第2章 平面向量及其应用 6.1第2课时 正弦定理 北师大版高中数学必修第二册课件

第二章第2课时正弦定理基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握正弦定理及其变形.2.了解正弦定理的证明方法.3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.基础落实·必备知识一遍过知识点一

正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即名师点睛对正弦定理的理解(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式.(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.思考辨析在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系?sinA与sinB呢?提示

根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sin

A>sin

B.自主诊断[人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+,解这个三角形.解

由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°.由正弦定理,得知识点二

正弦定理的拓展1.正弦定理与三角形外接圆的关系以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则利用此等式可进行边角转化

2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)变式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.变式3:asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.变式4:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.名师点睛

思考辨析正弦定理主要解决哪几类三角形问题?提示

(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).自主诊断在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.知识点三

三角形解的个数1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象类型A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解名师点睛在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:思考辨析已知三角形的两边及其中一边的对角,一定有解吗?如果不一定,可能有几个解?提示

不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.自主诊断不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解(1)因为A=120°为钝角,a=5>b=4,所以三角形有一解.(2)因为A=150°为钝角,a=7<b=14,所以三角形无解.(3)因为a=60°为锐角,a=9,b=10,bsin

A=10×,所以b>a>bsin

A,所以三角形有两解.重难探究·能力素养速提升探究点一已知两角和一边解三角形解

因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.规律方法

已知两角及一边解三角形的方法(1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.探究点二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】

在△ABC中,已知下列条件,解三角形:变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.规律方法

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一的锐角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.变式训练2已知下列两组三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,若有,解三角形.(1)a=10,b=20,A=80°;(2)a=2,b=6,A=30°.

∵A=30°,a<b,∴30°<B<150°,∴B=60°或B=120°,∴本题有两解.探究点三判断三角形的形状【例3】

(1)在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为(

)A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.等腰三角形C解析

因为sin2A+2sin2B=sin2C,所以由正弦定理得a2+2b2=c2,则a2+b2-c2=-b2<0,故cos

C<0,且C∈(0,π),所以C为钝角,△ABC为钝角三角形.故选C.(2)在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.规律方法

判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:(1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C(R为△ABC外接圆的半径);②(2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有:变式训练3在△ABC中,已知3b=2asinB,且cosB=cosC,角A是锐角,则△ABC的形状是(

)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形D又角A是锐角,所以A=60°.又cos

B=cos

C,且B,C都为三角形的内角,所以B=C.故△ABC为等边三角形,故选D.探究点四不解三角形判断三角形解的个数【例4】

满足条件a=4,b=3,A=45°的三角形有(

)A.1个

B.2个C.无数个 D.0个B规律方法

已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:(1)当A为锐角时,①a<bsin

A,无解;②a=bsin

A,一个解;③bsin

A<a<b,两个解;④a≥b,一个解.(2)当A为直角或钝角时,①a>b,一个解;②a≤b,无解.求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.变式训练4在△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(

)D解析

由B=45°,a=1,三角形有一解,则b=asin

B=sin

45°=,或b≥a=1,故选D.本节要点归纳1.知识清单:(1)正弦定理;(2)正弦定理的变形推论及边角转化;(3)利用正弦定理解三角形.2.方法归纳:化归转化、数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.(2)易忽视三角形中角的隐含条件限制.学以致用·随堂检测促达标12345B123452.在△ABC中,b=4,