湖北省仙桃市2024-2025学年高二下学期 数学滚动检测卷

高二下数学滚动检测卷（3）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列求导正确的是（

）A．B．C．D．2．已知函数，若，则（

）A．e B． C．1 D．3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．5．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（

）A．B．C．D．6．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．7．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（

）A． B． C． D．8．已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（

）A．，使得B．函数的最大值为0C．a的取值范围为D．过作的切线，有且只有一条二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（

）A．数列为等差数列 B．C． D．的最大值为10．已知函数，则下列说法正确的有（）A．2是函数的极小值点 B．当时，函数取得最小值C．当时，函数存在2个零点 D．若函数有1个零点，则或11．已知函数，则下列结论中正确地是（

）A．当时，B．的图象关于中心对称C．若，则D．在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数满足，则．13．如图，曲线在点处的切线为，直线与轴和直线分别交于点、，点，则的面积取值范围为．14．已知函数有两个零点，且.设为常数，当变化时，有最小值，则常数的值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.(1)求；(2)求在区间上的最大值和最小值.16．已知函数(1)若求的单调区间;(2)若在上不单调，求的取值范围.17．设函数，.(1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.18．已知函数．(1)当时，求的单调增区间；(2)证明：当时，．19．若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.高二下数学滚动检测卷（3）参考答案题号1234567891011答案CADBACCDACDBCDACD12．13．14．15．（1）由得，所以，又，所以在点处的切线方程为，即.当时，；当时，.因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且，所以，所以.（2）由（1）得，.由得或.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，因为，，，，且，所以在上的最大值为，最小值为.16．（1）的定义域为，，令或，或，在上单调递增，在上单调递减.（2），设，注意到，要使在上不单调，只需满足，解得，即实数的取值范围为.17．（1）当时，，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为.（2）因为对任意，恒成立，即对任意，恒成立，所以在上单调递减，令，则，所以在上恒成立，又因为的对称轴为，所以恒成立只需，解得，所以的取值范围为.18．（1）的定义域为，当时，，则，解得，当时，，故在单调递减；当时，，故在单调递增，故的单调增区间为．（2）由，解得，当时，，故在单调递减；当时，，故在单调递增；故，设，则，解得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，即，所以，当时等号成立，又，当时等号成立，故，得证．19．（1）显然直线切的图象于点，直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，所以函数的图象不存在“自公切线”.（2）由恒成立，且仅当时，则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令，由的图象是连续曲线，且，因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；假设的图象存在“自公切线”，则存在且，使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，切线，，有相同截距，即，而，则，即，则有，即，令，，即函数在上单调递增，，因此当时，，即在上无解，所以的图象不存在“自公切线”.（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，又在点处的切线方程为，即，在点处的切线方程为，若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，则，又，则，所以，且，从而存在，使得，代入，可得，则，即是数列中的项；