《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计

《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计教材分析：这是高三第一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够熟练运用正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。本章内容与三角函数，向量联系密切。作为复习课一方面将本章知识作为一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。学情分析：学生通过必修5的学习，对正弦定理，余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。教学目标知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，余弦定理的内容及其证明方法；会运用正，余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题；（2）学生能够熟练运用正弦定理，余弦定理等知识和方法测量一些不可到达的物体的高度或距离；解决一些有关计算角度，航行，工件的计算等实际问题；（3）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。能力目标：培养学生提出问题，正确分析问题，独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。情感目标：通过三角函数，正余弦定理，向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。教学方法：引导发现法，讲授法，讲练结合，变式训练法重点难点：（1）正余弦定理的探索和证明及其基本应用（2）正余弦定理与三角形的有关性质和综合运用（3）正余弦定理与向量，不等式等其他知识的综合运用教学资源：多媒体课件，实物投影仪教学过程复习回顾，知识梳理1．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(5)△ABC的面积公式有：①S＝eq\f(1,2)a·h(h表示a边上的高)；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)；③S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．(6)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.4.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角课堂典例讲练[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)已知△ABC中，a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，则角A等于()A．150° B．90°C．60° D．30°解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(4sin30°,sin45°)＝2eq\r(2).(2)根据正弦定理得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，∴sinA＝eq\f(1,2)，∵a<b，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.[例2]在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝eq\r(21)，b＝4，且BC边上的高AD＝2eq\r(3).则(1)角C＝________；(2)a＝________.解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，则D在线段BC上，sinC＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，则C＝60°.又由余弦定理可知(eq\r(21))2＝42＋a2－2·4·a·eq\f(1,2)，即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，a[例3]根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC形状为________．解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB⇒a·(eq\f(b2＋c2－a2,2bc))＝b·(eq\f(a2＋c2－b2,2ac))⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．[例4]已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanB·tanC，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),4) B．3eq\r(3)C.eq\f(3\r(3),4) D.eq\f(3,4)解析：∵tanB＋tanC＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanB·tanC，∴tanB＋tanC＝－eq\r(3)(1－tanB·tanC)⇒eq\f(tanB＋tanC,1－tanB·tanC)＝－eq\r(3)⇒tan(B＋C)＝－eq\r(3)，∴B＋C＝120°，∴A＝60°，将A＝60°，a＝4，b＋c＝5代入a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝25－2bc－2bc·eq\f(1,2)，∴bc＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4)，故选C.（三）变式训练1.在△ABC中，(1)若A＝105°，B＝30°，c＝6，则b＝________.(2)若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC解的情况为()A．一解 B．两解C．无解 D．无法判定2.(1)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)(2)△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝(A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)3.(1)若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是()A．直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形(2)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形4.（1)在△ABC中，已知A＝60°，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝1，则△ABC面积为________．(2)若△ABC的周长等于20，面积是10eq\r(3)，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．课时小节(1)已知两角和一