【金榜教程】2025高三总复习人教A版数学（理）配套练习：第7章 第4讲

第页第七章第4讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1.[2025·湖北八校联考]对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A.若m，n与α所成的角相等，则m∥nB.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m⊂α，n∥α，则m∥n答案：D解析：由m⊂α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n.2.[2025·温州检测]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A.若m⊥α，m⊥β，则α∥βB.若α∥γ，β∥γ，则α∥βC.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β答案：C解析：由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.3.[2025·海口模拟]在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则()A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案：B解析：如图，由题意，EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD.HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B.4.[2025·北京模拟]给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A.3 B.2C.1 D.0答案：C解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.②中l与m也可能异面．③中eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥γ,l⊂β,β∩γ＝m))⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．5.如图中四个正方体图形，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③ B.①④C.②③ D.②④答案：B解析：图①中，设PN中点为Q，连MQ，则AB∥MQ，所以AB∥平面MNP，图②，图③中，AB与平面MNP相交，图④中，AB∥NP，所以AB∥平面MNP.故应选B.6.若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()A.只有1条 B.只有2条C.只有4条 D.有无数条答案：A解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．二、填空题7.[2025·长春月考]在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：面ABC、面ABD解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，且AM＝2ME，BE过N，且BN＝2NE.连接MN，则AB∥MN，∴MN平行于平面ABC和平面ABD.8.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案：平行解析：取PD的中点F，连接EF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.9.[2025·河北唐山]a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．答案：①或③解析：①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．三、解答题10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1∴GH∥B1C1又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.11.[2025·连云港模拟]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E－BCD的体积．解：(1)取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝eq\f(1,2)BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VE－BCD＝VD－BCE＝VA－BCE＝VE－ABC，由(1)知，DE∥平面ABC，所以VE－ABC＝VD－ABC＝eq\f(1,3)AD·eq\f(1,2)BC·AG＝eq\f(1,6)×3×6×4＝12.12.[2025·辽宁模拟]如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解：由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AED－BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．(1)证明：连结EB，则M是EB的中点．在△EBC中，MN∥EC，又EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)∵DA⊥平面ABFE，EF⊂平面ABFE，∴EF⊥AD.又EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE.∴四边形C