2024-2025学年湖南省株洲市第十三中学高三下学期3月模拟考试数学试题

2024-2025学年湖南省株洲市第十三中学高三下学期3月模拟考试数学试题

一、单选题(★★)1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．(★★)2.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A．B．C．D．(★★)3.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★)4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知等差数列的公差不为0，前项和为，若，则（）

A．B．数列最小项是C．的最小值是D．当时，(★★★)6.甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知点为椭圆上一点，分别为的左，右焦点.若半径为的圆与的延长线切于点，与的延长线切于点以及与线段切于点.若，则的离心率为（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知函数，则下列说法正确的是（）

A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称(★★★)10.如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（）

A．B．，，三线不共点C．与平面所成角为D．设，则多面体的体积为1(★★★★)11.在如图所示的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个或的矩形方格图完全覆盖（）

A．①B．②C．③D．④三、填空题(★★★)12.已知满足，则__________.(★★★)13.已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则________．(★★★)14.从中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为__________.（用数字作答）四、解答题(★★★)15.已知，，，分别是角，，的对边，的面积．(1)证明：；(2)若为的平分线，交于点，且，，求的长．(★★★)16.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程.(★★★)17.如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.(1)证明：平面.(2)若，直线与平面所成角的正弦值为.①求四棱柱的体积；②求平面与平面的夹角的余弦值.(★★★★)18.已知函数(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；(2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围；(3)若函数存在极大值，记作，求证：.（参考结论：当时，.这里表示从0的右边逼近表示从0的左边逼近0.）(★★★★)19.材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001(2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得