1设|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.在△F1PF2中，根据勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，∴C的实轴长为2，∴A正确；又a＝1，c＝3，∴C的离心率为3，∴B不正确；△F1PF2的面积为12∵PQ⊥F1F2，∴P3，2∵∠F1PF2＝π3，易得∠F1PF2的平分线的倾斜角为π∴∠F1PF2的平分线所在直线的方程为y－2＝3x−3，即3x－答案：ACD13．解析：如图，取a＝1，b＝2，c＝3且AB⊥可得|AF2|＝|BF2|＝b2a＝2，|AF1|＝|BF1|＝2a＋|AF即|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝4，△ABF1为正三角形，符合题意，此时双曲线C的方程为x2－y2答案：x2－y214．解析：设以A1A2为直径的圆与直线PF2相切于点M，由双曲线方程知OA1＝OA2＝5，∵PF1⊥PF2，OM⊥PF2又O为F1F2的中点，∴PF1由双曲线定义知PF2−PF∴S△答案：2015．解析：因为双曲线的离心率为2，则c＝2a，因为过F1斜率为73，所以tan∠AF1F2＝73，则cos∠AF1F2＝在△AF1F2中，设|AF1|＝m，则|AF2|＝2a＋m，由(2a＋m)2＝m2＋4c2－2·m·2c·cos∠AF1F2，解得m＝〖6/5〗a，"则"〖|AF_2|＝165a在△BF1F2中，设|BF2|＝n，则|BF1|＝2a＋n，由n2＝(2a＋n)2＋4c2－2·(2a＋n)·2c·cos∠AF1F2，解得n＝4a，则|BF1|＝6a，则|AB|＝|BF1|－|AF1|＝245a在△AF2B中cos∠AF2B＝AF2答案：116．解析：双曲线的渐近线方程为：y＝±因为直线m平行双曲线C的一条渐近线，所以有－b2＝－1⇒b设过P点(m，n)且与双曲线相切的直线方程为y＝k(x－m)＋n，n＝－m－2，由y＝kx−m+n，b2x2−4y2＝4b2，可得b2x2－4[k2(x2－2mx＋m2即为(b2－4k2)x2＋(8k2m－8kn)x－4k2m2－4n2＋8kmn－4b2＝0，Δ＝64(k2m－kn)2＋4(b2－4k2)(4k2m2＋4n2－8kmn＋4b2)＝0，化简可得(b2m2－4b2)k2－2b2mnk＋b2n2＋b4＝0，即(m2－4)k2－2mnk＋n2＋b2＝0，两根设为k1，k2，k1k2＝n2即为(m＋2)2＋b2＝4－m2，即为m2＋4m＋4＋b2＝4－m2，2m2＋4m＋b2＝0看做关于m的方程，Δ＝16－8b2≥0，可得0≤b2≤2，而b>0，所以有0<b2≤2，所以双曲线的离心率e＝1+b24答案：21，17．解：(1)因为双曲线C与y2所以可设双曲线C的方程为x22−y24得22−24＝λ，得λ＝12，故双曲线C的方程为所以a＝1，b＝2，c＝3，故离心率e＝渐近线方程为y＝±2x.(2)联立直线AB与双曲线C的方程，得x整理得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝8m2＋8>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为x1由根与系数的关系得，x1＋x2＝2m，y1＋y2＝(x1＋m)＋(x2＋m)＝(x1＋x2)＋2m＝4m，所以AB的中点坐标为(m，2m)，又点(m，2m)在圆x2＋y2＝10上，所以m2＋4m2＝10，所以m＝±2.18．解：(1)由题意可知4a2−4b2＝1，所以