第37讲　平面与平面垂直的判定与性质【教研派资料社】

第37讲平面与平面垂直的判定与性质第七章立体几何202X/01/01汇报人：链教材夯基固本01单击此处添加章节副标题1.(人A必二P162T2改)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是 (

)A.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD.若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．D2.(人A必二P158例8改)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有 (

)A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD.因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.B3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则

(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D【解析】如图，对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD.又BB1⊥EF，从而EF⊥平面BDD1.又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．对于B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，显然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误．对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误．对于D，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D.又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，则平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误．【答案】A【解析】1.二面角(1)从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(2)二面角的平面角α的范围：_________；平面与平面的夹角的取值范围：_____．两个半平面垂直于棱[0，π]2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直________⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直__________⇒l⊥α研题型素养养成02单击此处添加章节副标题目标1面面垂直的判定定理与性质定理的应用1－1(1)求证：EF∥平面ADO；【解答】(2)求证：平面ADO⊥平面BEF.【解答】 (2024·深圳一调节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°.求证：BD⊥平面ACM.1－2【解答】(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用：①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．变式1

【解答】目标2综合法计算二面角视角1定义法 (2025·连云港期中)在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是等腰直角三角形，DA＝DC，平面ACD⊥平面ABC，点E在棱BD上，使得四面体ACDE与四面体ABCD的体积之比为1∶2，则二面角D-AC-E的余弦值为_____．【解析】2－1视角2三垂线法

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，侧面AA1C1C为菱形，∠CAA1＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1.(1)求证：AC1⊥平面CA1B1；【解答】由菱形AA1C1C可得AC1⊥A1C，因为平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1＝AA1，又正方形ABB1A1中A1B1⊥AA1，所以A1B1⊥平面AA1C1C.又AC1⊂平面AA1C1C，所以A1B1⊥AC1.因为A1B1∩A1C＝A1，A1B1，A1C⊂平面CA1B1，所以AC1⊥平面CA1B1.2－2如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，侧面AA1C1C为菱形，∠CAA1＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1.(2)求二面角C-BB1-A的余弦值．【解答】结合三垂线定理计算二面角的方法：已知二面角α-c-β，如图，在平面α内找一合适的点A，作AO⊥β于点O，过A作AB⊥c(c是公共棱)于点B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，∠ABO为二面角α-c-β的平面角．视角3投影法

已知直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为_____．【解析】2－31.(2025·佛山禅城一调)(多选)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分条件是 (

)A.α⊥γ，β⊥γ B.α∥γ，β⊥γC.α∩β＝b，a⊥b，a⊂α D.a∥b，b⊥β，a⊂α【解析】对于A，α⊥γ，β⊥γ，α，β也可能平行，故错误；对于B，若α∥γ，β⊥γ，则α⊥β，故正确；对于C，α∩β＝b，a⊥b，a⊂α，由线面垂直的判定定理可知a不一定垂直于β，故α，β也不一定垂直，故错误；对于D，由a∥b，b⊥β，可得a⊥β，再由a⊂α，可证α⊥β，故正确．BD2.(2024·聊城二模)(多选)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是 (

)A.“AB＝PB”与“PB＝BD”B.“PA⊥PC”与“PB⊥PD”C.“PB⊥CD”与“PC⊥AB”D.“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”对于A，由底面ABCD是正方形，则AB≠DB，所以当AB＝PB时，PB＝BD不成立，故A错误；对于B，如图，设底面正方形中心为O，则P在以O为球心，以OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，CD⊥平面PBC，显然符合题意，故C正确；对于D，由于两相交平面同时垂直于第三个平面时交线垂直于第三个平面，若“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，易知P∈平面PAB∩平面PCD，可设平面PAB∩平面PCD＝l，则P∈l，则l⊥平面PBD，易知AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，则l∥AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成立，故D错误．【答案】BC【解析】3.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E.又SA＝AB，SB＝BC，则二面角E-BD-C的大小为_______．【解析】【答案】60°【解析】如图，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM.因为平面ABC∥平面DME，所以即求平面ADE与平面DME所成锐二面角的大小．因为M，E在底面的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，所以EM为上底面圆的直径．因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME，AM⊥DE.又因为EM为上底面圆的直径，所以MD⊥DE，又AM∩MD＝M，AM，MD⊂平面ADM，所以DE⊥平面ADM，所以DE⊥AD，而平面ADE∩平面DME＝DE，所以∠MDA为平面ADE与平面DME所成的二面角的平面角．配套精练03单击此处添加章节副标题A组夯基精练一、

单项选择题1.(2024·宁波二模)已知三个不重合的平面α，β，γ，若α∩β＝l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的 (

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】由于α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β.若l⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故充分性成立．若α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，则存在直线a⊂γ，使得a⊥m，所以a⊥α.由于l⊂α，故a⊥l.同理存在直线b⊂γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于l⊂β，故b⊥l.由于a，b不平行，所以a，b是平面γ内两条相交直线，所以l⊥γ，故必要性成立．C2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为

(

)【解析】【答案】D3.(2024·娄底一模)已知四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则 (

)A.BE∥平面PAD

B.PD⊥平面ABCDC.平面PAB⊥平面PAD

D.DE＝EB【解析】对于A，易知BC∥平面PAD，因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行于平面PAD，故A错误．对于B，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥AD，由题设条件知不一定成立，故B错误．对于C，因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.由以上分析知AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确．对于D，没有任何条件可以证明DE＝EB，故D错误．【答案】C4.(2024·淮安、连云港期末)图(1)是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图(2)是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥，如图(3)，若平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则cos∠ASB＝ (

)【解析】【答案】C二、

多项选择题5.(2024·苏锡常镇二调)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的有 (

)A.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若α∥β，m⊂α，n⊥β，则m⊥n D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【解析】对于A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，不能推出m⊥β或n⊥α，则不能推出α⊥β，故A错误；对于B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若α∥β，n⊥β，则n⊥α，又m⊂α，所以m⊥n，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则α⊥β，故D正确．BCD6.(2024·吕梁二模)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为A1C1与B1D1的交点，则下列条件中能成为“AC1＝A1C”的必要条件有(

)A.四边形ACC1A1是矩形B.平面ABB1A1⊥平面ACC1A1C.平面BDD1B1⊥平面ABCDD.直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等【解析】要成为“AC1＝A1C”的必要条件，则该条件可由“AC1＝A1C”推出．对于A，因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形．又AC1＝A1C，所以四边形ACC1A1为矩形，故A正确．对于B，假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，由选项A可知四边形ACC1A1为矩形，则AC⊥AA1.又平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以AC⊥平面ABB1A1.因为AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB，与四边形ABCD为正方形矛盾，故B错误．对于C，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC⊥AA1，AA1∥BB1，所以AC⊥BB1，又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.又AC⊂平面ABCD，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，故C正确．对于D，因为四边形ACC1A1为矩形，O为A1C1的中点，易得OA＝OC，又正方形ABCD中，AD＝CD，OD是公共边，所以△OAD≌△OCD，则∠OAD＝∠OCD.又BC∥AD，AB∥CD，所以∠OAD，∠OCD分别为直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角(或其补角)，则直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等，故D正确．【答案】ACD【解析】【答案】AC【解析】【答案】60°四、

解答题9.在四棱锥E-ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD.(1)若点F在线段BC上，试确定F的位置，使平面DEF⊥平面ABCD，并给出证明；【解答】9.在四棱锥E-ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD.【解答】10.(2025·锦州期中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB＝AC，A1B＝A1C.(1)求证：AA1⊥平面ABC；【解答】如图(1)，取BC的中点M，连接MA