2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（十二） 导数与不等式问题

小测卷(十二)导数与不等式问题1．解：(1)函数f(x)＝xlnx−ax＝lnx－ax，定义域为(0，＋∞)，f①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②当a<0时，－a>0，x∈(0，－a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，－a)，单调递增区间为(－a，＋∞)．(2)由(1)知，当a＝－1时，f(x)＝lnx＋1x，且f(x)≥f所以xlnx＋1≥x，因为f(x)＝xlnx−ax，所以不等式xf(x)＋e－x>－a等价于xlnx令g(x)＝x＋e－x－1，则g′(x)＝1－e－x＝ex−1e所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，所以x＋e－x－1>0，又xlnx＋1≥x，所以xlnx＋e－x≥x－1＋e－x>0，故xlnx＋e－x>0，即xf(x)＋e－x>－a.2．解：(1)证明：若a＝1，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，故f(x)≥0.(2)不妨设0<x1<x2，所以fx1−fx2x12−x22所以函数f(x)－12x2在(0，＋∞令g(x)＝f(x)－12x2，g′(x)＝aex－x－1a≥0在(0，＋令h(x)＝g′(x)，h′(x)＝aex－1.当a<0时，h′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，又h−1当0<a<1时，令h′(x)>0，解得x>ln1a，令h′(x)<0，解得0<x<ln1所以h(x)在0，ln1a所以h(x)min＝hln1a＝1－ln1a−1a＝lna－1当a≥1时，∵h′(x)＝aex－1>e0－1＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝a－1a≥所以h(x)＝g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，综上所述，a的取值范围为[1，＋∞)．3．解：(1)将x＝－1代入切线方程(e－1)x＋ey＋e－1＝0，有y＝0，所以f(－1)＝0，所以f(－1)＝(－1＋b)1e又f′(x)＝(x＋b＋1)ex－a，所以f′(－1)＝be若a＝1e，则b＝2－e<0，与b>0矛盾，故a＝1，b所以f(x)＝(x＋1)(ex－1)，f(0)＝0，f(－1)＝0，设f(x)在(－1，0)处的切线方程为y＝h(x)＝1e−1(令F(x)＝f(x)－h(x)，即F(x)＝(x＋1)(ex－1)－1e−1(x＋1)，所以F′(x)＝(x＋2)ex－当x≤－2时，F′(x)＝(x＋2)ex－1e当x>－2时，设G(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－1e，G′(x)＝(x＋3)ex故函数F′(x)在(－2，＋∞)上单调递增，又F′(－1)＝0，所以当x∈(－2，－1)时，F′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，F′(x)>0，综合得函数F(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故F(x)≥F(－1)＝0，即函数y＝f(x)的图象总在切线l的上方(除切点外)．(2)由(1)知f(x1)≥h(x1)，设h(x)＝m的根为x′1，则x′1＝－1＋me1−e又函数h(x)单调递减，故h(x′1)＝f(x1)≥h(x1)，故x′1≤x1，设y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝t(x)，因为f(0)＝0，f′(x)＝(x＋2)ex－1，所以f′(0)＝1，所以t(x)＝x.令T(x)＝f(x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x，T′(x)＝(x＋2)ex－2，当x≤－2时，T′(x)＝(x＋2)ex－2≤－2<0，当x>－2时，设H(x)＝T′(x)＝(x＋2)ex－2，则H′(x)＝(x＋3)ex>0，故函数T′(x)在(－2，＋∞)上单调递增，又T′(0)＝0，所以当x∈(－2，0)时，T′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，T′(x)>0，综合得函数T(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以T(x)≥T(0)＝0，即f(x2)≥t(x2)．设t(x)＝m的根为x′2，则x′2＝m，又函数t(x)单调递增，故t(x′2)＝f(x2)≥t(x2)，故x′2≥x2，又x′1≤x1，所以x2－x1≤x′2－x′1＝m－−1+me1−e＝1＋4．解：(1)当m＝1时，f(x)＝2lnx－12x2＋1(x>0)，∴f′(x)＝2x−x＝令f′(x)＝0，得x＝2，当x∈0，2时，f′(x)>0，f(x当x∈2，+∞时，f′(x)<0，f(x所以f(x)在x＝2处取得唯一的极大值，即为最大值，所以f(x)max＝f2＝2ln2−12×2＋1＝ln2，所以f(x而ln2<lne＝1，所以f(x)<1.(2)令G(x)＝f(x)－(m－2)x＝2lnx－12mx2＋(2－m)x则G′(x)＝2x－mx＋(2－m)＝−当m≤0时，因为x>0，所以G′(x)>0，所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为G(1)＝－32m＋3>0.所以关于x的不等式G(x当m>0时，G′(x)＝－mx−令G′(x)＝0，得x＝2m，所以当x∈0，2m时，G′(x)>0；当x∈2m，+∞因此函数G(x)在0，2m上单调递增，在故函