2025年高考数学模拟检测卷-空间向量与几何向量题

2025年高考数学模拟检测卷-空间向量与几何向量题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离等于（）A.3B.√3C.√6D.√112.已知向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a与向量b垂直，则实数k的值为（）A.-2B.2C.-1D.13.过点A（1，0，2）且与向量n=（1，2，-1）平行的直线方程为（）A.x=1，y=2zB.x-1=2(y-2z)C.x-1=y-2zD.x-1=2(y+2z)4.已知空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，3，1），D（3，1，2），则向量AB+向量BC+向量CD的模长为（）A.3√2B.4√2C.5√2D.6√25.设平面α和平面β分别由向量a=（1，0，1）和向量b=（0，1，1）确定，则平面α与平面β所成锐二面角的余弦值为（）A.1/3B.2/3C.1/2D.√2/26.已知直线l：x=2t，y=3+2t，z=1-3t与平面α：x+y+z=1相交，则交点坐标为（）A.（2，3，1）B.（0，1，0）C.（1，2，3）D.（-1，-1，-1）7.若向量a=（1，k，1）与向量b=（k，1，1）的夹角为120°，则实数k的值为（）A.-1B.1C.-√3D.√38.已知空间四边形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），则向量BC与向量BD的夹角余弦值为（）A.1/2B.1/3C.2/3D.-1/39.过点P（1，2，3）且与平面α：2x+y-z=1平行的平面方程为（）A.2x+y-z=7B.2x+y-z=-1C.x-2y+z=1D.x+y+z=610.已知向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a与向量b的投影向量相等，则实数k的值为（）A.1B.-1C.2D.-211.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距离等于（）A.√6B.√10C.√15D.√2112.已知空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，3，1），D（3，1，2），则向量AB与向量CD的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.已知向量a=（1，2，3），向量b=（2，k，1），若向量a与向量b平行，则实数k的值为__________。14.过点A（1，0，2）且与平面α：x+y+z=1垂直的直线方程为__________。15.设空间四点A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（0，0，0），则向量AB与向量CD的夹角余弦值为__________。16.已知空间四边形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），则向量BC与向量BD的夹角正弦值为__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）已知空间四点A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（1，0，1），求向量AB与向量CD的夹角余弦值。18.（12分）设平面α过点A（1，2，3），且与向量n=（1，1，1）垂直，求平面α的方程。19.（12分）已知空间四边形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），求向量BC与向量BD的夹角正弦值。20.（12分）过点P（1，2，3）且与平面α：2x+y-z=1平行的平面方程为__________。21.（12分）设向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a与向量b的投影向量相等，则实数k的值为__________。22.（10分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距离等于__________。四、证明题（本大题共2小题，共30分。证明过程应写出详细的推理步骤。）23.（15分）已知空间四点A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（0，0，0），证明向量AB与向量CD共线。24.（15分）设平面α过点A（1，2，3），且与向量n=（1，1，1）垂直，证明点B（2，3，4）在平面α上。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√6。2.答案：A解析：向量a与向量b垂直，则a·b=0，即1*2+2*k+1*1=0，解得k=-2。3.答案：C解析：过点A（1，0，2）且与向量n=（1，2，-1）平行的直线方程为x=1+t，y=2t，z=2-t，化为标准式得x-1=y-2z。4.答案：B解析：向量AB=（1，2，3），向量BC=（1，1，-2），向量CD=（1，-2，1），则向量AB+向量BC+向量CD=（3，4，2），模长为√(3^2+4^2+2^2)=√34=4√2。5.答案：D解析：平面α的法向量为向量a=（1，0，1），平面β的法向量为向量b=（0，1，1），两平面所成锐二面角的余弦值为|a·b|/|a||b|=|1*0+0*1+1*1|/√2*√2=1/2，但题目要求锐角，故取√2/2。6.答案：A解析：将直线l的参数方程代入平面α的方程，得2t+3+2t+1+1-3t=1，解得t=0，代入直线方程得交点坐标为（2，3，1）。7.答案：C解析：向量a与向量b的夹角为120°，则cos120°=a·b/|a||b|=-1/2，即(1*2+2*k+1*1)/(√(1^2+2^2+1^2)*√(k^2+1^2+1^2))=-1/2，解得k=-√3。8.答案：A解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-1，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），则cosθ=向量BC·向量BD/|向量BC||向量BD|=(1*2+(-1)*(-3)+2*0)/√6*√13=8/√78=1/2。9.答案：A解析：过点P（1，2，3）且与平面α：2x+y-z=1平行的平面方程为2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0，即2x+y-z=7。10.答案：D解析：向量a与向量b的投影向量相等，即|a·b|/|b|=|a·b|/|a|，则|a|=|b|，即1^2+2^2+k^2=2^2+k^2+1^2，解得k=-2。11.答案：C解析：点A（1，2，3）到直线l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距离公式为d=|向量AP×向量方向向量|/|方向向量|，其中向量AP=(1-1,2-1+2,3-3t)，方向向量为（1，-2，3t），计算得d=√15。12.答案：C解析：向量AB=（1，2，3），向量CD=（1，-2，1），则cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(1*1+2*(-2)+3*1)/√14*√6=0/√84=0，即θ=90°，但题目要求锐角，故取60°。二、填空题答案及解析13.答案：6解析：向量a与向量b平行，则存在实数λ，使向量a=λ向量b，即（1，2，3）=λ（2，k，1），解得λ=1/2，k=6。14.答案：x-1=y-2=z-3解析：过点A（1，0，2）且与平面α：x+y+z=1垂直的直线方程为方向向量为（1，1，1），即x-1=y-0=z-2。15.答案：1/2解析：向量AB=（1，1，-2），向量CD=（3，-1，0），则cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(1*3+1*(-1)+(-2)*0)/√6*√10=2/√60=1/2。16.答案：√3/3解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-2，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），则sinθ=|向量BC×向量BD|/|向量BC||向量BD|，计算得sinθ=√3/3。三、解答题答案及解析17.答案：cosθ=1/√3解析：向量AB=（1，1，-2），向量CD=（-2，-1，-1），则cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(-2-1-2)/√6*√6=-5/6，但题目要求夹角余弦值，故取1/√3。18.答案：x+y+z=6解析：平面α过点A（1，2，3），且与向量n=（1，1，1）垂直，则平面方程为1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0，即x+y+z=6。19.答案：sinθ=√2/2解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-2，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），则sinθ=|向量BC×向量BD|/|向量BC||向量BD|，计算得sinθ=√2/2。20.答案：x+y-z=4解析：过点P（1，2，3）且与平面α：2x+y-z=1平行的平面方程为2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0，即x+y-z=4。21.答案：k=±√2解析：向量a与向量b的投影向量相等，即|a·b|/|b|=|a·b|/|a|，则|a|=|b|，即1^2+2^2+k^2=2^2+k^2+1^2，解得k=±√2。22.答案：√14解析：点A（1，2，3）到直线l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距离公式为d=|向量AP×向量方向向量|/|方向向量|，其中向量AP=(1-1,2-1+2,3-3t)，方向向