结构力学（下册）课件 第14章 结构的极限荷载

结构的极限荷载西南交通大学土木学院刘怡结构的极限荷载§14-1概述§14-2极限弯矩和塑性铰§14-3单跨超静定梁的极限荷载§14-4比例加载时有关极限荷载的几个定理§14-7刚架的极限荷载§14-5计算极限荷载的穷举法和试算法§14-6连续梁的极限荷载一弹性分析方法

把结构当作理想弹性体，在计算中假设应力与应变为线性关系，荷载全部卸除后结构没有残余变形。用许用应力法计算结构的强度。

其强度条件为§14-1概述σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；σu—材料的极限应力；k—安全系数。脆性材料塑性材料普通钢筋拉伸曲线

弹性设计的缺点：

对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当某个截面的最大应力达到屈服极限，甚至某一局部达到塑性阶段时当σmax=[σ]，结构并没有破坏，也就是说，并没有耗尽所有的承载能力。弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构这一部分的承载能力，弹性设计法不能正确地反映整个结构的安全储备，因此弹性设计是不够经济合理的。二塑性分析方法按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载；K—安全系数。理想弹塑性材料假设

(a)线性强化模型(b)刚塑性模型(c)理想弹塑性模型各类简化曲线模型结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。OA段：材料是理想弹性的，应力与应变成正比。AB段：材料是理想塑性的，应力不变，应变可以任意增长。CD段：应力减为零时，有残余应变OD。适用材料：钢结构

钢筋混凝土结构加载方式：结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加——比例加载。

一、极限弯矩的概念截面——矩形截面

受力情况——纯弯曲

材料模型——理想弹塑性材料

假定——符合平面假定弹性阶段——弹塑性阶段——塑性阶段hMMb§14-2极限弯矩和塑性铰9σσ（b）1)弹性阶段

hbyz（a）σsσs（b）图（b）表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的标志是最外纤维处的应力达到屈服极限，此时的弯矩：

10σσ（b）hbyz（a）σsσs（b）σsσs（c）y02)弹塑性阶段图（c）表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠外部分形成塑性区，其应力为。在弹性区，应力按直线分布.11σσ（b）hbyz（a）σsσs（b）σsσs（c）σsσs（d）y0

3)塑性阶段二

塑性铰的概念和特征

当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以发生相对转动，这样的截面称为塑性铰。MuMuFPCFPCCFu塑性铰的形成过程塑性铰只能沿着弯矩增大方向发生相对转动，如果沿相反方向变形，截面立即恢复其弹性刚度，因此塑性铰是单向铰。13S1、S2

分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。截面轴力为零极限状态时中性轴平分截面面积即等分截面轴。极限弯矩和截面形状系数的计算

WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。σσ（b）hbyz（a）σsσs（b）σsσs（c）σsσs（d）y0

即当截面为bh的矩形时故弹性截面系数为屈服弯矩为对矩形截面梁来说，按塑性计算比按弹性计算截面的承载能力提高50%。截面形状系数

16共同点弹性阶段——弹塑性阶段——塑性流动阶段不同点1）矩形截面梁：梁处于不同阶段时的中性轴位置不变，均通过截面形心；2）只有一个对称轴的截面（如T字型），随着梁工作阶段的改变，其中性轴位置也随之发生移动，

中性轴通过截面形心——中性轴平分截面面积。极限弯矩小结：17四破坏机构和极限荷载破坏机构——当结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或者瞬变体系极限状态——破坏机构形成的瞬时所对应的变形状态极限荷载Fu——结构已变为机构、位移可以任意增大、承载力无法再增大时结构所承受的荷载。计算方法——根据塑性铰截面的弯矩等于极限弯矩值Mu的条件，利用平衡方程求得。静定结构出现一个塑性铰即成为破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现在|M|max处。

图a所示等截面简支梁，跨中截面弯矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯矩Mu。

由平衡条件作M图如c。由求得极限荷载为(a)(c)

外伸梁的极限荷载——极限弯矩平衡法

又称为静力法

(b)

外伸梁的极限荷载——破环机构法又称机动法

机构1的虚位移方程：机构2的虚位移方程

解方程得解方程得

取较小的荷载作为极限荷载(a)机构一(b)机构二(c)M图求静定梁极限荷载的方法小结极限弯矩平衡法（静力法）塑性铰的截面弯矩等于极限弯矩，列平衡方程破坏机构法（机动法）将有可能成为塑性铰截面，假定为塑性铰，列虚位移方程超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能使其成为破坏机构。图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。§14-3单跨超静定梁的极限荷载荷载增大到一定值时，A先出现塑性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静定的问题。此时梁未破坏，承载能力未达到极限。荷载继续增大，跨中截面C的弯矩达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d，此时梁成为几何可变的机构，达到极限状态。按平衡条件作出此时的弯矩图，如图e所示。由图可得得极限荷载静力法求超静定梁极限荷载（1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩；（2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。机动法求极限荷载—超静定梁（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d；（2）由虚功方程求极限荷载得极限荷载由变形体的虚功原理【例】试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及最大正弯矩C截面。静力法：作极限状态弯矩图如图b。由平衡条件有得极限荷载机动法：作出机构的虚位移图如图c。得极限荷载§14-4比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。结构处于极限状态时应同时满足：（1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。（2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤Mu。（3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F+表示。（不一定满足内力局限条件）可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F-表示。（不一定满足机构条件）1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限荷载。28二、定理及其证明1）基本定理：

+FP

294）唯一性定理:Fu

的值是唯一确定的。证明：设存在Fu1，Fu2，将Fu1视为F+

，Fu2视为F－

则有：Fu1≥

Fu2，将Fu2

视为F+

，FPu1视为F－

则有：Fu2≥

Fu1，∴Fu2=

Fu1证明：因为极限荷载是可破坏荷载，所以由基本定理它大于可接受荷载。

Fu≥F－3）极大定理：可接受荷载是极限荷载的下限。或者说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。证明：因为极限荷载是可接受荷载，所以由基本定理它小于可破坏荷载。Fu

≤F+2）极小定理：可破坏荷载是极限荷载的上限。或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。定理的应用穷举法或机构法列出所有可能的破坏机构，求出所对应的可破坏荷载，其中最小的即极限荷载。试算法选一破坏机构，作出弯矩图检查各截面弯矩是否大于其极限弯矩，即检查是否满足内力局限条件。若满足，所得可破坏荷载即极限荷载；若不满足，则另选一破坏机构继续计算。§14-5计算极限荷载的穷举法和试算法1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构，求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。2、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图，若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载；如不满足，则另选一机构再试算……，直至满足。例

试求图a所示变截面梁的极限荷载。解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏机构。除最大负弯矩和最大正弯矩所在的A、C截面外，截面突变处D右侧也可能出现塑性铰。1、穷举法机构1：设A、D处出现塑性铰得机构2：设A、C处出现塑性铰得机构3：设D、C处出现塑性铰得极限荷载为2、试算法作弯矩图如图e。选择机构1：求得相应的荷载截面C的弯矩超过了Mu。此机构不是极限状态。选择机构2：求得相应的荷载作弯矩图如图f。所有截面的弯矩均未超过Mu。此时的荷载为可接受荷载，极限荷载为图a所示连续梁只可能出现某一跨单独破坏的机构如图b、c、d。也可能由相邻各跨联合形成破坏机构如图e。§14-6连续梁的极限荷载图e中至少有一跨在中部出现负弯矩的塑性铰，这是不可能出现的。连续梁的极限荷载计算：只需计算各跨单独破坏时的荷载，取其最小者即为极限荷载。例

试求图a所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的，其极限弯矩如图所示。解：第1跨机构如图b。第2跨机构如图c。第3跨机构如图d。比较以上结果，按极小定理，第3跨首先破坏。极限荷载为刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。图a所示刚架，各杆分别为等截面杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可能在A、B、C（下侧）、E（下侧）、D五个截面出现。此刚架为3次超静定，只要出现4个塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成为破坏机构。可能的机构形式有机构1（图b）：横