上海市上宝中学初一数学压轴题专题

上海市上宝中学初一数学压轴题专题一、七年级上册数学压轴题1．如图，O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°），的直角顶点放在O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画出图并说明理由．答案：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；解析：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．【详解】（1）∵30÷3＝10，∴10秒后ON与OC重合；（2）∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，∴∠AON＝∠AOC−∠CON＝30°−15°＝15°，解得：t＝15°÷3°＝5秒；（3）如图∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，∴∠COM为（90°−3t），∵∠BOM＋∠AON＝90°，可得：180°−（30°＋6t）＝（90°−3t），解得：t＝秒．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．2．已知实数，，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，，满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．（1），，；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则，；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，，求n的值．答案：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）用关于解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）用关于t的式子表示BC和AB即可求解；（3）分别求出当t=3时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC=2BC列出方长，解之即可．【详解】解：（1）∵，b是最小的正整数，∴c-5=0，a+2b=0，b=1，∴a=-2，b=1，c=5，故答案为：-2，1，5；（2）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴t秒后，A表示的数为-t-2，B表示的数为2t+1，C表示的数为5t+5，

∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，

∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，

∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC-AB=1；（3）当t=3时，点A表示-2-3=-5，点B表示1+3n，点C表示5+5×3=20，∴AC=20-（-5）=25，BC=，∵AC=2BC，则25=2，则25=2（19-3n），或25=2（3n-19），解得：n=或．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．3．如图，已知点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，点P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；（2）当点P在数轴上移动，满足时，求P点表示的数；（3）动点P从数轴上某一点出发，第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……①若在原点处，按以上规律移动，则点P第n次移动后表示的数为__________；②若按以上规律移动了次时，点P在数轴上所表示的数恰是，则动点P的初始位置K点所表示的数是___________．答案：（1）数轴见解析，A、B之间的距离为6；（2）2或10；（3）①（-1）n•n；②4【分析】（1）根据数轴的定义得到点A和点B表示的数，从而得到A、B之间的距离；（2）设点P表示的数为x，表示解析：（1）数轴见解析，A、B之间的距离为6；（2）2或10；（3）①（-1）n•n；②4【分析】（1）根据数轴的定义得到点A和点B表示的数，从而得到A、B之间的距离；（2）设点P表示的数为x，表示出PA和PB，令PA=2PB，得到方程，解之即可；（3）①根据点P前几次表示的数找出规律即可得出结论；②设动点P的初始位置K点所表示的数是m，根据①中所得规律，列出方程即可求出m值．【详解】解：（1）∵点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，∴点A表示的数为-2，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，∴点B表示的数为：-2+10-4=4，数轴如下：A、B之间的距离为：4-（-2）=6；（2）设点P表示的数为x，∴PA=，PB=，∵PA=2PB，∴，若点P在点A左侧，，解得：x=10，不符合；若点P在A、B之间，，解得：x=2；若点P在点B右侧，，解得：x=10，综上：点P表示的数为2或10；（3）①∵在原点处，第一次移动后点P表示的数为0-1=-1，第二次移动后点P表示的数为0-1+3=2，第三次移动后点P表示的数为0-1+3-5=-3，第四次移动后点P表示的数为0-1+3-5+7=4，...∴第n次移动后点P表示的数为：（-1）n•n；②设动点P的初始位置K点所表示的数是m，由①可得：第n次移动后点P表示的数为：m+（-1）n•n，∵移动了2n+1次时，点P在数轴上所表示的数恰是3-2n，∴m+（-1）2n+1•（2n+1）=3-2n，即m-（2n+1）=3-2n，解得：m=4，即点P的初始位置K点所表示的数是4．【点睛】本题考查了数轴，两点之间的距离，数字型规律，一元一次方程，解题的关键是注意分类讨论和数形结合思想的运用，同时要善于总结规律．4．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题：（1）若点A表示数-2，点B表示数1．下列各数-1，2，4，6所对应的点是、、.其中是点A，B的“关联点”的是______．（2）点A表示数4，点B表示数10，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是多少？②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．答案：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13【分析】（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；（2）①根据PA=2PB列方程求解；②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、解析：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13【分析】（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；（2）①根据PA=2PB列方程求解；②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．【详解】解：（1）∵点A表示数-2，点B表示数1，C1表示的数为-1，∴AC1=1，BC1=2，∴C1是点A、B的“关联点”；∵点A表示数-2，点B表示数1，C2表示的数为2，∴AC2=4，BC1=1，∴C2不是点A、B的“关联点”；∵点A表示数-2，点B表示数1，C3表示的数为4，∴AC3=6，BC3=3，∴C3是点A、B的“关联点”；∵点A表示数-2，点B表示数1，C4表示的数为6，∴AC4=8，BC4=5，∴C4不是点A、B的“关联点”；故答案为：C1，C3；（2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点P表示的数为x（Ⅰ）当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（4-x）=10-x，解得，x=-2；（Ⅱ）当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有2（x-4）=10-x或x-4=2（10-x），解得，x=6或x=8；因此点P表示的数为-2或6或8；②若点P在点B的右侧，（Ⅰ）若点P是点A、B的“关联点”，则有，2PB=PA，即2（x-10）=x-4，解得，x=16；（Ⅱ）若点B是点A、P的“关联点”，则有，2AB=PB或AB=2PB，即2（10-4）=x-10或10-4=2（x-10），得，x=22或x=13；（Ⅲ）若点A是点B、P的“关联点”，则有，2AB=PA，即2（10-4）=x-4，解得，x=16；因此点P表示的数为16或22或13．【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．5．已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．（1）如果点到点、点的距离相等，那么的值是______．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向右运动，同时另一点从点以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设分钟时点和点到点的距离相等，则的值为______．（直接写出答案）答案：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根据两点间的距离列方程求解即可；（2）分两种情况求解即可；（3）分点P和点Q相遇时和点Q运动到点M的左侧时两种情况解析：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根据两点间的距离列方程求解即可；（2）分两种情况求解即可；（3）分点P和点Q相遇时和点Q运动到点M的左侧时两种情况求解．【详解】解：（1）由题意得3-x=x-(-1)，解得x=1；（2）存在，∵MN=3-(-1)=4，∴点P不可能在M、N之间．当点P在点M的左侧时，(-1-x)+(3-x)=8，解得x=-3；当点P在点N的右侧时，x-(-1)+(x-3)=8，解得x=5；∴或；（3）当点P和点Q相遇时，t+2t=3，解得t=1；当点Q运动到点M的左侧时，t+1=2t-4，解得t=5；∴或．【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，分类讨论得出是解题关键．6．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左运动一个单位”作为一次操作，如：当时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所表示的数分别是2和5．（1）若，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？（2）若，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n次．①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n的代数式表示）②若它最后的位置所表示的数为10，求n的值．（3）若，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表示的数为260，求操作的次数．答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；（2）①根据题意列出代数式即可；②令①中代数式的值为10，求解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；（2）①根据题意列出代数式即可；②令①中代数式的值为10，求出n值即可；（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．【详解】解：（1）∵a=0，则一次操作后表示的数为-1或2，则两次操作后表示的数为-2或1或4；（2）①由题意可得：a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；②令43-n=10，则n=33；（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意可得：-10-50+2m=260，则m=160，∴操作次数为50+160=210．【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．7．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．①2秒后，点A、B、C表示的数分别是，，；②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．答案：（1）；（2）①，；②，；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）①解析：（1）；（2）①，；②，；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）①2秒时A计算-8-2，B计算-2+2×2，C计算3+2×3即可,②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，根据根据两点间的距离公式计算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t),③计算3×BC-AB=3（5+t）-(8+3t)即可；（3）分类讨论．先把A、B、C用t表示，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)，时5-t=2(3t-6)，t≥5时，t-5=2(3t-6)即可．【详解】(1)依题意，=0，=0，=0．所以，，．(2)①2秒后，点A表示-8-2=-10，点B表示-2+2×2=-2+4=2,点C表示3+2×3=3+6=9,2秒后，点A、B、C表示的数分别是-10，2，9；②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，③3×BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9不变化，这个不变的值为9；（3）t秒时，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)，t=时5-t=2(3t-6)，t=t≥5时，t-5=2(3t-6),t=舍去存在，时间t的值为或．【点睛】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，列代数式，整式的加减，两点间的距离公式，分类构造方程是解题关键．8．在数轴上，点代表的数是，点代表的数是2，代表点与点之间的距离，（1）填空①______．②若点为数轴上点与之间的一个点，且，则______．③若点为数轴上一点，且，则______．（2）若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点的距离的和是35，求点表示的数；（3）若从点出发，从原点出发，从点出发，且、、同时向数轴负方向运动，点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度，在、、同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？答案：（1）①14；②8；③16或12；（2）或；（3）当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为【分析】（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②解析：（1）①14；②8；③16或12；（2）或；（3）当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为【分析】（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB−AP进行求解．③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB−BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB＋BP作答．（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解．【详解】（1）①∵点代表的数是，点代表的数是2．∴．故答案为：14．②∵点为数轴上之间的一点，且，∴．故答案为：8．③∵点为数轴上一点，且，∴，∴或12．故答案为：16或12．（2）∵点到点的距离与点到点的距离之和为35．当点在点左侧时，，∴，∴点表示的数为．当点在点右侧时，，∴，∴点表示的数为，∴点表示的数为或．（3）①当点到点、两个点距离相等时，，解得．此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．②当点到、两个点距离相等时，，解得（舍）．③当、重合时，即点到、两个点距离相等，，解得，此时点表示的数为，点表示的数为．点表示的数为．因此，当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．【点睛】本题考查了动点问题与一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．9．已知在数轴上，一动点P从原点出发向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动7个单位长度到达点B．（1）求点A、B表示的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为9，若存在，写出点P表示的数；若不存在，说明理由；（3）若小虫M从点A出发，以每秒0.5个单位长度沿数轴向右运动，另一只小虫N从点B出发，以每秒0.2个单位长度沿数轴向左运动．设两只小虫在数轴上的点C处相遇，点C表示的数是多少？答案：（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案；（2）由题意得：再分当时，当＜＜时，当时，三种情况讨论，从而可得答案；（3）设两只小虫的相遇时运动时解析：（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案；（2）由题意得：再分当时，当＜＜时，当时，三种情况讨论，从而可得答案；（3）设两只小虫的相遇时运动时间为，结合题意可得：解方程求解时间，再求点对应的数即可．【详解】解：（1）动点P从原点出发向左移动4个单位长度到达点A，则点对应的数为：再向右移动7个单位长度到达点B，则点对应的数为：（2）存在，理由如下：设对应的数为：则由题意得：当时，经检验：符合题意，当＜＜时，方程左边此时方程无解，当时，经检验：符合题意，综上：点P到点A和点B的距离之和为9时，或（3）设两只小虫的相遇时运动时间为，结合题意可得：点对应的数为：【点睛】本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，一元一次方程的应用，掌握数轴上点运动后对应的数的表示规律，两点间的距离，分类讨论是解题的关键．10．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？答案：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11．已知是内部的一条射线，分别为上的点，线段同时分别以的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．（1）如图①，若，当逆时针旋转到处，①若旋转时间t为2时，则______；②若平分平分_____；（2）如图②，若分别在内部旋转时，请猜想与的数量关系，并说明理由．（3）若在旋转的过程中，当时，求t的值．答案：（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）3秒或5秒【分析】（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；②先由角平分线求出，，再求出，即；（2）设解析：（1）①40°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）3秒或5秒【分析】（1）①先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；②先由角平分线求出，，再求出，即；（2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解；（3）设旋转时间为，表示出、，然后得到，再列方程求解得到的关系，整理即可得解．【详解】解：（1）线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转，，，，，，，；故答案为：；②平分，平分，，，，即；（2），理由如下：设，则，，旋转秒后，，，，，；（3）设旋转秒后，，，，，可得，可得：，解得：秒或秒，故答案为：3秒或5秒．【点睛】此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．12．已知，O为直线AB上一点，射线OC将分成两部分，若时，（1）如图1，若OD平分，OE平分，求的度数；（2）如图2，在（1）的基础上，将以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．①t为何值时，射线OC平分？②t为何值时，射线OC平分？答案：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；②结合角平分线的定义，平角的定义列方程解析：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；②结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解．【详解】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）①由题意得：∵∠DOE=90°，∴当OC平分∠DOE时，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，45°+60°-3t+9t+60°=180°，解得t=，故t为s时，射线OC平分∠DOE；②由题意得：∵∠BOE=60°，∴当OC平分∠BOE时，∠C′OE=∠C′OB=30°，30+3t+90°+2（120-9t）=180°，解得t=12，故t为12s时，射线OC平分∠BOE．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．13．已知是关于x的二次二项式，A，B是数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b．（1）求线段AB的中点C所对应的数；（2）如图，在数轴上方从点C出发引出射线CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，试猜想∠DCE与∠FCG之间是否存在确定的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，当∠DCE绕着点C以2°/秒的速度逆时针旋转t秒()时，∠ACF和∠BCG中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求t的值答案：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根据是关于x的二次二项式可知，，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．（2）根据角平分线可知，．即可求出．再根据题意可知，，代入整理解析：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根据是关于x的二次二项式可知，，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．（2）根据角平分线可知，．即可求出．再根据题意可知，，代入整理即可得到（3）根据题意可用t表示出和．再分类讨论当时和当时，列出的关于t的一元一次方程，解出t即可．【详解】（1）根据题意可得出，解得，即A、B对应的数分别为16、-2，∴C对应的数为．（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，∴，．∵，∴，即．∵，，∴，即．故存在数量关系，为：．（3）∵，，∴，即．∴．∵，∴．∴．当时，即，解得：且小于65，当时，即，解得：且小于65．综上可知或时符合题意．【点睛】本题考查多项式的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，结合分类讨论以及数形结合的思想是解答本题的关键．14．如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求的值；（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．答案：（1）50°；（2）或6；（3）95或145．【分析】（1）根据OA′平分∠POB,设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA解析：（1）50°；（2）或6；（3）95或145．【分析】（1）根据OA′平分∠POB,设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA′外部两种情况分类讨论，分别设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分别求出x的值，即可求值；（3）根据题意分类讨论，根据周角定义分别求出∠A'OA，再根据∠AOP＝∠A'OP，结合已知即可求解．【详解】解：(1)∵OA′平分∠POB，∴设∠POA′＝∠A′OB＝x，∵∠AOP＝∠A′OP=x，∵∠AOB＝60°，∴x＋2x＝60°，∴x＝20°，∴∠BOF＝90°－2x＝50°；(2)①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，射线OB在∠POA′内部时，∵∠AOE＝3∠A′OB，∴设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∵OP⊥EF，∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，∴，∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝∠A′OP＝，∴OP⊥EF，∴＋3x＝90°，∴x＝，∴；②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠POA′外部时，∵∠AOE＝3∠A′OB，设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∴∠AOP＝∠A′OP＝，∴OP⊥EF，∴3x＋＝90°，∴x＝24°，∴；综上所述：的值是或6；(3)∠BOP＝95°或145°；①如图3，当∠A'OB＝130°时，由图可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝35°，∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；②如图4，当∠A'OB＝130°时，由图可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；综上所述：∠BOP的度数为95°或145°．【点睛】本题考查了角平分线的的定义和角的和差计算，根据题意正确画出图形进行分类讨论是解题关键．15．如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB、AOC和BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的奇妙线．（1）一个角的角平分线这个角的奇妙线．（填是或不是）（2）如图2，若MPN60，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10的速度逆时针旋转，当QPN首次等于180时停止旋转，设旋转的时间为t(s)．①当t为何值时，射线PM是QPN的奇妙线？②若射线PM同时绕点P以每秒6的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是MPN的奇妙线时t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3种情况，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【详解】（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，则有∠α=2∠1，∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；故答案是：是；（2）①由题意可知射线PM在QPN的内部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）当QPN=2MPN时，10t=2×60，解得t=12；（b）当MPN=2QPM时，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）当QPM=2MPN时，（10t-60）=2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；②由题意可知射线PQ在MPN的内部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）当MPN=2QPN时，60+6t=2×10t，解得t=；（b）当MPQ=2QPN时，60-4t=2×10t，解得t=；（c）当QPN=2MPQ时，10t=2×（60-4t），解得t=．故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．16．已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．答案：（1）；（2）不变．【分析】（1）根据平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【详解】解：（1解析：（1）；（2）不变．【分析】（1）根据平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【详解】解：（1）平分，；图1图2（2）不变．平分，平分，【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键．17．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线的点处重合，三角板的边落在直线上，三角板绕着顶点任意旋转．两块三角板都在直线的上方，作的平分线，且，．（1）当点在射线上时（如图1），的度数是_______．（2）现将三角板绕着顶点旋转一个角度（即），请就下列两种情形，分别求出的度数（用含的代数式表示）①当为锐角时（如图2）；②当为钝角时（如图3）；答案：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度数；（2）根据图形和第一问中的推导可以解答本题；（3）通过图形可以发现∠BOD是∠AOB与∠COD的和与∠MOC的差，从而可以解答本题．【详解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，点C在射线ON上，∴∠BOD＝180°−45°−60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案为：37.5°；（2）①当∠CON为锐角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°−45°−60°−x°＝75°−x°．∵OP平分∠BOD，∴当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②当∠CON为钝角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°−x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD−∠MOC＝45°＋60°−（180°−x°）＝x°−75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【点睛】本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，可以根据图形找出所求问题需要的条件．18．（阅读理解）射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD＝∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．（知识运用）如图2，∠AOB＝120°．（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．答案：（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义解析：（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）根据伴随线定义结合角平分线的定义即可求解；（3）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）根据伴随线定义得，∴；故答案为：；（2）如图，根据伴随线定义得，即，∵射线OQ是∠AOB的平分线，∴，∴；故答案为：；（2）射线OD与OA重合时，（秒），①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则120-3t-2t=20，∴t=20；若在相遇之后，则3t+2t-120=20，∴t=28；所以，综上所述，当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②相遇之前，射线OC是射线OA关于∠AOD的伴随线，则∠AOC=∠