第4章 三角恒等变换 1.1基本关系式 1.2由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3综合应用 北师大版高中数学必修第二册课件

第四章1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握同角三角函数的基本关系.2.能利用同角三角函数的基本关系进行求值、化简与证明.基础落实·必备知识一遍过知识点

三角函数的基本关系

如图,任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cosα,sinα),点P到坐标原点O的距离为1,所以sin2α+cos2α=

.

角α是任意的

1另外,由正切函数的定义,有tanα=

,这两个关系式是同角三角函数的基本关系式.

其中α≠kπ+(k∈Z)名师点睛1.“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.2.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.3.sin2α与sin

α2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sin

α的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的.4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)sin

α=cos

αtan

α;(4)cos

α=(5)(sin

α±cos

α)2=1±2sin

αcos

α.思考辨析1.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sinα,x=cosα,=tanα.能否根据x,y的关系得到sinα,cosα,tanα的关系?提示

可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1.2.式子sin22023+cos22023=1正确吗?提示

在等式sin

2x+cos

2x=1中x∈R,所以sin22

023+cos22

023=1正确.自主诊断判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin2α+cos2β=1.(

)×√×××√×重难探究·能力素养速提升探究点一简单的三角函数求值问题【例1】

(1)若sinα=-,且α是第三象限角,求cosα,tanα的值;(2)若cosα=,求tanα的值;规律方法

1.(1)已知sin

θ,求cos

θ,tan

θ,常用以下方式求解:(2)已知cos

θ,求sin

θ,tan

θ,常用以下方式求解:(3)已知tan

θ,求sin

θ,cos

θ,常用以下方法求解:2.(1)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能位于的象限,再分类求解;(2)利用平方关系时,应根据角θ的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号.BC探究点二

关于sin

α,cos

α的齐次式的求值

规律方法

1.若待求分式的分子、分母都是含有sin

α,cos

α的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cos

α的若干次方,将其转化为关于tan

α的表达式,比如:2.若一个式子是关于sin

α与cos

α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.比如:asin2α+bsin

αcos

α+ccos2α变式训练2已知2cos2α-3sinαcosα=,求tanα.探究点三

利用sin

θ±cos

θ与sin

θcos

θ间的关系求值

【例3】

[2024江苏无锡高一期末](1)已知tanα是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实根,且α是第一象限角,求3sin2α-sinαcosα+2cos2α的值.规律方法

1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sin

θ±cos

θ)2=1±2sin

θcos

θ,因此sin

θ+cos

θ,sin

θ-cos

θ,sin

θcos

θ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.2.在求解sin

α±cos

α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin

α±cos

α的正负,判定的方法有:(1)根据sin

αcos

α的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断.变式训练3[2024上海普陀高二期中]已知sinα和cosα是关于x方程2x2+4kx+3k=0的两个实根.(1)求实数k的值;(2)若α∈(0,π),求cosα-sinα的值.探究点四三角函数的化简与求值规律方法

1.三角函数式的化简方法三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;(4)能求得数值的应计算出来.注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形.2.(1)化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究点五证明三角恒等式规律方法

三角恒等式的证明方法证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子,通过巧妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了达到这个目的,我们经常采用以下的策略和方法:(1)从一边开始,证明它等于另一边;(2)证明左右两边都等于同一个式子;(3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.本节要点归纳1.知识清单:(1)同角三角函数的基本关系式;(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明;(3)sin

α±cos

α型求值问题;(4)齐次式问题.2.方法归纳:转化法(化切求值)、整体代换法.3.常见误区:求值时注意α的范围,如果无法确定,一定要对α所在的象限进行