2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-小测卷（四十） 排列与组合、二项式定理

小测卷(四十)排列与组合、二项式定理1．解析：x−1x4的二项展开式的第二项为T2＝T1＋1＝C41x4-1−1x1＝－C4答案：B2．解析：求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C6第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，故不同的取法共有C10答案：A3．解析：依题意，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－1＋1)3·(－1＋2)2＝0.答案：A4．解析：可看成有1、2、3、4四个位置，1只能排甲或乙，有2种排法，4只能排丙或丁，有2种排法，2、3可排剩下的两名同学，有A2根据分步乘法计数原理可知总共有2×2×2＝8种不同的排法．答案：C5．解析：sinθx−x+16的展开式中x4的系数可以看成：6个因式sinθx−x+1故x4的系数为C64－C65·sinθ＝12，∴sinθ＝12，∴cos2θ＝1－2sin答案：C6．解析：由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为P＝4×C答案：C7．解析：因为n＝C100+C101·8+也即n＝C100·故n除以7的余数为C1010·2又23除以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意．答案：A8．解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A2其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有A2满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有A2满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有A2因此满足题意的方法共有1440－2×240＋48＝1008(种)．答案：C9．解析：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色．故问题转化为如图A，B，C，D，E五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题．分为以下两类情况：第一类：A，C，D三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂A，C，D区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有A5第二步涂B区域，由于A，C颜色不同，有3种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步乘法计数原理，则共有3×3A第二类：A，C，D三个区域涂两种不同的颜色，由于C，D不能涂同一色，则A，C涂一色，或A，D涂同一色，两种情况方法数相同．若A，C涂一色，第一步涂A，C，D区域，A，C可看成同一区域，且A，D区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有A5第二步涂B区域，由于A，C颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步乘法计数原理，则共有4×3A若A，D涂一色，与A，C涂一色的方法数相同，则共有2×240＝480种方法．由分类加法计数原理可知，不同的涂色方法共有540＋480＝1020种．答案：D10．解析：根据题意令x＝1，得1−2x3x−a5的展开式中各项系数和为－(1－a(1－2x3)x−a5＝(1－2x3)·x−25，又x−25的展开式的通项为Tk＋1＝−2kC含x4的项为－2x3·−23C53x展开式中无理项的系数之和为(1－2)[−20C50＋答案：BC11．解析：由Cnm＋Cnm−1＝Cn+1m可知，C33＋C43＋C53＋…若n>m，则Cnmm+1∵n−1Ann＝n−1n！＝1n−1！−故x＝A9090×∵A90902故x＝A90902∵(1＋x)n的展开式通项为Tr＋1＝Cnr×1n－r×xr＝Cnr·x∴(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋…＋故(x＋1)n(x＋1)n展开式的xn的系数为Cn0Cnn＋Cn1Cnn−1＋…＋CnnCn0，又∵Cnm＝Cnn−m，则C同理可得：(1＋x)2n的展开式通项为Tr＋1＝C2nr×12n－r×xr＝C2nr·xr，r＝0，1，2，…，2n，即展开式的x由于(x＋1)n(x＋1)n＝(1＋x)2n，故Cn02＋Cn12＋Cn22＋…＋C答案：ABD12．解析：对于A中，在“杨辉三角”中，第9行第7个数是C96＝84，所以对于B中，当n＝12时，S＝1＋2＋…＋12＝12×132对于C中，用数学符号语言可表示为：Cn02＋Cn12＋…＋C证明如下：(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n＝(Cn0)＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋C_(n)^(n)x^n)·(对应相乘，恰好得到xn这一项的系数为Cn02＋Cn12＋…而C2nn是二项式(1＋x)2n的展开式中第n＋1项的二项式系数(即x故Cn02＋Cn12＋Cn22＋…＋C对于D中，第n行的第i个数为ai＝Cni−1，所以i＝1n+12i−1ai＝20a1＋21a2＋22即i＝1n+12i−1ai＝Cn0·20＋Cn1·21＋Cn2·22答案：AC13．解析：由题设，二项式展开式通项为Tr＋1＝Cnrxn－r23x要使展开式有常数项，只需存在n，r∈N*，且n≥r，n＝4r3所以3n＝4r，故n＝4，r＝3符合要求．答案：4(答案不唯一)14．解析：由讲座海报可知，先选择参加绘画讲座的方案有2种，再选择一天参加雕塑讲座，有2种方案，最后再在剩下的2天里选择一天参加工艺讲座，有2种，所以一共有2×2×2＝8种选择方案．答案：815．解析：不妨设f(x)＝(x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，令x＝0得f(0)＝a0＝(0－1)4＝1，令x＝－1得f(－1)＝a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1－1)4＝16，所以a4－a3＋a2－a1＝15.答案：1516．解析：二项式(x＋1)4展开式的通项为C4rx所以(ax－2)(x＋1)4的展开式通项为C4r1x4−所以令5−r1所以展开式中x3的系数为a·C42解得a＝1.答案：117．解：(1)选择条件①：展开式中倒数第3项的二项式系数为Cn而Cnn−2＝Cn2＝nn−1选择条件②：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式中有7项，所以n＝6.选择条件③：展开式中各项的二项式系数和为2n，各项的系数和为(－1)n，所以2n－(－1)n＝63，因为n∈N*，所以n＝6.(2)x−2x6展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6−k−2x由6－3k2所以展开式中含x3的项为T2＋1＝−22C62x(3)由(1)知，n＝6，所以i＝0na2i＝i＝06a2i＝a0＋a因为x−2x12展开式各项的系数与(1－2x)所以令f(x)＝(1－2x)12，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝f(1)＝1，a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝f(－1)＝312，所以a0＋a2＋a4＋…＋a12＝f1即i＝0n18．解：(1)若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有A2故甲、乙下地铁的方案共有24种．(2)若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有C3第二类，甲、乙两