第55讲　离散型随机变量及其概率分布、期望与方差【教研派资料社】

第十章第55讲离散型随机变量及其概率分布、期望与方差计数原理、概率及其分布链教材夯基固本01单击此处添加章节副标题1.(人A选必三P70练习T2)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝____．【解析】因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.02.(人A选必三P66练习T1)已知随机变量X的分布列为【解析】E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4.X12345P0.10.30.40.10.1则E(X)＝______，E(3X＋2)＝_______．2.810.43.(人A选必三P70练习T1)已知随机变量X的分布列为【解析】则D(X)＝_______，σ(2X＋7)＝_____．X1234P0.20.30.40.10.844.(人A选必三P71练习T3)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝______，b＝______．【解析】0.60.25.(人A选必三P71练习T2)现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是______．【解析】所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1000×0.0005＝2，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．【答案】2元X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.00051.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi_____0(i＝1，2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝____．≥12.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn平均水平x1p1＋x2p2＋…＋xnpn3.均值与方差的性质(1)E(X1＋X2)＝_______________；(2)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝_______________；(3)E(aX＋b)＝___________(a，b为常数)；(4)D(aX＋b)＝_________(a，b为常数)；(5)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.标准差偏离程度E(X1)＋E(X2)E(X1)·E(X2)aE(X)＋ba2D(X)研题型素养养成02单击此处添加章节副标题目标1离散型随机变量的分布列的性质(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为1【解析】X01P9a2－a3－8aA(2)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：【解析】C离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”求相关参数．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．【解析】变式1

【解析】(2)设随机变量X的分布列为目标2离散型随机变量的分布列及数字特征2－1(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；【解答】(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望及方差．【解答】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤：(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).2－2【解析】【答案】ABD【解析】【答案】AC目标3期望与方差的决策应用(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p(0＜p＜1).(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求分别采取这两个策略时小明得分的期望；3【解答】(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p(0＜p＜1).【解答】1.决策问题一般有三种途径：(1)利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定．(2)利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好．(3)利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近．2.在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差).1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝ (

)A.－0.2 B.0.4

C.0.2 D.0【解析】依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4.Bξ0123P0.1mn0.12.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

则下列计算结果正确的是 (

)A.a＝0.2 B.P(X≥2)＝0.7 C.E(X)＝1.4 D.D(X)＝6.3【解析】因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．X0123P0.20.30.4aC3.若p为非负实数，随机变量X的分布列如下表，则D(X)的最大值是____．【解析】14.将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用ξ表示2名科学家之间的航天员人数，则E(ξ)＝____，D(ξ)＝____．【解析】11配套精练03单击此处添加章节副标题【解析】A【解析】B【解析】【答案】B【解析】【答案】D【解析】AC【解析】【答案】BCD三、

填空题7.已知随机变量X的分布列如下：

若E(X)＝1.2，则p＝______；当p＝______时，D(X)最大．【解析】由E(X)＝1.2，得0×p＋1×0.6＋2×(0.4－p)＝1.2，解得p＝0.1.依题意，E(X)＝1.4－2p，E(X2)＝02×p＋12×0.6＋22×(0.4－p)＝2.2－4p，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝2.2－4p－(1.4－2p)2＝－4(p－0.2)2＋0.4，则当p＝0.2时，D(X)取得最大值．X012Pp0.6

0.10.28．(2024·邯郸三调)从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)＝____．【解析】89.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率p＝0.3，用随机变量X表示他一次射门的命中次数，则D(X)＝_______．【解析】由题知，一次射门命中次数为0或1，P(X＝0)＝1－0.3＝0.7，P(X＝1)＝0.3，因此E(X)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，E(X2)＝0×0.7＋12×0.3＝0.3，D(X)＝E(X2)－E2(X)＝0.3－0.32＝0.21.0.21四、

解答题10.(2024·淮安、连云港期末)某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作．(1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；【解答】10.(2024·淮安、连云港期末)某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球放入罐中，如此反复操作．(2)记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【解答】11.(2024·张家口一模)某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．【解答】11.(2024·张家口一模)某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球