【课件】与三角形的高、角平分线有关的四种模型+课件+2025-2026学年人教版(2024)+数学八年级上册+

专项素养综合全练(一)与三角形的高、角平分线有关的四种模型模型一过同一顶点的角平分线与高线模型1.(2024河北石家庄期末)如

图,在△ABC中,AE是角平分线,

AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.(1)求∠CAE的度数.(2)求∠ADF的度数.

解析

(1)∵∠C=40°,∠B=70°,∴∠BAC=70°,∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=

∠BAC=35°.(2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∵∠C=40°,∴∠CAD=90°-∠C=50°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,∵DF⊥AE,∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.2.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D.(1)如图①,若∠C=70°,∠B=30°,则∠DAE=

°.(2)如图②,F是AE上的任意一点,过点F作FG⊥BC于G,且∠B

=40°,∠C=80°,求∠EFG的度数.(3)在(2)的条件下,若F点在AE的延长线上(如图③),其他条件

不变,则∠EFG的大小会发生改变吗?说明理由.解析

(1)20.详解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=30°,∴∠BAD=90°-∠B=60°,∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=40°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°.(2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,∵∠B=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=30°,∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°.(3)∠EFG的大小不变.理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,由(2)可知∠EAD=20°,∴∠EFG=20°,大小不变.模型二两内角平分线模型3.如图,在△ABC中,点P是∠ABC、∠ACB的平分线的交点.(1)若∠A=80°,求∠BPC的度数.(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC=90°+

∠A的规律,你认为正确吗?请给出理由.解析

(1)∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=

(∠ABC+∠ACB)=

(180°-∠A)=

×(180°-80°)=50°,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°.(2)正确.理由如下:∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=

(∠ABC+∠ACB)=

(180°-∠A)=90°-

∠A,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-

=90°+

∠A.4.如图,在△ABC中,∠A=84°,点O是∠ABC、∠ACB的平分线

的交点,点P是∠BOC、∠OCB的平分线的交点,若∠P=100°,

求∠ACB的度数.

解析∵点P是∠BOC、∠OCB的平分线的交点,∴∠BCP=∠PCO,∠BOP=∠COP,设∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y,∵∠P=100°,∴∠PCO+∠COP=x+y=80°,∴∠OCB+∠BOC=2x+2y=160°,∴∠OBC=180°-160°=20°,∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°,∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°.模型三内角平分线与不相邻外角平分线模型5.(新考向·规律探究试题)如图1,在△ABC中,BA1平分∠ABC,

CA1平分∠ACD,BA1、CA1相交于点A1.(1)若∠A1=30°,求∠A的度数.(2)求证:∠A1=

∠A.(3)如图2,继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3,得∠A3;……,依次得

到∠A2024,若∠A=α,则∠A2024=

.图1

图2解析

(1)∵BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,在△ABC中,∠ACD=∠A+∠ABC,在△A1BC中,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∴∠A+∠ABC=2(∠A1+∠A1BC),整理得∠A=2∠A1,∵∠A1=30°,∴∠A=60°.(2)证明:由(1)可知∠A=2∠A1,∴∠A1=

∠A.(3)

.详解:由(2)得∠A1=

∠A,同理可得,∠A2=

∠A1=

∠A,∠A3=

∠A,……,∠An=

∠A,∵∠A=α,∴∠A2024=

.6.如图,已知BE是△ABC的角平分线,CP是△ABC的外角∠ACD的平分线,延长BE,BA分别交CP于点F,P.(1)小智同学探究后提出等式:∠BAC=∠ABC+∠P,请通过推

理演算判断小智的发现是否正确.(2)若2∠BEC-∠P=180°,求∠ACB的度数.

解析

(1)∵CP是∠ACD的平分线,∴∠ACD=2∠PCD,∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABC=2∠FBC,∵∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠PCD=∠FBC+∠BFC,∴∠ABC+∠BAC=2(∠FBC+∠BFC),∵∠ABC=2∠FBC,∴∠BAC=2∠BFC.∵∠BFC=∠PBF+∠P=

∠ABC+∠P,∴∠BAC=2×

=∠ABC+2∠P,∴小智的发现是错误的.(2)∵∠BEC=∠ABE+∠BAC=

∠ABC+∠BAC,∠BAC=∠ACP+∠P,∴∠BEC=

∠ABC+∠ACP+∠P=

∠ABC+∠PCD+∠P,由(1)可知∠BAC=2∠BFC,∵∠PCD=∠FBC+∠BFC=

∠ABC+∠BFC,∴∠BEC=

∠ABC+

∠ABC+

∠BAC+∠P=∠ABC+

∠BAC+∠P,∵2∠BEC-∠P=180°,∴∠BEC=90°+

∠P,∴90°+

∠P=∠ABC+

∠BAC+∠P,∴180°+∠P=2∠ABC+∠BAC+2∠P,∵∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB,∴180°=∠ABC+∠P+180°-∠ACB,∴∠ACB=∠ABC+∠P=∠PCD=∠ACP,∵∠ACB+∠ACP+∠PCD=180°,∴∠ACB=60°.模型四两外角平分线模型7.如图,在△ABC中,∠B=46°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF

的平分线交于点E,则∠AEC=

.

67°解析∵∠B=46°,∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°,∴∠DAC+∠ACF=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°=226°,∵AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF,∴∠EAC=

∠DAC,∠ECA=

∠ACF,∴∠EAC+∠ECA=

(∠DAC+∠ACF)=113°,∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°.8.如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分

线,BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线.(1)当∠ABC=64°,∠ACB=66°时,∠D=

°,∠P=

°.(2)当∠A=56°时,求∠D、∠P的度数.(3)当∠A的大小发生变化时,∠D+∠P的值是否发生变化?请说明理由.解析

(1)115;65.详解:∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∠ABC=64°,∠ACB=66°,∴∠DBC=

∠ABC=32°,∠DCB=

∠ACB=33°,∠EBC=116°,∠FCB=114°,∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=115°.∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线,∴∠CBP=

∠EBC=58°,∠BCP=

∠FCB=57°,∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°.(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠DBC=

∠ABC,∠DCB=

∠ACB,∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-

(∠ABC+∠ACB)=180°-

(180°-∠A)=90°+

∠A,∵∠A=56°,∴∠D=90°+

×56°=118°.∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线,∴∠CBP+∠BCP=

∠EBC+

∠FCB=

(∠