高三数学（文）二轮复习专题集训专题一集合常用逻辑用语平面向量附属算法推理与证明1.2

A级1．(2017·贵州省适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝()A.eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－λ＝2μ，,4＋λ＝3μ))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(6,5)，,λ＝－\f(2,5))).答案：B2．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝()A．1B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(2) D．4解析：∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝eq\r(m2＋12)＝eq\r(2).故选C.答案：C3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．5 B．4C．3 D．2解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.答案：A4．(2017·江西八校联考(一))在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b D．－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b解析：eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，故选A.答案：A5．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝5，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正切值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：a·(a＋b)＝5，即a2＋a·b＝5⇒a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，则向量a与b的夹角的正切值为eq\r(3)，故选B.答案：B6．(2017·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝6，N为DC的中点，eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A．48 B．36C．24 D．12解析：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·(eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)×82－eq\f(2,9)×62＝24，故选C.答案：C7．(2017·西安市八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))方向上的投影是()A．－3eq\r(5) B．－eq\f(3\r(2),2)C．3eq\r(5)D.eq\f(3\r(2),2)解析：依题意得，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，因此向量eq\o(CD,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))方向上的投影是eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)＝eq\f(－15,\r(5))＝－3eq\r(5)，选A.答案：A8．如图所示，下列结论正确的是()①eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④解析：①根据向量的加法法则，得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正确；②根据向量的减法法则，得eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②错误；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正确；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④错误．故选C.答案：C9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PM,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的值为()A．－4 B．6C．－6 D．4解析：依题意得|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝3，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(PA,\s\up6(→))2＝－eq\f(2,3)×32＝－6，选C.答案：C10．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形解析：(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC是等腰三角形，故选A.答案：A11．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1,2] B．[2,4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以eq\f(1,2)≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：D12．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0<a<1，N(a＋1,1－a)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(a,2－a)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(a＋1,1－a)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2，∵0<a<1，当a＝eq\f(1,2)时，eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))取得最小值eq\f(3,2)，又eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))<2，故eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).答案：C13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析：∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：714．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：法一：|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15．已知等边△ABC的边长为2，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.解析：如图所示，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,6)×4－eq\f(2,3)×4＝－2.答案：－216．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－4，则λ的值为________．解析：如图，由eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·(λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×cos60°＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝9，eq\o(AC,\s\up6(→))2＝4，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝λ－3＋eq\f(8,3)λ－2＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq\f(3,11).答案：eq\f(3,11)B级1．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选B.答案：B2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝()A．(2,12) B．(－2,12)C．14 D．10解析：由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．而a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故选C.答案：C3．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(CP,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(PA,\s\up6(→)))|)＝eq\f(2,1)，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，∴eq\f(S△PAB,S△PBC)＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(CP,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,2).答案：B4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，\f(33,16)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,8)，\f(33,16)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，－\f(33,16)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,8)，－\f(33,16)))解析：设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②联立①②，解得x＝eq\f(11,8)，y＝eq\f(33,16)，所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,8)，\f(33,16))).故选A.答案：A5．已知O为坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3sinα，cosα)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，则tanα的值为()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,4)解析：由题意知6sin2α＋cosα·(5sinα－4cosα)＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tanα－4＝0，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则tanα<0，解得tanα＝－eq\f(4,3)，故选A.答案：A6．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝eq\f(1,2)，则a＋2b与b的夹角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析：法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3)，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以cos〈a＋2b，b〉＝eq\f(a＋2b·b,|a＋2b||b|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，所以a＋2b与b的夹角为eq\f(π,6).故选A.法二：设a＝(1,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos\f(π,3)，\f(1,2)sin\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，则(a＋2b)·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)))＝eq\f(3,4)，|a＋2b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)，所以cos〈a＋2b，b〉＝eq\f(a＋2b·b,|a＋2b||b|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，所以a＋2b与b的夹角为eq\f(π,6)，故选A.答案：A7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)解析：以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))为基向量，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→)))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AD,\s\up6(→))2＋(1＋λμ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(BC,\s\up6(→))·(μ－1)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－2(λ－1)(μ－1)＝－eq\f(2,3)②，由①②可得λ＋μ＝eq\f(5,6).答案：C8．(2017·东北四市高考模拟)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))－neq\o(OB,\s\up6(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5)D.eq\r(10)解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)得eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))－neq\o(OB,\s\up6(→))＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0<m<1，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1＋2m,4m－3)，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋2m2＋4m－32)＝eq\r(20m2－20m＋10)＝eq\r(20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋5)(0<m<1)，所以当m＝eq\f(1,2)时，|eq\o(OC,\s\up6(→))|min＝eq\r(5).答案：C9．(2017·吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为()A.eq\r(6)B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1解析：由题意可知－1＝a·b＝|a|·|b|cos120°，所以2＝|a|·|b|≤eq\f(|a|2＋|b|2,2)，即|a|2＋|b|2≥4，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥eq\r(6)，所以|a－b|的最小值为eq\r(6).答案：A10．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，I2＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，I3＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))，则()A．I1<I2<I3 B．I1<I3<I2C．I3<I1<I2 D．I2<I1<I3解析：如图，建立直角坐标系，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)．设D(m，n)，由AD＝2和CD＝3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n－22＝4，,m－22＋n2＝9，))从而有n－m＝eq\f(5,4)>0，∴n>m.从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.又OA<OC，OB<OD，故可设eq\o(OD,\s\up6(→))＝－λ1eq\o(OB,\s\up6(→))(λ1>1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－λ2eq\o(OA,\s\up6(→))(λ2>1)，从而I3＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝λ1λ2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ1λ2I1，又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I3<I1，∴I3<I1<I2.故选C.答案：C11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))，b＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝a＋2b，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：依题意，OA⊥OB，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，又eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2.∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＋\f(2\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|))))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＋\f(2\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|))))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，eq\o(OP,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＋\f(2\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|))))2＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))2,\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|2))＋eq\f(4\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))·eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|))＋eq\f(4\o(OB,\s\up6(→))2,\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|2))＝5，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OP,\s\up6(→))2＝5－2|eq\o(OB,\s\up6(→))|－|eq\o(OA,\s\up6(→))|≤5－2eq\r(\a\vs4\al(2|\o(OB,\s\up6(→))||\o(OA,\s\up6(→))|))＝5－4＝1.答案：A12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，En(n∈N*)为边AC上的列点，满足eq\o(EnA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)an＋1eq\o(EnB,\s\up6(→))－(3an＋2)eq\o(EnD,\s\up6(→))，其中实数列{an}中，an>0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝()A．3·2n－1－2 B．2n－1C．3n－1 D．2·3n－1－1解析：因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EnC,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(BEn,\s\up6(→))＋eq\o(EnD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(EnB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(EnD,\s\up6(→)).设meq\o(EnC,\s\up6(→))＝eq\o(EnA,\s\up6(→))，则由eq\o(EnA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)an＋1eq\o(EnB,\s\up6(→))－(3an＋2)eq\o(EnD,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)an＋1＋\f(1,3)m))eq\o(EnB,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m＋3an＋2))eq\o(EnD,\s\up6(→))＝0，即－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,4)an＋1，eq\f(4,3)m＝－(3an＋2)，所以eq\f(1,4)an＋1＝eq\f(1,4)(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.答案：D13．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为________．解析：法一：eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))表示eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AO,\s\up6(→))方向上的投影与|eq\o(AO,\s\up6(→))|的乘积，当P在B点时，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))有最大值，此时eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2×3＝6.法二：设P(x，y)，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4，由题意知－1≤x≤1，∴x＝1时，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))取最大值6，∴eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为6.答案：614．在△ABC中，若(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABC的形状为________．解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))⇒(eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，而cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))